江西省萍乡市2025-2026学年高二下册期末考试数学试卷-含答案

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（）A.8 B.15 C.28 D.313.已知函数，若，则可以是（）A.0 B. C. D.4.一组样本数据如下表，用最小二乘法拟合得线性回归方程为，则下列结论错误的是（）345671822273038A.B.与正相关C.当时，D.去掉表中某对样本数据，与的样本相关系数一定会改变5.已知实数，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.6.函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于（）A.12 B.18 C.24 D.307.若函数在其定义域内单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知实数，，，且，，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.，B.“”是“”的必要不充分条件C.若“，”是假命题，则实数的取值范围是D.函数的定义域为，则函数的定义域为10.已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（）A. B.当且仅当时，取最小值C.数列是等比数列 D.11.已知定义域均为的函数和满足对，都有，且，.数列，分别满足，，，则下列结论正确的有（）A. B.对任意，C.的前8项和 D.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.若函数的值域为，则实数的取值范围为________.14.设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极小值，求实数的值.16.某校为了解学生对2026年足球世界杯赛事是否感兴趣，随机抽取该校400名学生进行调查，已知男生感兴趣人数比女生多40人，设事件“对2026年足球世界杯感兴趣”，事件“学生为男生”，且，.（1）完成如图列联表：男女总计感兴趣不感兴趣总计400（2）请判断是否有99.9%的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关.附：.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.已知函数与的导函数分别为和.若常数满足：对公共定义域内任意实数恒成立，则称是的“-伴随函数”.（1）设，，证明：是的“3-伴随函数”；（2）设，，若是的“-伴随函数”，求的最大值.18.已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中.（1）求和的通项公式；（2）分别在与之间插入个数，使这个数构成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.19.已知函数，其中为常数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若.（i）设数列的前项和为，试比较与的大小；（ii）函数有两个不同的零点，，证明：.

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：集合，，所以，.2.已知等比数列的前项和为，若，，且公比，则（）A.8 B.15 C.28 D.31答案：D解析：解答过程：根据等比数列的性质，，，公比，又，则，,所以，.3.已知函数，若，则可以是（）A.0 B. C. D.答案：C解析：思路：先利用复合函数求导法则和导数加法法则求，再将各选项中的值代入判断即可.解答过程：，，，，.4.一组样本数据如下表，用最小二乘法拟合得线性回归方程为，则下列结论错误的是（）345671822273038A.B.与正相关C.当时，D.去掉表中某对样本数据，与的样本相关系数一定会改变答案：D解析：思路：对于A，先计算,,代入样本中心，即可判断；对于B，计算该组样本数据的相关系数即可判断；对于C，把代入回归方程即可判断；对于D，若去掉点，由于该点为样本中心点，去掉样本中心点，相关系数不变，故D错误.解答过程：对于A，,，故，故A正确；对于B，设该组样本数据的相关系数为，则所以，与正相关，故B正确；对于C，由A选项中计算可得，故当时，，故C正确；对于D，由B选项中计算可知该组样本数据的相关系数为，则，删除样本中心后，设剩余的样本点为，如下表：346718223038则,该组数据对应的相关系数为，则，故，故D错误.5.已知实数，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：对于A，因为，所以，故，A正确；对于B，因为，所以，所以，B错误；对于C，因为，所以，所以，C正确；对于D，因为，所以，故，所以，D正确.6.函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于（）A.12 B.18 C.24 D.30答案：C解析：思路：函数关于点对称，函数也关于点对称，所以先找函数的图象与函数，的图象所有交点的个数，再计算出横坐标之和.解答过程：函数关于点对称，函数也关于点对称，作出两函数在的图象，由图象可知共有8个交点，两两关于点对称，所以函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和为.7.若函数在其定义域内单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将问题转化为对恒成立，参变分离后进一步转化为，利用基本不等式求即可得到实数的取值范围.解答过程：定义域为，，若函数在其定义域内单调递减，则对恒成立，即在恒成立，即；当时，，，当且仅当即时取等，所以，因此.8.已知实数，，，且，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：即，，同理可得，，构造函数，通过求导判断函数单调性即可判断.解答过程：即，，同理可得，，设，那么，当时，，故，当时，，故，在上单调递增，时单调递减，所以，由于，所以，，又，，，又在上单调递增，所以，即.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.，B.“”是“”的必要不充分条件C.若“，”是假命题，则实数的取值范围是D.函数的定义域为，则函数的定义域为答案：BC解析：思路：根据指数函数值域判断A选项；根据基本不等式及充分条件和必要条件定义判断B选项；对于选项C，先表示出命题的否定，根据命题与其否定一真一假将命题转化为有解，根据二次函数开口方向和判别式求的取值范围判断C选项；根据函数定义域的定义判断D选项.解答过程：选项A，由指数函数的值域为得恒成立，A选项错误；选项B，当时，由基本不等式可得，当且仅当即时成立，所以当时，，不能推出，充分性不成立；当时，移项得，解得且，因此能推出，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件，B选项正确；选项C,若“，”是假命题，则，使得.对于函数，其图象开口向上，要使得有解，则判别式，解得或，C选项正确；选项D，已知函数的定义域为，对于函数，则有，解得，即函数的定义域为，D选项错误.10.已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（）A. B.当且仅当时，取最小值C.数列是等比数列 D.答案：ACD解析：思路：根据已知条件列方程组求出和，根据等差数列通项公式判断A选项；令得到中的负项和非负项，再根据判断B选项；利用等比数列定义判断C选项；根据中的负项和非负项去绝对值，再利用等差数列的求和公式求和即可判断D选项.解答过程：选项A，由得，因为，所以解得或（舍），所以，A选项正确；选项B，令，解得，因为，所以当或时，取最小值，B选项错误；选项C，，所以，因为，首项，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，C选项正确；选项D，由B知，当时，，当时，，所以，由得，所以，D选项正确.11.已知定义域均为的函数和满足对，都有，且，.数列，分别满足，，，则下列结论正确的有（）A. B.对任意，C.的前8项和 D.答案：ABD解析：思路：A令；B将互换证明为偶函数；C举反例，；D令，得是的周期；令，得出是的周期即可.解答过程：令，则，则，故A正确；因为，所以，则，令得，则为偶函数，则，所以B正确；令，则，则，则，则是的周期；令，则，则，则，故是的周期；则，故D正确；若，满足，且，但，故C错误.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.答案：2解析：解答过程：，.13.若函数的值域为，则实数的取值范围为________.答案：解析：思路：分别求出和时值域，要使函数的值域为，则两部分值域的并集要覆盖所有实数，再列不等式求实数的取值范围即可.解答过程：当时，，因为对数函数在单调递增，所以在单调递减，所以，因此当时，值域为；当时，开口向上，对称轴为，所以；因此当时，值域为；要使函数的值域为，则，解得.14.设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________.答案：5解析：思路：根据“数列”定义得到存在正整数，使得即可求出公差；将代入后利用裂项相消法求得，解不等式得到结果.解答过程：等差数列的通项公式，前n项和公式，因为等差数列是“数列”，根据“数列”定义，当时，存在正整数，使得，即，整理得；因为，为正整数，所以仅当时满足条件，因此；所以，因此数列的前项和，令，则，所以；所以正整数的最小值为5.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极小值，求实数的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据导数的几何意义先求切线斜率，由点斜式求出切线方程即可.（2）根据极值点定义得到方程，检验后得到满足条件的.（1）当时，，则，又，则，故所求切线方程为，即.（2），令得或，在处取得极小值，或，若，则，当时，；当时，；当时，，此时，在处取得极小值，符合题意；若，即，则，当时，；当时，；当时，，此时，在处取得极大值，不合题意，舍去；综上所述，．16.某校为了解学生对2026年足球世界杯赛事是否感兴趣，随机抽取该校400名学生进行调查，已知男生感兴趣人数比女生多40人，设事件“对2026年足球世界杯感兴趣”，事件“学生为男生”，且，.（1）完成如图列联表：男女总计感兴趣不感兴趣总计400（2）请判断是否有99.9%的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关.附：.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

男女总计感兴趣8040120不感兴趣120160280总计200200400（2）有的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关解析：（1）设对2026年足球世界杯感兴趣的女生人数为人，则对2026年足球世界杯感兴趣的男生人数为人，由题意得：，解得，又，表示“对2026年足球世界杯感兴趣的女生”，表示“学生为女生”，则女生总数为200人，故列联表如下：

男女总计感兴趣8040120不感兴趣120160280总计200200400（2），所以有的把握认为该校学生对2026年足球世界杯是否感兴趣与性别有关．17.已知函数与的导函数分别为和.若常数满足：对公共定义域内任意实数恒成立，则称是的“-伴随函数”.（1）设，，证明：是的“3-伴随函数”；（2）设，，若是的“-伴随函数”，求的最大值.答案：（1），，由三角函数性质得：，则，所以，是的“3-伴随函数”；（2）解析：思路：（1）求出给定函数的导数，利用“3-伴随函数”的定义推理得证.（2）求出函数的导数，利用“-伴随函数”的定义建立恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可.（1）略（2），，由是的“-伴随函数”，得当时，恒成立，当时，，此时可以取任意实数；当时，不等式等价于，令，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，所以，即的最大值为．18.已