江西省赣州市2025-2026学年高二下册7月期末考试数学试卷-含答案

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知变量和的成对数据的线性回归方程是，且，，则系数的值为（）A. B.C. D.4.已知，，，则（）A. B.C. D.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7.已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（）A. B.C. D.8.已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．9.下列说法正确的是（）A.函数与函数的图象关于直线对称B.幂函数过点，则C.函数（且）恒过定点D.命题“，都有”的否定是“，使得”10.已知函数，则（）A.在处取得极小值B.的图象关于点中心对称C.有个零点D.直线是的一条切线11.已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（）A.若，则对任意，数列都不是“加速数列”B.若，且数列是“加速数列”，则实数满足C.若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有D.若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．12.已知函数，则____________．13.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________．14.设函数的个零点为，则____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．16.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围．17.为推进“书香校园”建设，某校对学生每周课外阅读时长进行抽样调查，随机抽取200名学生，对“是否参与学校书香校园主题活动”与“每周课外阅读是否达到3小时”两个维度进行统计得到如下数据（单位：人）：每周阅读小时每周阅读<3小时参与书香校园活动4060未参与书香校园活动2575（1）试问：参与书香校园活动是否与学生每周阅读达3小时有关？（2）该校统计了若干组数据，用最小二乘法得到了班级图书角的投入资金X（单位：百元）与学生每周阅读时长Y（单位：小时）的线性回归方程为．已知学生每周阅读时长Y的方差为，投入资金X的方差为．求Y与X间的样本相关系数r，并据此判断阅读时长Y与投入资金X的线性相关性强弱．附：（i），其中；0.250.10.050.0250.010.001k0.3232.7063.8415.0246.63510.828（ii）在线性回归方程中，；（iii）相关系数，若，可认为与线性相关程度较强．18.某公交站点的候车拥挤度分为拥挤和宽松两种状态，现统计了一个月内每日拥挤度的变化满足：第天拥挤的概率为，若第天拥挤，则第天拥挤的概率为；若第天宽松，则第天拥挤的概率为．记第天该站点拥挤的概率为．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若，都是离散型随机变量，则，记前天拥挤的天数为，求．19.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若有两个极值点，，且．（i）求实数的取值范围；（ii）当时，求的取值范围．

数学（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先求出集合B，再根据交集的定义求解即可.解答过程：由，得，即.所以.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据对数函数为增函数，以及必要不充分条件的定义可得答案.解答过程：由，得，取，，此时满足，但是不满足，综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.已知变量和的成对数据的线性回归方程是，且，，则系数的值为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：因为，，且，所以，解得.4.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：注意到，，故，由于幂函数在上单调递增，故，而，所以.5.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，，故是奇函数，图象关于原点对称，故A,B错误；当时，恒成立，的符号由决定，当时，，故，图象在轴下方；当时，，故图象在轴上方；当时，，故，故C错误；D选项图象符合以上特征，故D正确．6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：转化为存在使，求在区间最大值，故.解答过程：由题意，所以，，函数在区间内存在单调递增区间，则，，即，使得，即，设，，则，，单调递减；，，单调递增，，，，故在上最大值为，只要，即，就存在满足，即，函数存在递增区间.7.已知数列满足：，，有，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：已知，令得，则是首项为，公比为的等比数列，通项为，已知，则，解得，故，故，则是首项为4，公差为3的等差数列，故两个数列的公共项，满足既是，又满足除以3余1，故公共项为，即，则．8.已知，，若（为自然对数的底数），则的最小值为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：通过等式转化，将等式转换为函数，进而得出参数之间关系，根据参数关系，利用基本不等式即可求解.解答过程：由诱导公式有，，因此原式转化为，故令，则，而，因为，，则，因为当时，且，故，即在上单调递增，又因，则，即，则，当且仅当时取等，故的最小值为5.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．9.下列说法正确的是（）A.函数与函数的图象关于直线对称B.幂函数过点，则C.函数（且）恒过定点D.命题“，都有”的否定是“，使得”答案：ACD解析：思路：根据反函数性质判断A，利用解析式求函数值判断BC，利用命题的否定的定义判断D.解答过程：对A，函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；对B，若，则，B错；对C，，，C正确；对D，根据命题的否定的定义知D正确.10.已知函数，则（）A.在处取得极小值B.的图象关于点中心对称C.有个零点D.直线是的一条切线答案：BD解析：思路：求导讨论函数单调性，并结合极值的定义，即可判断A；利用图象平移或中心对称定义，即可判断B；令，分解因式求解方程，即可判断C；设出切点，由已知切线斜率可求出切点，进而可判断D.解答过程：A.，令得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，A错误；B．法一：（图象平移）设，此函数为奇函数，关于成中心对称，因此的图象是向上平移2个单位得到的，故关于成中心对称，法二：（中心对称定义）由中心对称的定义，得到=，所以关于成中心对称，B正确；C.因为，令，得或，所以有2个零点，C错误;D.因为，设切点为，则切线斜率为，解得或，当时，，切线方程为，即，D正确.11.已知数列，若存在实数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，则（）A.若，则对任意，数列都不是“加速数列”B.若，且数列是“加速数列”，则实数满足C.若数列是“加速数列”，且，，则对任意，都有D.若正项等比数列是“加速数列”且，则的最大值是答案：BCD解析：思路：对于A，设，则，进而得到即可判断；对于B，，则，进而得到；对于C，由题可知，则，再求和即可得到；对于D，设，则，进而得到．解答过程：设，对于任意的，都有成立，，对于A：，，因为，所以，所以成立，即，因为，所以存在，使得数列是“-加速数列”，故A错误；对于B，，由于，则，因为，所以数列是递增数列，故当时，，所以实数的取值范围是，故B正确；对于C，因为数列是“-加速数列”，则，,所以，所以，故C正确；对于D，设，则，由于，代入得，所以，当时，，符合题意，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．12.已知函数，则____________．答案：解析：思路：利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算；解答过程：由题意可得：.13.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________．答案：解析：解答过程：.14.设函数的个零点为，则____________．答案：解析：思路：首先将函数的零点转化为两个方程①或②的根，再分别构造函数，，用导数判断函数的正数零点的个数，再对方程分别取自然对数进而可得两个函数零点的值满足的值，从而可得结果.解答过程：原函数可整理为关于的二次三项式：则等价于①或②，且所有零点都满足（保证

有意义）：对①：设

，求导得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时函数有最小值，故①只有个零点.对等式两边取对数得

，，所以③.对②：设

，求导得

，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以有最小值，且

时，时，故②有个零点.对等式两边取自然对数得，即所以对②任意零点都满足

，因此，④.所以函数共有个正数零点，由③④得：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知各项均为正数的等差数列满足：，且成等比数列（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设的公差为，利用等比中项及等差数列的性质列出方程组即可求解；（2）写出的通项公式，利用错位相减法即可求解．（1）设的公差为，由题意得，解得（负值舍去），因此．（2）由题意得，故，，两式相减得，因此．16.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若对定义域内任意的x都有恒成立，求a的取值范围．答案：（1）极小值为，无极大值；（2）解析：思路：（1）求导后利用单调性分析可得；（2）求导后分析单调性得到最小值，再利用恒成立问题可得.（1）当时，，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以极小值为，无极大值.（2），令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为对定义域内任意的x都有恒成立，所以，又，所以.17.为推进“书香校园”建设，某校对学生每周课外阅读时长进行抽样调查，随机抽取200名学生，对“是否参与学校书香校园主题活动”与“每周课外阅读是否达到3小时”两个维度进行统计得到如下数据（单位：人）：每周阅读小时每周阅读<3小时参与书香校园活动4060未参与书香校园活动2575（1）试问：参与书香校园活动是否与学生每周阅读达3小时有关？（2）该校统计了若干组数据，用最小二乘法得到了班级图书角的投入资金X（单位：百元）与学生每周阅读时长Y（单位：小时）的线性回归方程为．已知学生每周阅读时长Y的方差为，投入资金X的方差为．求Y与X间的样本相关系数r，并据此判断阅读时长Y与投入资金X的线性相关性强弱．附：（i），其中；0.250.10.050.0250.010.001k0.3232.7063.8415.0246.63510.828（ii）在线性回归方程中，；（iii）相关系数，若，可认为与线性相关程度较强．答案：（1）在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为参与书香校园活动与学生每周阅读达3小时有关；（2）样本相关系数，与的线性相关程度较强.解析：思路：（1）代入卡方公式计算后与临界值比较可得；（2）计算相关系数后可得.（1）由题意可得，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为参与书香校园活动与学生每周阅读达3小时有关.（2）设，，由题意可得，且，样本方差满足，所以，代入相关系数公式，将，代入可得，因为，故与的线性相关程度较强.18.某公交站点的候车拥挤度分为拥挤和宽松两种状态，现统计了一个月内每日拥挤度的变化满足：第天拥挤的概率为，若第天拥挤，则第天拥挤的概率为；若第天宽松，则第天拥挤的概率为．记第天该站点拥挤的概率为．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若，都是离散型随机变量，则，记前天拥挤的天数为，求．答案：（1）；（2）（3）解析：思路：（1）先由全概率公式得，再代入值计算可得；（2）由概率的递推关系，构造等比数列，进而可得通项公式；（3）设变量表示第天拥挤，变量表示第天宽松，再结合期望的线性性质得，再由等比数列前项和公式可得.（1）根据全概率公式，第天拥挤的概率为：，已知，代入得，（2）由递推关系，整理得，设，展开得，整理得对比系数，得.因此数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即.因此数列的通项公式为（3）设变量表示第天拥挤，变量表示