【人教A版必修第一册】高一数学：集合间的基本关系（教学设计）

1.2集合间的基本关系教学设计

学

单高中数学

科

课题集合间的基本关系元第一章集合与常用逻辑用语年级高一

（人教A版）

1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、其子集。

学习2、在具体情境中，了解空集的含义，并会判断给定集合间的关系，并会用符号和Vemi图表示。

目标

3、通过集合间关系探究，经历从具体到抽象归纳过程，体会类比思想，发展逻辑推理与数学抽

象、直观想象核心素养。

本节课是人教4版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第2节内容，是在学生已经学习了

集合的概念与表示方法的基础上，进一步研究集合之间的关系。集合间的基本关系是集合论的基础内

教材

容之一，类比实数的大小关系，引入集合间的包含关系、相等关系、其子集和空集等概念，为后续学

分析

习集合的运算、函数的定义域与值域等知识奠定息础。本弓课蕴含着类比必想和数形结合思想，对培

养学生的逻楫推理和数学抽象素养具有重要作用。

学生在上一节已学习了集合的概,念、元素的三大特性及集合的表示方法，对集合有了初步的系统

学情认识。初中阶段学生已具备"子集"与"全集"的直觉经脸，但尚未形成严格的数学定义。学生在理解子

分析

集与其子集的区别、空集的挣殊地位以及“属于"关系与"包含"关系的差异时可能存在困难，需要通过

具体实例和Venn图直观辅助理解。

教学

子集、真子集、集合相等、空集的概念及符号表示：Verm图表示集合间的关系。

重点

教学

子集与真子集的区别；属于关系（£）与包含关系（c）的区分；空集的性质及有关结论。

难点

教学

多媒体课件（PPT）

准备

教学过程

教学

教师活动学生活动

环节

1、独立思考情境

新课【情境导入激发思考】问题，举手回答两

个集合中元素的

引入

情境1:如果把"高一（1）班全体学生"和"高一年级全体学生"视为两个集合，则这关系一高一（1）

班学生都是高一

年级学生；

两个集合中的元素有什么关系？

教师引导：高一(1)班全体学生都属于高一年级全体学生，即集合力中的每一个元2、跟随教师类比

实数大小关系，思

素都是集合B的元素。考集合之间是否

也有类似关系；

【类比引入提出课题】

3、明确本节课的

教师追问：实数之间有大小关系，如3<5,5=5,集合之间是否也有类似关系呢？学习目标,进入探

究状态。

教师揭示课题：今天我们类比实数的大小关系，研究集合间的基本关系。

设计意图：通过生活情境和类比实数关系，自然引出集合间关系的课题，激发学生

的探究欲望,为子集概念的虚构做好铺垫。

1、观察三组实例，

•探究一：集合同的基本关系小为讨论集合A

与集合B的元素

【活动-：直观感知子集•概念的引入】关系，推选代表发

言：

教师展示以下实例(PPT逐步呈现)：

(1)A={1,2,3］,B={1,2,3,4,5};

2、跟随教师板书,

(2)C为立德中学高一⑵班全体女生组成的集合，记录子集的定义、

符号表示和Venn

图画法：

D为这个班全体学生组成的集合；

(3)E=1x|x是两条边相等的三角形),

新知

F={x|x是等腰三角形}.3、在草稿纸上画

探究出AGB的Venn图,

体会直观表示方

教师追问：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下法；

面两个集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？

师生共同归纳：

4、独立完成即时

★子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合4中任意一个元素都是集合8中辨析题，同案互改

重点标注(4)的

的元素，就称集合A为集合8的子集，记作力38(或8G⑷，读作“4包含于错误原因——元

索与集合的关系

8”(或“8包含4”).用£,集合与集合

★符号语言：对任意的不€4,总有％6B,则4墨B.(/的关系用G。

★Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合.

［即时辨析］

判断下列说法是否正确：

(1){DG{1,2,3}：(2){1,2)£{1,2,31：(3){1,2,3)G{1,2,3)：(4)

0G{0,1}：(5){0}c(0,1)o

教师强调：(4)错误，0是元素，不是集合，应写为0G{0,1);(5)正确。注

意区分"G"与"G"

【活动二：探究——真于集与集合相等】

1、独立思考两道

思考题,小组讨论

教师提出思考问题(呈现)：

PPT后总结其子集和

集合相等的定义；

思考1:已知4={1,2,3},8={1,234,5},4是8的子集，，旦8中是否存在不属于力的

元素？

思考2:已知力={刈t是等边三角形},8={x氏是三边相等的三角形},集合4与集合B

是什么关系？

师生共同归纳：2、跟随教师板书,

记录其子集、集合

★真子集：如果集合A工B,但存在元素x£B,且xWA,就称集合A是集合B的真相等、空集的定义

和符号；

子集,记作：A^B(或B叁A)。

★集合相等：一般的，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的

新知任意一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.

探究★符号语言：若AGB,且B3A,则A=B.

【活动三：探究一空集与子集的性质】3、在笔.记本上画

出其子集和集合

教师追问：方程Y+1=0的实数根组成一个集合，这个集合中有几个元素？相等的Venn^示

意；

师生共同归纳：

★空集:一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0,

★并规定：空集是任何集合的子集，即0土A；空集是任何非空集合的其子集，即

。是A(A手0)。

教师追问：包含关系{研£4与属于关系aWA有什么区别？试结合实例作出解释。

0,{0},。三者之间有什么关系？

引导学生回答：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与

集合间的关系.0为空集：{0}含元素0;0为数字元素，三者意义各不相同。

oe{0},0W{0},0}

【活动四：子集个数规律探究】

教师引导学生填写表格(PPT呈现)：

4、完成子集个数

集合元素个数所有子集子集个数表格填空，自主发

现2n规律，小组交

流验证：

0001

{a}10,㈤2

{a.b)20,{aUbUa.b)4

{a,b,c)30,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}8

①你能直接说出集合{a,b,c,d,e}的子集的个数吗？5、口述"包含"与"

属于"的区别，通

②如果一个集合的元素个数为n,你能用n表示该集合子集、真子集的个数吗？

过举例加深理解。

规律总结：设集合A中有n个兀索，则：

(1)集合A的子集个数为:2n个：

⑵集合A的真子集个数为：2仁1个；

(3)集合A的非空真子集个数为:2n-2个.

设计意图：以问题链驱动概念建构，其子集和集合相等通过具体实例自然引出；空

集概念通过方程无解的情境引入，学生更易接受；子集个数规律通过袅格归纳发现,

培养归纳推理能力。

1、例1阶段：先

,典例精讲独立写出子集，再

对照教师板书订

例1:写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.正，检查是否遗漏

或重复：

解：集合{a,b}的所有子集为①，{a},{b},{a,b}.

真子集有①，{a},{b}.

课堂例2:判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：

练习2、例2阶段：独

(DA=(1,2,3),B={x|x是8的约数};立判断关系，小组

核对答案。

(2)A={x|x是长方形),B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}.

解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集.

(2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，

所以集合A是集合B的子集.

教师在讲例题的同时，补充以下注意事项：

☆空集是任何非空集合的其子集，即4H0,则。茎力。注意书写子集的时候不要漏掉

空集0。

■课堂练习

【题型1:子集个数】

1、设集合力=｛X|TVXV2且％EN｝,则集合4的子集有［)

43个B、4个C、5个0、6个

1、独立完成子集

【答案】B个数选择题；

2、集合｛y|y=-/+6,X,y€N｝的真子集个数是().

力、9B、8C、70、6

【答案】C

3、已知孙为非零实数，则集合｛m血=向+日+舒｝的非空子集个数是_______

【答案】3

4、设已知集合M满足｛1,2及［1,2,3,4,5｝,则所有满足条件M的集合个数是()

2、独立完成集合

4、6个8、7个C、8个。、9个相等求参数题,注

意检脸互异性：

【答案】B

5、满足｛2,3｝M些｛1,2,345｝的集合M的个数为()

力、6个B、7个C、8个。、9个

【答案】B

3、独立完成含参

、满足他些的集合的个数为()

6｛2,3M｛123,4,51M子集问题,务必讨

论空集情况，小组

力、6个B、7个C、8个D、Q个

交流参数取值：

【答案】A

【题型2:判断集合关系】

1、指出下列各组集合之间的关系：

⑴4=｛-1,1),B=｛(-1-1),(-1,1),(1-1),(14))；4、错题整理：将

子集概.念、空集讨

(2)/1="氏是等边三角形｝,B=口卜是等腰三角形｝;论、互异性检验的

错题整理到错题

本。

(3)M={x\x=2n—l,n€N"},N={x\x=2n+l,nGN'}.

【答案】(1)力与B无包含关系；(2)4^&(3)N^M.

2、已知集合力={%|%2-3%+2=0},B={1,2},C={x\x<8,xeN),用适当的符

号填空：

(1)4______B；⑵4______C；(3){2}______C；(4)2______C.

【答案】(1)=；(2)g；(3)S；(4)G

教师补充以下注意事项：

★判断集合间关系的常用方法：

(1)列举观察法：当集合中的元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出

集合之间的关系；

⑵元素特征法：先确定集合的代表元素是什么.弄清集合元素的特征.再利用元素的

特征判断得出集合之间的关系：

⑶数形结合法：利用数轴或羟刖图，其中不等式解集之间的关系适合用数轴法.

【题型3：判断集合关系】

1、已知集合力={-24x45},B={x\m+l<x<2m-l},若8与力，求实数m的

取值范围.

解：-A={-2<x<5],B=[x\m+1<x<若B矮/1,

分两种情况：

①当8=0时，则巾+1>2"1—1,即m<2；

7H+1<2m+1-m>2

②当8H0时，则4zn4-1>-2即1zn>-3111-

2m+1<51m<3-2m4-12m-1S

解得：2MmW3.

综上可得，实数m的取值范围是：{?n|7nW3}

教师补充以下注意事项：

★由集合间的关系求参数的取值范围问题的解决策略：

1.求解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，

以形定数，积累直观想象的泾验，同时还要注意验证集合的端点值，做到准确无

误，一般含“=”用实心圆点表示，不含“=”用空心圆圈表示；

2.涉及“AcB”或“A些B,且BH0”的问题，一定要分力=0和4H0两种情况进

行讨论，其中A=0的情况易被忽略，应引起足够。

2、已知集合4={-24%45},B={x\m+1<x<若{U8,求实数m的

取值范围.

解：据题意得：A丰。.

所以〔”+K呼-----------

।叫12m-1>5

解得-二§______11—

m41-252m~1r

m无解，即m的解集为。.

教师引导学生回顾，构建本节知识框架：

一、子集（旦）

1、跟随教师引

导，自主口头板

•定义：力中任意元素都是8的元素=AG8

理本节评知识

点，分模块复

•性质：AQA（自反性）；4匚8且8匚。=力仁。（传递性）

述：

二、真子集0）

•定义：4。8且存在%£8,%64=4隆8

2、独立绘制简易

三、集合相等：定义：力《8且81力=4=8思维导图，梳理

子集、真子集、

课堂四、空集（0）集合相等、空集

等概念及关系；

小结•定义：不含任何元素的集合

•性质：0GA（任意集合）：0^4（非空集合）

3、主动举手分享

五、子集个数规律本节课易错点