第一章 第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷B（解析版）

高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章综合检测卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，选对得5分，选错得。分.

1.若在=4①，E为空间中不在直线。。上的任意一点，则直线48与平面CQE的位置关系是()

A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内

【答案】D

【分析】由给定条件可得直线与直线8平行或重合，再分情况讨论作答.

【详解】因而=4而，则有直线48与直线C。平行或重合，而点E不在直线C。上，即点£、直线CQ

确定平面CDE,

若直线与直线CQ平行，当点£在直线48上时，直线48在平面CQE内，

当点E不在直线48上时，CQu平面。E,48a平面。E,于是得48//平面。E,

若直线与直线CO重合，则直线在平面CDE内，

所以直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.

故选：D

2.边长为2的正方形48CQ沿对角线力C折叠，使平面力垂直于底面力8c.则而.就:().

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，写出4伉。,。的坐标，利用空间向量的数量积进行运算即可.

【详解】设/C中点为O，易知A48C,△/CO是等腰直角三角形，

所以NC1OB,AC1OD,

又平面力CQ垂直于底面力3C,平面力CO。底面"C=4C,ODu平面力C2则。。_L底面/8C,

以。为原点，03,OC,所在直线分别为人轴，，轴，z轴建立空间直角坐标系，

则川0,一60),5(V2,0,0),C(0,V2,0),D(0,0,5/2),

JD=(0,V2,V2),5C=(-V2,^,0),

・•・丽灰=0乂1亚)+&&+拒x0=2.

故选：B.

3.已知平面。的一个法向量7=（1,-2,-2）,点,4（-1,3,0）在a内，则平面外一点P（-2,1,4）到a的距离为（）

10

A.10B.3cD.—

-13

【答案】C

日.期

【分析】首先求出而，再根据点尸到。的距离♦=匚尸计算可得.

【详解】解：因为/（-1,3,0）、PI-2,1,4）.

所以万=(-1,-2,4),

又平面a的一个法向量3=。,-2,-2）,

n-AP\|1X(-1)+(-2)2+(-2)X4|

5

所以点尸到a的距离d=

Fl"+(一2『+(-2)23

故选：C

4.如图，4BCD-为正方体,下列错误的是（）

A.BD〃平面CBQiB.平面力。G■平面C8Q.

C.0c与力C共面D.异面直线4。与力G所成的角为90度

【答案】C

【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的判定定理可判断B,由异面直线的定义可判断C；

以。为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，可得丽・布=0,可判断D.

【详解】对于A,由正方体的性质知：BDHBR,平面C42，u平面C8Q,

所以60〃平面C8Q,故A正确；

对于B,由正方体的性质知：4D上DC,AD^LDB|,DCcDB|=D,DC,DB|U平面DCClDl，

AD1平面DCCR,CQ]u平面DCCR,所以4。_LC。，

又因为CQ_LCR,/l。cG。,月。,C|。u平面力。G，所以平面力。4，

CRu平面CBQi，则平面力。6•平面,故B正确；

对于C,RCu平面力CGR，因为力任平面。CCQ1，Cu平面DCGR，

力q<z平面QCGA，由异面直线的判定定理知。c与力G是异面直线，故C不正确：

对于D,以。为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2,

4(0,2,0),4(022),D(0,0,0),C,(2,0,2),

~Afi=(0,-2,-2),jq=(2,-2,2),45.jq=0,

所以异面直线4。与力G所成的隹为90度，故D正确.

故选：C.

5.如图，在四棱锥尸-48C。中，底面44CQ为平行四边形，且力3=力尸=6,AD=2,

ABAD=ZBAP=ADAP=60°,E,产分别为//,PC上的点，且而=2而，丽=卮，|司=（）

A.1B.72C.2D.76

【答案】B

【分析】根据给定条件选定基底向量存而，万，并表示出而，再利用向量运算即可得解.

【详解】在四棱锥中，底面48CZ）为平行四边形，连接4C,如图，而=2而，丽=后,

则丽=丽+茄+"+而=g万一荔+"+|正=；而一而十万+g(前一函

=-(Zs-J?)-Z5+ZP+-(J5+JD-JP)=--J^+-JS+-IP=-(-Z5+3Z5+ZP),

326266

又AB=4P=6,AD=2,/BAD=/BAP=/DAP=60。,

则万丽二万♦而=6x2xcos60=6，布•万=6x6xcos60=18，

因此，|布=1J(一茄+3而+衲2」J万+9亚2+万2-6荔•益+6彷万-2万•万

66

=-736+9x4+36-6x6+6x6-2x18=0.

故选：B

6.如图，在三棱锥尸-44C中，弘_1_平面/AC,ZABC=90°,N4fC=60。，PA=AB=2,以4为原点，

分别以沅，成，刀的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面处8和平面尸8C的一

个法向量分别为而则下列结论中正确的是（）

N

A.点尸的坐标为（0,0,2）PC=(4,0,-2)

C.cos（而，万）〉0n=(0-2,2)

【答案】D

【分析】根据空间直角坐标系，写出点坐标3（0,0,0）,4（020）,C（2V3,0,0）,60,2,2）,分别计算即可

求值.

【详解】建立空间直角坐标系如图:

B

由题意可得8(0,0,0),4(020),C(2x/3,0,0),网0,2,2),

所以斤二(23-2,-2),而=(0,2,2).

2\/3x-2y-2z=0

设7=(x,乂z)则

2z+2y=0

取z=2,可得万=(0,-2,2).

因为/3124c,PA1BC,

所以4c/平面PAB,

所以平面08c工平面PAB,

所以加±71，

月不以COS<W,H>=0.

综上所述，A,B,C错，D正确.

故选：D

7.如图，在长方体力8CO-48cA中，底面4BCO为正方形，E,尸分别为4G，CQ的中点，直线8E与

平面488同所成角为45。,给出下列结论:

①EFH平面BBRD；@EF1J.C.；

③异面直线BE与D.F所成角为60。；④三棱锥B-CEF的体积为长方体体积的看.

其中，所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】取AC中点为G,可证明平面EFG〃平面88QO,根据面面平行的性质即可判断①；可证明月©，

平面66QO,即可判断②；可证明四边形8EA"是平行四边形，即可得到进而可得/厂即

等于所求角，求出该角即可判断③；以ABCE为底,即可求出三棱锥的体积，进而判断④.

取BC中点为G,连结EG,/G.

对于①，因为£/,G分别是8C，CD,8c的中点，所以EGI/BB、,FG//BD,

因为8&U平面BBRD,EGa平面BBQQ,所以？G〃平面,

同理，FG"平面BBRD.

因为，EGu平面E尸G,QGu平面EPG,EGC\FG=G,所以平面EFG〃平面BBQQ,

乂Mu平面EFG,所以£"〃平面BBQQ,所以①正确；

对于②，由已知可得四边形48cA是正方形，BR工A©,

又8与J•平面44G4,4Gu平面43。画,所以8用_L4G，

因为8au平面网。。，BB\U平面BBQQ,,所以力℃平面网R。，

又EF"平面BBRD,所以E"_L&G，故②正确；

对于③，取力。中点为“，连结BHRH,D\E,HF.

因为BE=BB「EBrHD\=DD「DH,BB】=DDrEB、=1:必=3DA=DH,所以BE=HQ,所以BE//HD、

且8E=H],

所以四边形BE。"是平行四边形，则RH//BE,所以异面直线BE与。尸所成角即等广直线4〃与。尸所

成角NHDF,

因为直线BE与平面片844所成角为45。，4G-L平面4BBH，所以NEBB】=45,，所以4E=BB「设”=2,

则84=8卢=；8£=1,则DF=DM=FH=g,

所以△鼻所为等边三角形，所以尸=60。故③正确；

对于④，设长方体体积为P，则夕-COxACxCG.

因为CO_L平面8CG4,则％4即=/_8°£=!'。产＞186=；＞＜（7/乂：8。乂。&=看*6乂8。'。&=5/,

故④正确.

故①②③④正确.

故选：D.

8.在平行四边形/8C。中，角A=},AB=5"D=1,将三角形/出。沿3。翻折到三角形H3D,使平面

48Q_L平面BCD.记线段WC的中点为M,那么直线47）与平面8DW所成角的正弦值为（）

A.旦B.正C.也D.2

4322

【答案】A

【分析】由余弦定理，则80=40=1,/DBA=NA=S4DB=三,以。为原点建立空间直角坐标系,

63

利用向量法解决线面角问题.

【详解】A=^AB=y[3,AD=\由余弦定理，

6t

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=j32+\2-2xy/3x\xcos-=],

6

则BD=AD=1,/.DBA=Z.A=—,Z.ADB=—,

63

2

平面48。J.平面8c。，NA，DB=NADB=T，DC=AB=®KD=AD=BD=T,

以。为原点，。4所在直线为V轴，平面月8。内垂直于。6的直线为X轴，垂直于平面的直线为Z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则以0,0,0）,力苧,一；,0，以o10，q

DA'=0,-1,呵(0,1,0网J耳"

r

n.DB=y=0

设平面的一个法向量为/「=(》/*),则有，

-G.］工6n

n-DM=----x+—yH------z=0

424

令i=l,有y=0,z=l,即万=（!,0,1）,

.「巫厂

COSH,DA'=万=-^7==—'

同网lxx/24

所以直线©。与平面8。河所成角的正弦值为逅.

4

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分.

9.已知非零空间向量£31，则下列说法正确的是()

A.若Z〃瓦加Z,则:/B.~a-h=b-a

C.卜B)•己=限0.1)D.若c=xa+yB(3wR),则£,正不共面

【答案】AB

【分析】根据向量共线定理判断A：利用数量枳的定义判断B；根据平面向量数量枳的定义和运算律判断C；

利用平面向量基本定理判断D

(详解】时于A,因为八B,3是非零向量,且满足a//b，c//h，故存在实数大〃使得a=花I=〃△故£=A^c,

所以G依,故正确；

对于B因为,,B?是非零向量，所以】石=同降0s,故正确;

对于C,(济B"="正(〃?€R),(鼠斗方=〃1(〃cR),万与5未必共线，故不正确；

对于D,由平面向量基本定理可得若c=M+yWx,ycR),则共面，故不正确

故选：AB

10.已知空间中三点4(2,1,-1),8(1,0,2),C(0,3,-l),则().

A.网=布B.ABIAC

C.cos=D.A,B,。三点共线

19

【答案】ABC

【分析】根据向量的模的坐标表示即可判断A；判断在.祝=0是否成立即可判断B；根据

丽.前

cosZ.ABC=HM即可判断C；判断向量方,正是否共线即可判断D.

【详解】解：焉=(-1,-1,3),则网=，1+1+9=而,故A正确:

配=(-2,2,0),则万.元=2-2+0=0，所以工4C,故B正确;

—、一,、/BABC-1+3+9V209

心（z7,3,-3河=（覃,-3）,则cos48C=网用=标府=▽，故C正确;

因为方=(-1,-1,3),JC=(-2,2,0),三三,所以向量而，元不共线，则4B,C三点不共线，故D

—22

错误.

故选：ABC.

11.已知平行六面体4?CO-44CQ1如图所示，其中48=8C=2,44=3,=N844,=60。,

线段/C,BD交于点O,点七是线段44上靠近4的三等分点，则下列说法正确的是()

A.EO=--AA.+-AB+-ADB.EC.=-AA.+AB+-AD

32232

C.\EO\=3D.西•麴=9

【答案】AD

【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.

【详解】依题意，羽.荔二|五可|而|・cosNA44=3x2x；=3,

Z7.JD=3x2xl=3,JD=2x2xl=2,

22

Eb=EA-¥^O=--7A,+-7B-¥-~ADt故A正确;

322

无=可+福，羽+荔+石，故B错误；

3

\Edf=〔|麴+；而+；75）

，麴2+，刀?+，而2二怒.刀二刀;.而+_!_在.力

94431312

212I11

=4+1+1——x3x2x------x3x2x—+—x2x2x—=3,

323222

贝lj|瓦5|=百，故C错误；

鬲•麴=（；怒+方+砌.怒

=4衣+而麴+彷瓦，x9+3+3=9,故D正确：

33

故选：AD.

12.在直三棱柱/5C-44G中,力4,平面CM4,/£44=］且4。|=44=2,E为BC中点、,则下列

说法正确的是（）

A.无论彳4为何值时，均有48〃平面NEG成立

B.当44=2时，CBJ平面片EQ

C.当时，月后与片田所成肃的余弦值为警

D.当力4=4时，点A到平面4劭的距离为亚

3

【答案】ABC

【分析】对于A,连接4Cc4G=。，连接利用中位线的性质可得48//0E,结合线面平行的判定定

理即可判断；对于B、C、D,建立空间直角坐标系，用向量法进行计算判断即可.

对于A,连接4CC/G-。，连接。£.

因为四边形力eq4是平行四边形，所以。是4c的中点，又石为8。中点，

所以4B〃DE,又48a平面力EG，QEu平面所以////平面/EQ，A正确；

对干B,如图，建立空间直角坐标系，当44=2时，4(0,0,0),40,2,0),片(2,0,2),G(022)芭(1,1,0),

则函二(2,-2,2),荏=(1,1,0),正=(-1,1,2),

所以西•西=-2-2+4=0,西•荏=2-2+0=0,BPCB}1EC„CB]±AE,

又EC/、AE交于E点,nEG，A£u平面4EG，所以。平面B正确;

对于C,当44=3时,J(o,0,0),5(2,0,0),4(0,0,3),^(1,1,0),

则存=0,1,0)不=(2,0,-3),所以而同:奇瑞=石永二答

故4E与4B所成角的余弦值为鲁，C正确；

对于D,当44,=4时,^(0,0,0),5(2,0,0),4(0,0,4),£(1,1,0),

则亚二(1,1,0),9=(2,0,-4),砺=(-1,1,0),

设平面4E8的法向量为万=(x,y,2),

fi=2x-4z=0

则<取下=(2,2,1)

n-BE=-x+y=0

4

点A到平面A.EB的距离为|AE||cos<D错误.

3

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知3=(1,-2乂)石=(-1,2,7),若>3夹角为钝角，则实数4的取值范围是.

【答案】丸>-5且4"

【分析】根据题意得出且］与否不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答

案.

【详解】因为工与否的夹角为钝角，所以且G与B不共线，

因为£=(1,一2乂)1=(一1,2,-1),所以75=7—4—4<0,解得2>-5,

当;;与刃共线时，%=前，即(L—2㈤”(—1,2,—1),则-2=23解得％=—1,2=1,

X=­k

所以4>一5且4Hl.

故答案为：2>-5且2x1.

14.已知空间四边形力8C。中，万・丽=充.诙=0，则荷.而=.

【答案】0

【分析】根据向量的加法的几何意义，将而•比化为。石+B5）.（4万+。心），结合数量积的运算法则和向

量的线性运算，即可求得答案.

【详解】在空间四边形488中，~ABCD=AC~BD=Ot

则而灰=（刘+诙）.（诙+皮：1=而•丽+丽’+丽•反

=(JB+JDyBb+~BDDC=Jb^BD+BDDC=(AD+DCyBb

=ACBD=0,

故答案为：0

15.点/、N分别是正四面体力88棱8C、力。的中点，则cus（后7,丽”

【答案】、2

【分析】以万，工，而为基底，折=；（方+衣），函=g而一衣，即可求解.

【详解】解：以前，就，而为基底，它们两两之间均为60.，设正四面体力8C。棱长为2,则

丽=；（荔+硝，丽巧而一对

而.丽=；（荏+园《而_可而'AB^^ADAC^AC~AB^AC~AC

=i（l+l-2-4）=-2

所以|葡卜Jg（而+羽=业万+2病祝+珂

可=^^AD2-ZD-AC+AC2=G

所以8S(4W,CNb前廊

2

故答案为：-鼻

16.如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体力8CO,则下列叙述正确的是

①平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；

②异面直线8C与力。所成的角的余弦值为噜；

③四面体/4CO有外接球且该球的半径等于棱6。长；

④直线QC与平面ABC所成的角为30.

【答案】②③④

【分析】建立空间直角坐标系，用空间向最解决①②④，利用向最求出/O_L/C,取两个直角三角形斜边

中点，可证明此点为球心，进而得到解答.

【详解】如图，以4。为x轴，4c为y轴，垂直于平面8c。为z轴建立空间直角坐标系，设4。=1,则，

8c=百，贝I。。,。,。)，c(o,V3,o),5(0,o,o),平面灰?。的法向量为送=(0,0,1),平面4CD

次.公立L立Z=0

的法向量为〃=（x,y,z）,则・h2’2~，令y=l,贝！x=百，z=l,则G=（C,1,1）,因为蔡G=i，

CDn=x-x/3y=0

则平面88的法向量与平面力。的法向量不垂直，①错误；

设异面直线8c与"）所成角为8,其中就=（0,百,0）,^S=G,y,y,则

竺退身旦②正瑜

cos^=|cos^8C,/£))=

g叵10

2

而而卡亭用传邛）=0,所以△力。。是直角三角形，取C。中点O,则因为△Q8C和△力QC

为直角三角形，CM=O8=OC=OQ,则。为四曲体ABCD的外接球球心，半径为OB=gc'。，而根据ZCBD=30°,

故80=gc。，故四面体48CZ）有外接球且该球的半径等于棱4。长，③正确；

平面力8。的法向量为£=（1。0）,设直线OC与平面48C所成角为

sina=Ms@反）卜也驾乎必=?故。=30。，故④正确.

故答案为：②③④

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知点4（-2,0,2）、8（-1,1,2）、C（-3,0,4）,方=万，b=AC.

⑴若同=3,且不〃旅，求,:

⑵求cosR,

(3)若依+B与布-2坂垂直，求攵.

【答案】(1兄=(-2,-1,2)或1=(2,1,_2)；(2)_噜；(3)A=_g或%=2

【分析】(1)利用空间向量平行充要条件设出5=(-2尢-尢2；1),再利用同=3列方程，进而求得?；

(2)先求得)一(1,1，0),5=(-1,0,2),再利用公式即可求得cos佟分的值；

(3)利用空间向量垂直充要条件列出关于〃的方程，解之即可求得衣的值.

【详解】(1)•:8(—1,1,2)、C(-3,0,4),.•.而=(-2,-1,2),v|c|=3,且川/碇,

设？=(-22,-2,22),且(-22):+(-2):+(22)2=9,

解得4=±1,=(-2,-1,2)或己=(2,1,-2)；

(2)丁力(一2,0,2)、5(-1,1,2),。(一3,0,4),而，B=衣,

.•.2=(1,1,0),^=(-1,0,2),

/一r\ab-1而

(3)+4=(14,2),ka-2b=(k+2,h-4),

又折+B与后-2石垂直，

%左一1)0+8=0,解得2=_«|或左=2.

18.已知三楂柱中，侧棱441_L底面48C,记。=44，否=益，c=AC.

(1)用4,&c表示?1及；

(2)若力用J.〃G，4C_L4C1,求证：AB}=A,C.

ULAAB11UUUlL1ULXIA£££

【答案】(1)AB]=a+h,AyC=c-a,BC}=a+c—b；(2)见解析

【解析】(1)根据空间向量的加法和减法的运算法则，即可求出结果；

(2)由题意可知，。；=0,：)=0,由AB.±BCX,可得出~-向2+力」=0；同理由4c,g可得

•r,2.r|2rr

|c|-|a|一儿。=0,即可证明结果.

UULUUUULUUU11UULUUULLUULU11

【洋解】(1)4Bi=AA+4B=a+b,AiC=AC-AAi=c-a,

UULUUU3UUUMUU1UUL1ULO11X

BC}=AC}—AB-AAy+AC-AB=u+c—h；

（2）证明：•・•_L底面48C,・•・力4

ac=0,ab=0,

ri

QAB{1/yCp.,.(a^b\{a+c-b)=。,

rrr

zrrx/a+c-/?)=0,|c|2-2

QA[C±BCya-6c=0,

|/»|2=/(，・••卜卜H，即AB1=4c

【点睛】本题主要考查了空间向量的加法（减法）运算法则，以及空间向量数量积的应用，属于基础题.

19.如图，在边长是2的正方体4BCO-44GA中，E,尸分别为48,4c的中点.

（2）证明：故与平面4OG不垂直.

【分析】（1）连结力。工4。=G,连结G尸，先利用平行四边形证得即〃力G,再利用线面平行的判定定

理得到七用1平面4cA；

（2）建立坐标系求出点的坐标，表示出而.函，因为万•苑=2工0,所以E厂不垂直。G，则反■与平

面&OG不垂直.

【详解】（1）如图，连结力AC4Q=G,连结

因为在正方体44GA中，面力。。4是正方形，所以4G"4。，

G是4。的中点，又因为产是4c的中点，所以G///C。且G/=gco=i,

因为七是48的中点，所以力£=,48=1,又ABHCD,所以GFf/AE,GF=AE,

4o

所以四边形月EFG是平行四边形，故EF/IAG,

又EF<Z面力。A,4Gu面力eg：所以E77//平面/CR；

（2）建立以。为坐标原点，DA,DC,。2分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

则。(0,0,0),4(2,0,0),Q0,2,0),仅2,2,0),42，0,2),。(0,0,2)

尸分别为48,4。的中点，

:•E(2,1,0),F(l,1,I),所以乔=(一1,0,1)

国二（0,2,2）,而即•近=2*0,故小不垂直OG，

则斯与平面不垂直.

20.如图，在四棱锥P—48CZ）中，PD上底面4BCD,底面488是矩形，PD=CD=\,BC=&M为BC

的中点.

⑵求二面角8-4P-A/的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

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【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运笄性质进行证明即可;

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）以。为坐标原点，上）4DC,。，所在直线分别为

则尸（0,0』）,用上,1,0）,"[,1,））,4c,o,q,

丽=（拉,1,-1）,赤二（4,1,0）

，辞=（q,oj.

因为丽.初二75x（—¥）+1x1：

=0,所以04_L/A1；

（2）设平面P4H的法向量为蔡二

——V2

---x.+y.=0.

则,,m-AM=21%取西：=V2,可得记=（后,1,2）.

m-AP-+Z]=0,

设平面PAB的法向量为GEx?$"?）,

n-PB=\/2xy+y,-z,=0,「-(\

则一二取与=&，可得〃=夜，。，2.

7

a・AP=-正x/z2=0,1

/----\mn442

cos(w,^=--z-=—.

'=m7n/

故二面角8-4尸-."的平面角的余弦值为恒.

7

21.如图，在四棱锥尸-48CQ中，P4_L平面49C。，正方形H8CQ的边长为2,E是力的中点.

⑴求证：PC"平面BDE.

⑵若4=2,线段尸C上是否存在一点尸，使力尸，平面8OE?若存在，求出炉的长度；若不存在，请说

明理由.

【分析】（1）连结力。交8。于点O,可知。£7/PC然后根据线面平行的判定定理，即可得出尸。〃平面出定；

（2）先证明GD_L平面4£）尸.以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，设而=丸正，

求出点尸的坐标，然后得到方.求出平面3DE的法向量；；，根据［〃而得出2的值，根据数乘向量的模，

即可得出答案.

如图1，连结4C交于点O.

因为48CO是正方形，所以。是AC的中点,

又E是产力的中点，所以OE//PC.

因为。Eu平面4。£,PCU平面BDE,

所以PC"平面BQE.

（2）存在，理由如下：

因为21_L平面488,COu平面ABC。，所以?/_LCO.

因为力BCD为正方形，所以CQ1D4.

又PAcDA=A,2iu平面4QP,。力u平面49P,

所以CO_L平面处DP.

以点。为坐标原点，过点。作友的平行线为x轴，分别以。40C为乂z轴,

建立空间直角坐标系。-中z,如图2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),C(0,0,2),D(0,0,0),P(2,2,0),E(l,2,0),

所以无=(-2,-2,2).

令方=4户404/141),

则方=丽+2定=(2,2,0)+(-2晨-2九2/1)=(-2/1+2,-2/1+2,2力

所以尸(-24+2,-22+2,22),所以万=(-22+2,-22,22).

因为瓦=(0,2,2),55=(1,2,0),

设"=（K儿2）是平面4。£的•个法向量,

n-DB=02y+2z=