2025-2026学年北京市延庆区初二（下）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京延庆初二（下）期末

数学

考生须知：

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和考号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题（共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.）

I.纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人艺术与智慧的结晶，下面纹样的示意图中，既是中心对

2.如图，A,8两点被池塘隔开，小张通过下面的方法估测出A,8间的距离，他先在彳"外取一点C,然

后分别确定4C，81•的中点。，E,并测出的长为12加，则A,3之间的距离为（•

A.6mB.）2mc.24/nD.36m

3.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A.X2+4=OB.X2+2X+I=0

C.x**r2OD.2X24X4|XO

4.若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为（）

A.720°B.540。C.360°D.180°

5.。/取'/）的对角线』（'，///）交于点。，下列说法正确的是（）

A.若彳"=//（・，则次力是矩形B.若则。/次7）是矩形

C.若1818（,，则。/"CC是菱形D.若（〃=（加，则。/伙7）是菱形

6.近年来，延庆区大力发展低空旅游产业.延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景

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区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流

逐月递增.3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时.设直

升机每月飞行时长的平均增长率为工，则下列所列的方程正确的是（）

A.119.2(1+2x)=176.8B.II9.2(I+X2)=176.8

C.II9.2(I+X)J=176.8D176.8(1+”?=119.2

7.根据A,B两地同一天（24小时）气温的数据，在同一幅图中画出箱线图，如图所示.给出下列结论:

①A,B两地气温数据的中位数都是15

②A地气温数据的第一四分位数是10

③A地气温的温差比B地大

@A地最高气温比B地的最高气温低

则正确的个数是（）

C.3个D.4个

8.如图，在中，:点E是（？）的中点，过点4作//_L8（'于点立连接在并延长

与线段彳。的延长线交于点G,连接彳£.给出下列结论:

①点E是GF的中点；

②":■"）；

③4F平分NG48；

®ZD£F-3Z（7/

则上述结论中，所有正确结论的序号是（)

C.①②③D.①③④

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二、填空题（共16分，每小题2分）

9.函数y=Jx-l中,自变量上的取值范围是_________.

10.方程f-2A-0的解为

II.在平面直角坐标系力〃•中，函数y="r（4*0）和,=&/+〃（&*0）的图象如图所示，那么关于

y=k,x

X,y的二元一次方程组《「「的解是_________.

y=k1x+b

12.某校的射击社团经过筛选，决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学，代表社团参加延庆区

“青少年射击比赛”.该社团组织四人进行比赛，这四名同学10次射击成绩（单位：环）的平均数及方

差，如表所示：

甲乙丙T

平均数92929696

方差1.20.60.20.7

如果要选•名成绩好且状态稳定的同学参赛，则应该选择

13.设七，与是方程/_2x_|=0的两个实数根，则代数式'的值是

14.若点彳（一1,月），8（2.%）都在正比例函数y=2%的图象上，贝||凹y2（填”或

“<”).

15.如图，将矩形纸片［8（。沿直线/?/）翻折，使点4落在点£处，BE与CD交于点乩若

彳。=3，则的长是.

16.某智能芯片制造厂接到零件加工任务，需要甲、乙两个车间相互配合，要求它们同时开工，11天完

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成.乙车间在加工3天后停止加工，在引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成任务为止.设甲、

乙两个车间加工零件的总数分别为（件），九（件），加工时间为.1（天），甲车间与乙车间加工零件总

数之差为z（件）.y卜儿与加工时间x之间存在函数关系，如图1所示；z与x之间存在函数关系，如

图2所示.

图2

（1）图1中，。的值是,

（2）在第天，甲乙两个车间加工的零件总数相同.

三、解答题（共68分，17题8分，1821题，每小题5分，2223题，每小题6分，24题

5分，25题6分，26题5分，27题7分，28题5分）

17.解方程:

（1）X2+4X-5-O；

⑵2/4x-l=0.

18.一次函数,=姓-3（大*0）的图象经过点4（4.1）,与），轴交于点B.

（1）求这个一次函数的表达式，并画出该函数图象；

（2）当>>0时，x的取值范围是

（3）的面积是_________.

19.如图，在中，点£,尸在对角线4C上，且彳E二c『，连接8月，BF，DE，DF求证:

四边形是平行四边形.

B

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20.已知：如图1,点c是直线彳〃外一点.求作：直线CD，使得〃/8.下面是某位同学的作图方

案：

①在彳"上任取一点M,连接MC（MC不与彳/?垂直）；

②以点M为圆心，以A/C为半径画弧，与彳A交于点N；

③分别以点C,N为圆心，以为半径画弧，两弧交于点人

④作直线（Z）.

则直线（1）即为所求.

C

■

AB

图I

（1）根据上面的作图方案在图1中完成作图：（保留作图痕迹，不写作法）

（2）完成下面的证明：

证明：连接N/X

•:MN=CM,ND=DC=CM,

CMMNNDIX,.

・・・科边形C“NO是菱形（①_______）（填推理依据）.

・•・CD〃MN（②）（填推理依据）.

:・CD〃AB.

（3）请你再另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成（保留作图痕迹，不写作法和证明）.

C

■

A8

图2

21.关于x的方程/-2x+A0有实数根，且攵为正整数，求攵的值并求此时方程的解.

22.某校为了解学生的体育健康知识掌握情况，进行相关测试.测试结束后，分别从七年级和八年级参加

测试学生的成绩中随机抽取了20名学生的成绩（满分100分），并进行了整理、描述和分析，下面给出了

部分信息.

a.抽取的七年级学生测试成绩（单位:分）：72,75,78,80,81,82,82,82,83,84,84,85,86,

87,88,90,91,93,98,99；

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b.抽取的八年级学生测试成绩（单位：分）的频数分布直方图，如图所示（数据分为5组:

75sx<80,804x<85,854x<90,904><95,954x4100）：

c.抽取的八年级学生测试成绩在854X<90这一组的是：85,86,87,85,87,88；

d.抽取的七、八年级学生成绩的平均数、中位数、第三四分位数、众数如下：

平均数中位数第三四分位数众数

七年级8584nP

八年级85m9185

根据以上的信息，回答卜.列问题:

（1）补全频数分布直方图；

（2）表中m二〃=.

（3）若七年级学生甲，八年级学生乙的成绩均为85分，则甲，乙两人在本年级中成绩更靠前的是

（4）此次测试成绩在85分及以上为优秀，若该校七年级参加测试的有180人，八年级参加测试的有200

人，估计七、八年级成绩优秀的共有多少人？

23.某景区“农家乐”一日游活动的票价为200元.春节期间该景区推出两种购票优惠方案.方案一：所

有购票人员统一享受票价七折优惠；方案二：团队中1人购买全价票，其余成员可享受票价六折优惠.春

节假期小明想和朋友们一起参加该景区“农家乐”一日游活动，选择哪种方案更合算？说明理由.

24.一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票.托运行李的费用y（单位：元）与行李的质量x

（单位：kg）的关系如图所示.

（1）可免费托运的行李最大质量是多少千克？

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(2)如果托运的行李超过免费托运的质量后，那么每千克需支付的费用是元.

25.如图，菱形48('。中，连接.4('并延长到点£，使得(上,-(7,延长4。到点广，使得八“.介，3

连接"'•

(D求证：△/<£「为等腰三角形；

(2)连接与4('交于点。，连接/)行，若BD6，EFC求0/T的长.

26.在平面直角坐标系近力•中，一次函数,=独+/>(4=0)的图象由函数)'x的图象平移得到，且经过

点(14).

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当刀>2时，对于”的每一个值，一次函数旷=Mx(mwO)的值小于一次函数y=br〃(A=0)的值

且大于I,直接写出机的取值范围.

27.如图，，4(,是正方形48(。的对角线，点。是d('的中点，将线段(用绕着点。逆时针旋转

2a(0。<a<45。)得到线段(足，连接£8，EC.

(1)求的度数(用含a的式子表示)；

(2)连接以，过点。作。于点F,与以交于点G.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段£「，EG，£4之间的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系近夕中，给出如下规定：对于平面内任意一点P(x.p),将点P的横、纵坐标先乘

以・1,再分别加上1,得到点则称点。是点P的变换点.如图，在正方形(〃/R'

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中，4(4,0),C(0,4)：已知线段£(0」)，F(oJ-A|,其中方＞0.

(2)若点E的变换点的坐标是(2,0),则。的值为;

(3)若线段上所有点的变换点，都落在正方形〃力/*'的边上或内部，则力的最大值为

的取值范围是.

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参考答案

一、选择题(共16分，每小题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.)

题号12345678

答案BCCABCCD

二、填空题(共16分，每小题2分)

9.【答案】

【详解】解：根据二次根式的意义，Wx-l>0»

解得xNL

故自变量工的取值范围是

故答案为：x>|.

10.【答案】xi=0,X2=2

【详解】解：f-2x=0,

x(x-2)=0,

户0或『2=0,

故答案为：xi=0,X2=2.

fx=-2

11.【答案】<

1尸・1

【详解】解：•••函数y=£卢与FAx+/>的图象的交点坐标为(2,1),

••・关于x,y的二元一次方程组｛/薄;的解为广;二.

12.【答案】丙

【详解】首先比较四名同学射击成绩的平均数，甲、乙平均数为92,丙、丁平均数为96,由96>92,可

知丙、丁的成绩优于甲、乙，排除甲、乙，

再比较丙、丁的方差，丙的方差为0.2,丁的方差为0.7,由0,2<0.7,根据方差的意义，方差越小，成绩

波动越小，状态越稳定，可知丙的状态比丁更稳定，

因此丙成绩好且状态稳定.

13.【答案】-2

【详解】解：・・・毛，*是方程一一24一1=0的两个实数根，

由根与系数的关系可得：

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=2,

IIx,+x2.

x(x2J^x2-I

14.【答案】v

【详解】解：・・•正比例函数y=2*中，比例系数A=2>0,

二•F随人的增大而增大，

又，•点/(-1」J,5(2t外)的横坐标满足-1<2，

工乂〈％

15•【答案】"

4

【详解】解：••・四边形48(。是矩形，

••AB//CD，8('=AD=3，CD=AB=6,ZC■90»

・・/ARD=«DR,

由折叠的性质可.知，/ABD=/EBD，

・/EBD=/CDR，即/FBD=/FDR，

：•RF一DF，

设DF■工，则BF,工，CF=CD・DF=6T，

在R/dBCF中,由勾股定理得BC2+CF?〃尸，

••3+(6-X)?二/，

解得x”，

4

・・・/)/•,的长是

4

16.【答案】①.630②.9

【详解】解：(1)甲是一直匀速加工，.小,对应图1的直线，乙先加工、再停止、再加工，对应图1的

折线，

根据图1得，xII时，=55(),

根据题意，2=凡一九,

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由图2得：时，z,-80,即55O-u=-8O,解得：。・630；

(2)甲的效率：甲II天加工550件，因此每天加工空一50件，则％=50x；

II"

由图2得，X=3时，z=6O,即50x3-九二60,解得丁乙二90,则乙前3天每天加工90,3=30件;

乙停止加工时上不变，i=50x-90,

图2中顶点z=l60,代入得50x-90=160,解得：x・5,田乙第5天恢复加工；

乙从第5天到第11天共II5=6天，总共需要加工63090二540件，

•••恢复加工后每天加工严。-90件，

6

••x25时，工.-90190(x-5)=90x360；

令力=”,，即：50x=90x-360,解得：x=9，

因此第9天甲乙加工零件总数相同.

三、解答题(共68分，17题8分，18-21题，每小题5分，22-23题，每小题6分，24题

5分，25题6分，26题5分，27题7分，28题5分)

17.【答案】(1)玉=1,X2=-5

(2)Jr1=；,X?二-1

【小问I详解】

解：『+4x7=0，

(x-l)("5)=0,

x1=0或x+5=0，

解得：Xj=I,r2--5.

【小问2详解】

解：2x、x-l=0，

a2,bl.c--I,

A»A2-4oc«I2-4x2x(-|)s9>0,

.-61v'A-113

••Jf=,

2a4

解得：x、=2,Xj=-1.

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18.【答案】(1)

一次函数的表达式为y=x-3

(3)6

【小问1详解】

解：•・,一次函数y=H-3(A/0)经过点4(4.1),

将i=4,)，=1代入解析式得：1=44-3，

解得:i-b

••・一次函数的表达式为J・=A-3,

画图象略

【小问2详解】

解：由(1)图象可知，当y>0时，代入解析式得：x-3>0,

x>3.

【小问3详解】

解：当x二0时，3,

・・8(0「3),即08=3,

••'.=；(阳.-x3其4-6.

19.【答案】证明：连接/?/),交/('于点0.

;四边形48(。是平行四边形,

(U=OC，OB=OD.

又：AECF，

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，“f41-（X-iI,

OE3；，

工四边形A/,7）£是平行四边形.

20.【答案】（1）如图:

（2）①四条边都相等的匹边形是菱形；②菱形的对边互相平行

21.【答案】*=|,此时方程的解为甚=々=1

【详解】解：•••关于"勺方程4二0有实数根,

・•・根的判别式A(2):4xlxA4-4A20,

解得:由41，

又“为正整数,

将上I代入原方程，得『一2》川-0,

整理得：（X—1）2=0,

解得：XI=X：=I.

22.【答案】（1）补全频数分布直方图如图

(2)86.5,89,82(3)甲(4)211人

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【小问1详解】

解：八年级共抽取20名学生，804x<85组的频数为：20-2-6-4-3=5，

补全频数分布直方图见答案

【小问2详解】

解：八年级20个数据的中位数为第io、II个数据的平均数，前两组累计2+5=7个数据，第10、11个

数据都在85sx<90组，该组排序后为85.85.86.87・87,88,第10个是86,第11个是87,因此

86+87”.

m=---------=OO.J；

2

〃是七年级的第三四分位数：方法一：20x75%=l5,第三四分位数为笫15、16个数据的平均数，七年

口■89；

级排序后第15个是88,第16个是90,因此〃■

2

方法二：七年级共抽取20名学生，第三四分位数是从小到大排序之后，后10个数据的中位数，因此

.89；

2

七年级成绩中82出现次数最多(3次)，因此p=82；

【小问3详解】

解：甲成绩85分大于七年级中位数84,说明甲成绩超过七年级一半以上学生，排名在本年级前半段；

乙成绩85分小于八年级中位数86.5，说明乙成绩低于八年级一半以上学生，排名在本年级后半段；

因此本年级中成绩更靠前的是甲；

【小问4详解】

解：抽取的20名七年级学生中，85分及以上有9人，

9

因此七年级优秀人数估计为：l80x—=81人；

20

抽取的20名八年级学生中，85分及以上有6+4+3=13人，

因此八年级优秀人数估计为：200x3130人；

20

总优秀人数：81+130=211人，

答：估计七、八年级成绩优秀的共有211人.

23.【答案】

当购票人数少于4人时，选择方案一更合算；当购票人数等于4人时，两种方案一样合算；当购票人数多

于4人时，选择方案二更合算.

理由：设一共有工人参加，方案一的总费用为,元，方案二的总费用为外元，x为正整数,

根据题意，得必=200x0.7x=l40x,y2=200+200x0.6(x-1)=120x+80,

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当乂时，l40x=120x+80,解得x=4,

此时两种方案花费相同，

当“<二时，l40x<120*80,解得x<4,

此时方案一更合算，

当外时，I40X>I20X+80,解得X>4，

此时方案二更合算，

综上所述，当购票人数少于4人时，选择方案一更合算；当购票人数等于4人时，两种方案一样合算；当

购票人数多于4人时，选择方案二更合算.

24.【答案】(1)20kg(2)18

【小问1详解】

解：由图可知，收费段的直线经过点(30180)和(40.360),

设直线解析式为y=k+/>,

30八6=180

代人坐标得:

40八人360

解得：大=186=-360,

二解析式为y=l8x-360,

令F=0,解得x=20，

•••可免费托运的行李最大质量是20kg.

【小问2详解】

解：超过免费质量后，每千克需支付的费用是S60—重018元.

40-30

25.【答案】(1)

证明：•DF三DA，CE="

・••/)是//中点，C是彳月中点，

・••CD是的中位线，

・•・2(7)=/揖，

•・则边形48('。是菱形，

4D—CD，

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2AD=H

AF•ADkDF-2AD

••AF=EF，

・•・△D’为等腰三角形•

⑵3石

解:如图,

•・泗边形48(。是菱形，4(,与以)交于O，BI)6，

4cl80，OD--SD-3,OC=；/「，

由(1)得，CD・1£F・，x2而■旧，

22________

在中，由勾股定理得，OC=Q3-O[f=4后)'—3,=2,

•••/I-20c-4,

..(£=/<('=4，

〃£=OC+(7T=2+4=6,

在取中，由勾股定理得，1比=痴八而=GS

26.【答案】(1)y=x+1

(2)14M41

2

【小问1详解】

解：由题意得，A=1，

，y=x+6,

将点(3,4)代入y=x+/r中，得8=1,

••・一次函数的表达式为1-

【小问2详解】

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解：如图，分析临界图象,

01234

当X-2时，得到点（2.1）是临界点,

由题意知，2m21，解得何之1，

2

当加=1时，两直线平行，

27.【答案】（1）/BCE=a；

（2）①如图：

AD

E

②AE=CE+2EG,

证明：如图，过点片作交/£于点。，连接8G，

•••四边形48('。是正方形，

AB=BC，OA=OB=OC，/OCB=4〃B=45。，“108,

.ZABC:/QBE900,

..Z4+Z(?ZJC=Z5+WQBCN900.

第17页/共20页

•e-Z4-Z5»

根据（1）可得

（M=OE=OR=OC,/BOE=2a,ZBCE=a,

ZAOE=/AOR+/ROE=90。+%，

一1800-（90°^2a）.

•ZI=Z2=-------------------=45°-a，

2

•♦/3=4〃8-/1=45。-（45。-"）=〃，

.，3=ZRCE=a，