苏科版八年级数学上册 等边三角形（分层练习）

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

基础过关练

题型一、等边三角形的性质

1.等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A.1条B.2条C.3条D.6条

2.如图，在等边△48。中，4?=4cm,4。平分N/8C,点七在的延长线上，且/E=3（T,则

CE的长是（）

A

V

〃CE

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

3.如图，等边8c中，尸是加上的点，EF上4c于点E,NAFE=_____•

BAC

4.如图，VABC,ACDE均为等边三角形,连接8Q,北交于点。,BC与4E交于点P,贝IJ//O8的

度数是______.

餐B

题型二、等边三角形的有关计算

5.如图，已知V44C是等边三角形，8。是中线，延长8c到£包ZCE=CD.

A

BCE

（1）若48=10,求BE的长；

（2）求/E的度数.

第1页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

6.如图，V/出。为等边三角形，点£、。分别为48、4C上一点，且BE=4。,CE、8。相交于点0,

求/£04的度数.

7.如图，在等边VN8c中，点。、E在边BC、AC上，且BD=CE,连接力。、BE交于点、F.

（1）求证：4BD知BCE；

（2）若/切0=20。，求2月8E的度数.

题型三、等边三角形的判定

8.以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（）.

A.2,2,3.B.2,3,3C.2,4,5D.4,4,4

9.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60。，则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.上述三种情形都有可能

10.V48C的三边长为a、b、c,且满足等式/+〃+/=ab+be+ae,则V48c的形状是三角形.

11.在VM。中，已知Z8=4C,再添加一个条件,就能使VN8C是等边三角形.（只要写

出一个符合题意的条件即可）

第2页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

12.三知，如图，等腰V/18C,AB=AC,

（2）若4=。，则V48C为等边三角形；

（3）若NB=。，贝IJV/3C为等边三角形.

题型四、证明一个三角形是等边三角形

13.如图，在V"C中，。为边8c延长线上的一点，已知乙4=60。，46=120。.求证：V/BC是

等边三角形.

14.如图，在V/5C中，。为”边上一点，。尸13C于点尸，延长/。、C4交于点、E.若"=30。,

AD=AE.求证：V48C为等边三角形.

第3页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(学生版)

15.如图，V/出C中，。为力C边上一点，的延长线交8。的延长线于凡EF1AB,CD=C尸且

々=30。.求证：V/8C是等边三角形.

16.如图，在V4?。中，Z8=4C,点O,E分别在84C6的延长线上，且4E=CO,ZBAE=ZACD

证：y48。是等边二角形.

能力提升练

题型一、等边三角形与角的计算和证明

17.如图，。是等边三角形内一点，将线段力力绕点A顺时针旋转60。，得到线段AE,连接CD,BE.

(2)连接QE,若4。。=130。，求/%。的度数.

第4页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(学生版)

18.如图，在Rt△力灰?中，4a=90。，4=30。，点。是月8的中点，点E为边力C上一点，连接CQ,

DE,以。£为边在的左侧作等边三角形，连接所.

R

(1)求证：△8CO为等边三角形;

(2)求证：NDBF=NDCE.

19.如图，在VZBC中，ZJC5=120°,将V48C绕点力顺时针旋转得到V力OE,点C的对应点上恰

好落在8c边的延长线上，求证：DE//AC.

20.如图，在四边形/1BCQ中，AB=AD,CB=CD,点、E为AD上一点，连接BD,CE交于点F,CE〃/IB.

(1)若△4为等边三角形，请判断的形状，并说明理由:

(2)在(1)的条件下，若4)=12,CE=9,求CF的长.

第5页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(学生版)

题型二、等边三角形与线段的计算和证明

21.如图，在长方形力3co中，E是边AD上一点,连接用:，沿直线即翻折后，点/恰好落

在长方形的对称轴上的点H处，连接力H.

(1)求证：是等边三角形；

(2)延长E才交BC于点F,若8c=5,AE=2,求尸。的长.

22.如图，在VX8C中，AB=4C,NBAC=120。,4DJ.BC,垂足为点G,AD=AB,NE以=60°,NEDF

的两边分别交48,4c于点、E,F.

(1)连接夕。，判断△力的形状，并证明你的结论:

(2)求证：BE=AF,

第6页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

23.如图，已知和△&?£•是等边三角形，且4B、。三点共线，连接力区CD,交于点尸.

(1)求证：“BE知DBC；

(2)求证：FA=FB+FD.

题型三、等边三角形与作图问题

24.如图，在等边三角形中，C。是边上的中线,

（1）尺规作图：在边力。上求作一点E,使得4DE=NB（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的条件下，若力C=10,求DE.

25.如图，VABC,480=90°.

（1）用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在/C边上求作点。,使得。8=0C；

（2）在（1）的条件下，连接8。，若NC=60。，鸵=5,求4。长.

第7页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(学生版)

26.如图，在V/YC中，点P为”边上一点.

(1)尺规作图：请在彳。上求作一点。，使得N"D=NB(保留作图痕迹,不写作法).

(2)在(1)的条件下，AH=AC,乙4=6(尸，求证：△AW是等边三角形.

题型四、等边三角形的性质与判定综合问题

27.如图，。是等边V/18C外的一点，BC=3,DB=DC,NBDC=120。，点、E户分别在48和彳。上.

(1)求证：力。是8c的垂直平分线

(2)若ED平分NBEF,

①证明：尸。平分NEfC;

②求△力)的周长.

第8页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(学生版)

28.如图，等腰V/8c中，C4=CB=4,NO=120。，点。在线段48上运动(不与A,8重合)，将

△CAD与ACT/9分别沿直线CA,CB翻折得到ACAP与△C8。.

(I)求证：CP=CQ；

(2)求的度数；

(3)当点。是43的中点时，判断VQP。是何种三角形，并说明理由.

题型五、等边三角形与几何变式探究

29.在V"8c中，AB=6,4=60。，点M在射线4C上，连接力M,并以力〃为边在射线8C上方，AM

右侧作等边“MN,连接CN.

图①图②图③

(1)如图①，当/胡M=30°时，8M的长为；

(2)如图②，若力B=BC,当点M在线段8c上时，8M与CN有怎样的数量关系？请说明理由;

(3)如图③，若AB=BC,当NCMN=90。时，求线段CM的长.

第9页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

拓展培优练

30.如图，NMOV=30。，点4、4、4…在射线ON上，点/外质…在射线上，、

△力再/、A/i/a…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为《，第2个等边三角形

的边长记为生，以此类推.若。4=1,则。刈6=（）

D.220,7

31.如图，V48c是等边二角形,AE=CD,AD.“相交于点,，8。，力。于点。，则尸。的度

数是（）

A.60°B.45°C.30°D.75°

32.如图,等边的边长为4,力。是8c边上的中线，尸是力。边上的动点，E是4C边上一点,

若力E=2,当E/+3取得最小值时，则NEW的度数为（）

22.5°C.30°D.60°

33.如图，边长为4的等边VWR是边XC的中点，点。是线段面'上的动点，连接力。，在力。

的右侧作等边V4）£,连接CE、EF,则以下结论：©ACLBF-②DC=DE；③4CE的大

小随着点。的移动而变化；④当周长最小时，4尸£=60。.上述结论中正确的有（填

序号）.

第10页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

A

34.在V48C中，"=点。是直线8C上一点（不与3、。重合），以4。的右侧作V4QE,

使力。=力£,ND4E=/B4C,连接CE.

（1）如图①，若N8把=60。，［8=力。=2,点。在线段8c上上，

①4CE和/6/1C之间是有怎样的数量关系？（不必说明理由）；

②当四边形的周长取最小值时，直接写出4。的长；

（2）若/胡。工60。，当点。在射线4c上移动，如图②，则/4C石和“历IC之间有怎样的数量关系？

并说明理由.

第11页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（学生版）

35.已知在V48C中，为锐角，。是射线4C上一动点（。与C不重合），以力。为一边向右

侧作等边V4QE（C与£不重合），连接CE.

图⑴图⑵图⑶

（1）若V"C为等边三角形，当点。在线段8c上时，如图（1）所示，则直线4。与直线CE所夹

锐角等于一度；

（2）若V”C为等边三角形，当点。在线段4。的延长线上时，如图（2）所示，你在（1）中得到

的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）若V48c不是等边三角形，且8c当点。在线段8c上时，如图（3）所示，你在（1）

中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由.若不成立，请写出当/力臣满足什么条件时，

能使（1）中的结论成立并说明理由.

第12页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

基础过关练

题型一、等边三角形的性质

1.等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（）

A・1条B・2条C・3条D.6条

【答案】C

【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完

全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可.

【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条，

故选：C.

【点睛】本题考查了轴对称的定义以及等边三角形的性质，题目比较简单.

2.如图，在等边△45C中，AB=4cm,3。平分N/8C,点七在4c的延长线上，且NE=3（T,则

CE的长是（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质得4C=/8=4,由等边三角形三线合一得到C。，由//C8=60。，

ZE=30°,求出NC0E,得出CD=CE,即可求解.

【详解】•••△/8C是等边三角形，

/.AC=AB=BC=4cm,Z.ACB=60°,

,.・8。平分N/8C,

：.AD=CD（三线合一）

22

NE=30。

・•・ZCDE=ZAZE=60°-30°=30°

・•・ZCDE=ZE

所以CQ=CE=2cm

故选：B.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三比形的性质，直角三角形中

30。隹所对的直角边等于斜边的一半.

第13页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

3.如图，等边V44C中，尸是上的点，EFL4c于点E,NAFE=

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和直角三角形的

性质是解题的关键.根据等边三角形和直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：等边V"C,

.\ZJ=60°,

-EFlACf

/.Z.AEF=90°,

：.ZJFF=9（f-ZJ=30°.

故答案为：30。.

4.如图，VABC,ACOE均为等边三角形，连接8。，力£交于点。，BC与AE交于点、P,则/水力的

度数是.

【答案】60。/60度

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得

CA=CB,CE=CDfZACB=ZECD=60°,再证明△4CEg48CQ（SAS）得出NC'/E=NO?。，结合

ZAPC=ZBPO艮|J可得出N408=N/lCP=60°.

【详解】解：・・・V/8C,ACQE均为等边三角形，

ACA=CB,CE=CD,/ACB=NECD=60°,

：.ZACB+ZBCE=ZECD+ZBCEf艮［JN/CE=/AC。,

布和△8C。中，

AC=BC

•ZACE=/BCD,

CE=CD

第14页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

"CE%BCD(SAS),

ZCAE=ZCBD,

4PC=NBPO,

...ZAOB=ZACP=60°,

故答案为：60。.

题型二、等边三角形的有关计算

5.如图，已知V月8c是等边三角形，8。是中线，延长8c到E,使CE=CQ.

（1）若48=10,求8E的长；

（2）求的度数.

【答案】（1）15；

（2）30°.

【分析】（1）根据等边三角形三边相等的性质及中线性质，可得4。=。。=（力。=；/8=5,再由题

意CE=CD,解得CE的长，最后由线段和8£=8。+虑，据此解题即可；

（2）由等边二角形的性质可得乙48-60%结合CK-C。可得NCOZT-NK,再根据“二角形的一个

外角等于其不相邻两个内角的和"可得4c8=/CZ）E+/E,即可求解.

【详解】（1）・・・V48C是等边三角形，

Q8。是中线，49=10

/.AD=CD=-AC=-AB=5,

22

•:CE=CD

：.CE=5,

：,BE=BC+CE=\5；

（2）・・・V"C是等边三角形，

...NACB=60°

*.*CE=CD,

：.NCDE=NE,

'：4CB=NCDE+NE,

第15页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

/£+ZCDE=2Z£=60°,

Z£=30°.

【点暗】本题考查了等边三角形的性质、中线的性质、三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角

的和、以及等边对等角；熟练掌握相关知识是解题关键.

6.如图，为等边三角形，点f、D分别为力B、4C上一点，且BE=4。,CE、刖相交于点O,

求/£08的度数.

【分析】根据条件证明得出48O=/8CE，再根据外角的性质得到4QE=4CE+NC8。,

进一步可得结论.

【详解】解：是等边三角形,

AB=BC,NBAD=Z.CBA=60°,

在△从BD和/CE中，

AB=BC

</BAD=AABC,

2D=BE

:."BD包BCE(SAS),

/ABD=ZBCE,

ZBOE=/BCE+42BD=/ABD+ZCBD=ZABC=60°.

【点睛】本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、外角的性质，解题的关键是熟知三

角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和.

7.如图，在等边V48C中，点0、E在边BC、4C上，且BD=CE,连接4)、BE交于点尸.

(1)求证：MBDGABCE；

(2)若/比10=2()。，求的度数.

【答案】(1)见解析

第16页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

（2）40°

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键.

（1）根据等边三角形的性质得到H8=8C=Ca/48Z）=/8CE=60。，运用“边角边”即可求证；

（2）根据题意/。£=/胡。=20。，由/彳8£=/48。一/。8£：=6。-2。=4俨，即口J求解.

【详解】（1）证明：・、力8。是等边三角形，

AB=BC=CAyZ.ABD=NBCE=60°,

在△48。和△&:£中，

AB=BC

«NABD=NBCE,

BD=CE

：.AJ5Z）^A5CF（SAS）；

（2）解：•・・△IB陵△BCE（SAS）,

.=ACHE=ZBAD=20°,

:在等边V/i8c中，^ABC=60°,

NABE=/ABC-/CBE=6CP-2CP=4O5.

题型三、等边三角形的判定

8.以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（）.

A.2,2,3.B.2,3,3C.2,4,5D.4,4,4

【答案】D

【分析】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的三边相等解答.根据等边三角形的

性质和判定解答即可.

【详解】解：A、2,2,3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；

B、2,3,3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；

C、2,4,5是不等边三角形，不符合题意；

D、4,4,4是等边三角形，符合题意；

故选：D.

9.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60、则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.上述三种情形都有可能

【答案】C

【分析】三角形是轴对称图形，则该三用形是等腰三珀形，根据布•一个内角是60。的等腰三角形是

等边三角形，即可作出判断.

第17页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

【详解】解：因为三角形是轴对称图形，

则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60。的等腰三角形是等边三角形.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定方法，此题比较简单，

易于掌握.

10.1F8C的三边长为小及c,且满足等式/+〃+°2=,力+从+",则V48C的形状是

三角形.

【答案】等边

【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出

（a-b）1+（/?-c）2+（c-a）2=0,求ba=6=c,进而可得出答案.

【详解】解：根据题意得：a'+b2+c2-ab-be-ac=0,

2a'+2b2+2c2-lab-2bc-2ac=0,

整理为（。-b）’十十（c-a）'=0,

a=b=c,

，三角形为等边三角形.

故答案为：等边.

11.在V48C中，己知力8=",再添加一个条件,就能使V48C是等边三角形.（只要写

出一个符合题意的条件即可）

【答案】/4=60。（答案不唯一）

【分析】此题考查等边三角形的判定，解题的关键是熟知等边三角形的判定方法.根据等边三角

形的判定方法即可求解.

【详解】解：添加4=60。（答案不唯一）.

VAB=AC,4=60。

VABC是等边三角形.

故答案为：乙4=60。（答案不唯一）.

12.已知,如图，等腰V48C,AB=ACt

第18页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

（2）若4=°,则V48C为等边三角形；

（3）若N8=°,贝IJV/4C为等边三角形.

【答案】（1）BC

（2）60

（3）60

【分析】（1）根据等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形，即可完成：

（2）根据等边三角形的判定：有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，即可完成；

（3）根据等边三角形的判定：有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，即可完成.

【详解】（1）解：・・•三边相等的三角形是等边三角形，

・••当45=5C时,有AB=AC=BC,

48c为等边三角形；

故答案为：BC；

（2）解：・・•有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，

・•・当乙1=60。，且44=月C时，为等边三角形；

故答案为：60。；

（3）解：・・•有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形，

・・・当/5=60。,且=时,V46C为等边三角形;

故答案为：60。.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟悉并掌握等边三角形的判定是解题的关键.

题型四、证明一个三角形是等边三角形

13.如图，在V"。中，。为边8c延长线上的一点，己知4=60。，ZJCD=120°.求证：V44c是

等边三角形.

【答案】见解析

【分析】证明N/=N8=N/C8=6（F即可得到结论.

【详解】证明：・・・4CO=120。，

.・・=180°-ZJCZ）=60°,

4=60°,

第19页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

ZB=180°-ZACB=60°,

=Z5=ZACB=6(F,

・・・V48C是等边三角形.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的判定，熟记等边三角形的判定方

法是解本题的关键.

14.如图，在V48C中，D为AB边上一点、,DF上BC于点、F,延长心、CA交于点、E.若NE=30。，

AD=AE.求证：V48C为等边三角形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角

形的判定定理是解题的关键.由等腰三角形的性质得出4DE=/£=3(F,根据三角形的内角和定理

并结合。尸J.8C,证出N9C=/4=N。，则可得出结论.

【详解】证明：；AD-AE,Z.E=30°,

二.NADE=NE=3U,

••/BAC一/E十/DAE-60°,

•；DFtBC,

：.NEFC=90。，

ZC=90°-Z£=60°,

A/B=180°-ZC-NBAC=180°-60°-60°=60°,

Z5/1C=Z5=ZC,

.•.“6C为等边三角形.

15.如图，V/8C中，。为/C边上一点，EO的延长线交6C的延长线于REF人AB,CD=CF

“=30。.求证：V/18c是等边三角形.

第20页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等.先根据等边对等角和三角形

外角的性质证明NCDF="=30。，4。=60。，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出/8=60。，

由此即可证明VABC是等边三角形.

【详解】证明：..・8=b,

ZCDF=ZF=30°,

•/AACB=ZCDF+ZF=60°,

EFLAB,

：.NF+N8=90°,

"8=60。，

*.*/ACB=60°,

・・・V48c是等边三角形.

16.如图，在V45C中，48=4C,点O,E分别在34的延长线上，且XE=CO,NBAE=NACD.求

证：44c是等边三角形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定.利用SAS证明A/CO知以1E,

得到乙48E=NC/。，推出=利用等角对等边求得/C=8C,再根据等边三角形的判定

定理即可得证.

【详解】证明：VAB=ACfAE=CD,/BAE=NACD,

.・."CQ四△ME(SAS),

ZABE=/CAD,

：.4BC=4BAC,

:.AC=BCf

*/AB=ACf

：.AB=AC=BC,

/.VABC为等边三角形.

能力提升练

第21页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

题型一、等边三角形与角的计算和证明

17.如图，。是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60。,得到线段AE,连接CD,BE.

（2）连接OE,若4QC=I3O。，求/8EO的度数.

【答案】（1）见解析

（2）70°

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出/比1。=60。,"=4C,根据旋转的性质得出

ZDAE=6QO,AE=AD,求出=证即可；

（2）求出乙4EB,进而求出NBA。，即可得出答案.

【详解】（1）证明：•.•“8。是等边三角形，

/.ZBAC=60°,AB=AC,

•••线段/。绕点A顺时针旋转60。，得到线段力上，

ND4E=60o,AE=AD,

；2BAD+/EAB=/BAD+ZDAC,

:.NEAB=ADAC,

在△"4和△ZMC中，

AB=AC,NEAB=ZDAC,AE=ADf

:.^EAB^DAC（SAS）,

NAEB=ZADC；

（2）解：如图，连接

・•.△左。为等边三角形，

:.ZAED=60°f

又•••NAEB=ZADC=130。，

第22页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

...Z5W=130o-60o=70°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活

运用性质定理进行推理是解此题的关键.

18.如图，在中，4c8=90。，4=30。，点。是43的中点，点E为边4C上一点，连接CQ,

DE,以。E为边在QE的左侧作等边三角形连接8A

CEA

（1）求证：△8C。为等边三角形；

（2）求证：/DBF=4DCE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上

的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半是解决问题的关键.

（1）先求出48C=60。，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得CQ="力=力。，由此可得

出结论；

（2）根据等边三角形性质得6Q=C。，DF=DE,/BDC=/FDE=6（f,由此得/瓦卯=NCZ）E,进而

可依据“SAS”判定//小丝然后根据全等三角形的性质可得出结论.

【详解】（1）证明：在Rt△川?。中，N4CB=90。,4=30。，

/.ZABC=60°,

•・•点。是川9的中点，

:.CD=BD=AD=-AB,

2，

.•.△次力为等边三角形；

（2）证明：••,△8C7）和均为等边三角形，

:.BD=CD,DF=DE,NBDC=NFDE=,

:"BDF+ZFDC=Z.FDC+ZCDE,

/.4BDF=ZCDE,

BD=CD

在VBDF和^CDE中，'々BDF-NCDEy

DF=DE

第23页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

:ABDF知CDE(SAS),

:.ZDBF=ZDCE.

19.如图，在V"C中，ZACB=120°f将V"C绕点4顺时针旋转得到V/OE,点CF勺对应点E恰

好落在8c边的延长线上，求证：DE//AC.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，由旋转的性质得

AC=AEfABCA=ZDEA=n(f；由5,C,E三点在同一直线上可得乙4CE=60。，从而可证明△人口?

为等边三角形，得4EC=4CE=6(F,再证明/Q£C=4CE,根据“内错角相等，两直线平行”可得

结论.

【详解】证明：•・,将V"。绕点/顺时针旋转得到V4QE,

LABCmLADE,

：.AC=AEfZBCA=NDEA=12V.

•:B,C,E三点在同一直线上，

AACE=60°,

・・・A4CE为等边三角形，

4EC=4CE=6(T.

.・・4DEC=NDEA-/AEC=\2(T-6(P=6(F=Z^CE,

BD//AE.

20.如图，在四边形48。中，AB=AD,CB=CD,点、E为力D上一点，连接BD,CE交于点尸，CE〃AB.

(1)若△48。为等边三角形，请判断的形状，并说明理由:

(2)在(1)的条件下，若力。=12,CE=9,求B的长.

第24页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

【答案】（1）等边三角形，理由见解析

（2）6

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一

等知识点，熟记相关几何结论即可.

（1）由题意得/4=/力8。=/4）8=6（1）,根据工〃48推%/。暇,即可求证；

（2）连接/C,可推出/IC垂直平分8D得乙以C=/ZMC；进而得“a=ND4C,

AE=CE=9,DE=AD-AE=3,即可求解；

【详解】（1）解：力四是等边三角形，理由如下：

・・・△府/）为等边三角形，

NR=NABD=Z.ADB=6（F,

*：CE//AB.

：.ADEF=NZ=6（T,gp4DEF=ZEDF=6（F,

4无/是等边三角形，

（2）解：连接4C,如图所示：

■:AB=4D,CB=CD,

：./C垂直平分BO,

/.ABAC=ADAC,

*：CE//AB.

：.ABAC=ZECA,

/.Z1ECA=ADAC,

・・・AE=CE=9,

*：AD=\2,

/.DE=AD-AE=3,

ADM是等边三角形，

EF=DE=3,

:.CF=CE-EF=6

题型二、等边三角形与线段的计算和证明

第25页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

21.如图，在长方形/也中，E是边X。上一点，连接“，△相£沿直线初翻折后，点/恰好落

在长方形的对称轴MN上的点4处，连接力］.

（1）求证：“48是等边三角形；

（2）延长以'交8c于点R若BC=5,AE=2,求此的长.

【答案】（1）见解析

（2）1

【分析】本题考查了矩形与翻折的性质，对称轴的性质，等边三角形的判定与性质以及含30。直角

三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

（1）根据翻折以及对称轴证明AB=AfB=AA'即可.

（2）根据“彳8是等边三角形与翻折求出乙”£=/44七=：/"H=30。，然后得到BE=24E=4,根

乙

据角度关系判断出ZBFE=/FEB=NEBF=60°,然后得到如'=8E=4即可求出FC的长.

【详解】（1）解：,・•直线"N是长方形相。力的对称轴，

:.MN垂直平分AB,

r

AA=A'Bf

由翻折得小=©8,

AB=A'B=AA,

**•t^AAB是等边三角形；

（2）解：・・・“48是等边三角形,

^ABA'=60°,

由翻折得ZABE-乙4,BE-1ZABA'-30。，£AEB=,

在长方形"C。中，Z^D=ZJ5C=90°,

ABE=2AE=^.AAEB=AAEB=AEBF=60°,

/.ZBFE=180°-乙4EB-AEBF=60°,

/BFE=/FEB=NEBF=60°,

BF=BE=4,

：.FC=BC-BF=5-4=\.

第26页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

22.如图，在V/18C中，AB=ACfZZ?JC=120°,力。/8C,垂足为点G,AD=AB,NEDF=60°,/EDF

的两力分别交4?，4c于点E,F.

(1)连接80,判断△48。的形状，并证明你的结论；

(2)求证：BE=AF.

【答案】(1)△山姐是等边三角形，见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练

掌握三角形全等的判定方法.

(1)根据等边三角形的判定方法进行判断即可；

(2)证明△3DE父△/。E,得出8E="即可.

【详解】(1)解：△谡。是等边三角形.

证明：；4B=4C,AD1BC,

.../BAD=NDAC=-ABAC,

2

N胡。=120。，

NBAD=60。.

:AD=AB,

・・・△/BO是等边三角形.

(2)解：•••△/BD是等边三角形,

/./ABD=NADB=60°,BD=AD.

'：NEDF=NADB=60°,

：.ZEDF-ZADE=ZADB-ZADE,

ZBDE=NADF,

幺BD=NCAD=60°,

"DE知ADF(SAS),

BE=AF.

23.如图，已知和/CE是等边三角形，且4B、C三点共线，连接力£、8,交于点儿

第27页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

D

（2）求证：FA=FB+FD.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性

质，证明三角形全等，是解题的关键.

（1）根据等边三角形的性质，彳导至EB=CB,/ABD=NEBC=60°,进而得至lj=NOBC,

即可得证；

（2）在4上取点。使得/Q=连接。Q,得△力做为正三角形，得至1」力尸=。0,NFDQ=60°,

证明△力。。0△加W,得至1」力。=必，根据h"。+彳0,即可得证.

【详解】（1）证明：•••△力8。与小CE是正三角形，

:.AB=DB,EB=CB,NABD=NEBC=60。,

：.AABE=/DBC,

在与△OBC中

AB=DB

•NABE=NDBC,

BE=BC

：."BE为DBC（SAS）；

（2）在口上取点。使得产。=心，连接。。，

/BAG=NBDF,

XV^AGB=Z.DGF,

ZDFA=ZABD=60°,

・・・△。尸。为正三角形，

第28页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

DF=DQ,ZFDQ=60°,

又・・・“。〃为正三角形，

DA=DB,

,/4ADB=60°,

...ZADQ=NBDF,

...△月0约△BQP（SAS）,

・・・AQ=FB.

：.FA=FQ+AQ=FD+FB.

题型三、等边三角形与作图问题

24.如图，在等边三角形力4。中，CQ是初边上的中线,

（1）尺规作图：在边力。上求作一点七，使得乙=（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）在（1）的条件下，若/C=10,求Of.

【答案】（1）见解析

（2）5

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，尺规作图一作与已知角相等的角，熟知等边三

角形的性质与判定定理是解题的关键.

（1）根据尺规作图一作与已知角相等的角的方法作图即可；

（2）先利用等边三角形的性质和已知条件得到力。的长和乙4。七的度数，再证明是等边

三角形，即可得到亚=3=5.

【详解】（1）解；如图所示，点?即为所求；

（2）解：・・•三加形"C是等边三用形,

AAB=AC=\^ZJ=Z^=60°,

第29页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

•・,C0是48边上的中线，

AD=—AB=5,

2

・.•N/QE=N〃=60。，ZA=60°,

・・・V/Q£是等边三角形，

DE=AD=5.

25.如图，VH8C中，ZJ5C=90°.

(1)用直尺和圆规按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：在/。边上求作点0,使得。4=。。；

(2)在(1)的条件下，连接须，若NC=60。，B。",求长.

【答案】(1)见解析

(2)AC=\O.

【分析】本题考查作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握

线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键.

(1)结合线段垂直平分线的性质，作线段8c的垂直平分线，交力。于点。,则点。即为所求；

(2)由题意得△B。。为等边三角形，贝IJ4C=4Q=5.再根据4=30。，可得力C=28C=1().

【详解】(1)解：如图，作线段，。的垂直平分线，交*。于点。，

则点。即为所求.

A

(2)解：•:QB=QC,ZC=60°,

・・・△8C。为等边三角形，

.・・BC=BQ=5.

VZABC=90°,ZC=60°,

...4=30°,

AC=2BC=\0.

第30页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

26.如图，在V/YC中，点P为”边上一点.

（1）尺规作图：请在力。上求作一点。，使得=（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）在（1）的条件下，AB=AC,4=60。，求证：是等边三角形.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质.

（1）利用尺规作图作/力尸。=乙43。即可；

（2）先证明V/18C是等边三角形，求得NZ?=NC=6（尸，再得至IJN4PQ=//&?=60。，可求得

/力=/力力20=60。，即可得至IJ结论.

【详解】（1）解：如图所示：

（2）证明：VAB=ACf4=60。，

・・・V/仍C是等边三角形，

/.Z^=ZC=60°,

NAPD=NABC,

4PD=N4BC=60。,

'：4=60°,

4=NADP=ZAPD=60°,

为等边三角形.

题型四、等边三角形的性质与判定综合问题

27.如图，。是等边V/18C外的一点，BC=3,DB=DC,NBDC=120。，点、E、尸分别在和力。上.

D

第31页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

（1）求证：4。是8。的垂直平分线

（2）若ED平分NBEF,

①证明：平分NEFC；

②求△力"'的周长.

【答案】（1）见解析

（2）①见解析；②△4EE的周长为6

【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边三角

形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键.

（1）根据等边三角形的性质可得"=4C,再结合根据线段垂直平分线的判定定理可完

成证明；

（2）①过点。作DW_LE/于点M,结合（1）的结论，根据等边三角形的性质可得力。平分/MIC,

再结合等边三角形的性质可证得DCLAC；然后利用角平分线的性质可得BZ）=QM,进

而可得Z）M=OC,再结合角平分线的判定定理可完成证明：

②证明%EMQ,则BE=ME,同理可得尸。=月1九进而可得的周长=24C,据此可完成解

答.

【详解】（1）解：・・・v/4c是等边三角形，

AB=ACf

・••点A在8C的垂直平分线上，

*/DB=DC,

・••点D在8c的垂直平分线上，

・•・力。是8c的垂直平分线.

（2）解：①：过点。作。M_L即，

°：DB=DC,ZBDC=\20°,

.,・/DBC=/DCB=30。,

又・・・iF8C是等边三角形，

48C=4c8=60。，

4BD=4CD=90。,

：.DBA.ABfDCLAC,

,/ED平分4BEF,

：.DB=DM,

又・.・DR=DCt

：.DM=DC,

第32页共44页

1.5.3等边三角形分层练习（解析版）

FD邛:分NEFC.

②解：由①知，VBDE.&MDE、丛MDF、VC。尸都为直角三角形，且。4历=QC,

在R14BDE和RSMDE中,

DB=DM,DE=DE,

ABDEgAMDE,

BE=ME,

同理：

CF=MF,

，AE+AF+EF=4E+BE+AF+CF=AB+AC=2BC=6,

即△花尸的周长为6.

28.如图，等腰V/8C中，CA=CB=4,乙4c8=120。，点。在线段力8上运动（不与A,"重合），将

△CAD与ACBD分别沿直线CA,CB翻折得到KAP与4CB。.

Q

（2）求NPC0的度数;

（3）当点。是力8的中点时，判断VOP。是何种三角形，并说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）〃。。=120。

（3）VOP。是等边三角形，理日见解析

【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和

性质的综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键.

（1）根据折叠的性质即可求解：

第33页共44页

1.5.3等边三角形分层练习(解析版)

(2)根据折叠的性质可得N4CP+N8C0=4C8,