高一数学：集合的概念【九大题型】（原卷版）

集合的概念【九大题型】

【知识点1集合的概念】

1.元素与集合的概念及表示

（1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b,c,…表示.

（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素的特性

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.简记为"确定性”.

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.简记为

“互异性”.

（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的.简记为“无序性”.

【题型1集合概念的理解】

【例I】（2022.高一课时练习）以下元素的全体能构成集合的是（）

A.中国古代四大发明B.接近于1的所有正整数

C.未米世界的高科技产品D.地球上的小河流

【变式皿】（2023•全国•高一假期作业）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近企的所有实数：③

方程/+2%+2=0的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（）

A.B.©@C.②③D.®@®®

【变式1-2］（2023•高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（）

（1）正方形的全体：（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学

生身高在1.7米的学生；(5)平面内到线段A/T两端点距离相等的点的全体.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1-3](2022秋・广东汕头•高一校考期中)下列说法中，正确的个数是()

①^的近似值的全体构成一个集合

②自然数集N中最小的元素是。

③在整数集Z中，若QEZ,则一a€Z

④一个集合中不可以有两个相同的元素

A.1B.2C.3D.4

【题型2判断是否为同一集合】

【例2】(2023•全国•高三专题练习)下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}

B.M={2,3},N={3,2}

C.M={(x,y)Ix+y=1),.V={yIx+y=1}

D.M={2,3},N={(2,3)}

【变式2-1](2023•高三课时练习)设Q是有理数，集合X={x|x=Q+b&,Qk6Q,xw0},在下列集合

中；

(1){y\y=2x,xEX}；(2){y\y=-^=,xeX}：(3){y\y=pxeX}；(4){y\y=x2,xeX)；与X相同

的集合有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式2-2](2022秋・湖南郴州•高一校考阶段练习)下列四组集合中表示同一集合的为()

A.M={(-1,3)},N={(3,-1)}

B.M={-L3},N={3,-1}

C.M={(x,y)|y=x2+3x),N={x\y=%2+3x]

D.M={0},N=0

【变式2-3](2022秋.高一课时练习)下列说法正确的是()

A.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}

B.。与{0}是同一个集合

C.集合{%|y=x2-1}与集合(y|y=%2-1}是同一个集合

D.集合｛%|尤2+5%+6=0｝与集合｛M4-5x+6=0｝是同一个集合

【题型3集合中元素特性的求参问题】

【例3】（2023•高一课时练习）由a2,2-Q,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数。的取

值可以是（）

A.-1B.1C.V3D.2

【变式3-1]（2022•全国•高一专题练习）数集{1,2,/-3}中的x不能取的数值的集合是（）

A.{2,V5}B.{-2,-V5}C.{+2,+V5}D.{2,-V5）

【变式3-2]（2022.全国.高一专题练习）在集合A={l,a2-a-i,a2-2a+2H"a的值可以是（）

A.0B.1C.2D.I或2

【变式3-3]（2023•全国•高一专题练习）已知集合力={4,%,2刃,B=（-2,x2,l-y],若4=8,则实数上

的取值集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2}

【知识点2元素与集合的关系】

1.元素与集合的关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说。属于集合4,记作

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作

【注】符号和熊”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方

向性，左右两边不能互换.

2.常用的数集及其记法

常用的数集自然数集正整数集I数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

【题型4判断元素与集合的关系】

【例4】（2023・江苏•高一假期作业）下列关系中，正确的有（）

（DjeR;②遍WQ；③|-3|WN：@|->/3|6Q.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【变式4-1]（2023•全国•高一假期作业）己知集合M={%|x（x-1）=0},那么（）

A.0GMB.1CMC.-1EMD.0CM

【变式4-2]（2023春・福建龙岩.高一校考开学考试）给出下列6个关系：©yGR,②V5€2,③0WN",

④«6N,⑤TTWQ,⑥|一2|£Z.其中正确命题的个数为（）

A.4B.2C.3D.5

【变式4-3］（2023•贵州黔东南•凯里一中校考三模）已知集合5={y|y=/一1},7={（x,y）|r+y=0},F

列关系正确的是（）

A.-2ESB.(2,-2)gTC.一1wsD.(-1,1)eT

【题型5根据元素与集合的关系求参数】

【例5】（2023•全国•高一假期作业）已知集合4={12,Q2+4Q,Q-2},一3",则。=（)

A.-1B.一3或1C.3D.

【变式5-1】（2023・全国•高三专题练习）若Q€{1,3,Q2},则a的可能取值有（）

A.0B.0,IC.0,3D.0,1,3

【变式5-2】（2023・全国•高三专题练习）已知集合人={、€即％2+。＞0},且2c4则实数Q的取值范围

是（）

A.[a\a<4}B.{a\a>4)C.{a|a<-4}D.{cz|a>-4}

?

【变式5-3］（2022秋•高一单元测试）已如集合力={2,0,1,9},B={/c|/ceR,k-2eA,k-2^A}f则集

合B中所有的元素之和为（）

A.0B.2C.-1D.-2

【题型6确定集合中的元素】

【例6】（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={{0},0},下列选项中均为A的元素的是（）

（1）{0}（2）{{0}}（3）0（4）{{0},0}

A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（2）（4）

【变式6-1］（2023•全国•高三专题练习）己知集合4={0,1,234,5},8={（'/）|%€4丫€4,％-、£4},则

集合8中所含元素个数为（）

A.20B.21C.22D.23

【变式6-2］（2023•高一课时练习）已知关于x的方程/一m％+血2-3=0的解集只有一个元素，则小的

值为（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

【变式6-31（2023春・江苏泰州•高二校考阶段练习）已知集合力={-1,0,1］，B={m\m2

则集合B中所有元素之和为（〕

A.0B.1C.-1D.V2

【知识点3集合的表示法】

1.列举法

把集合的所畲元素一一列举出米，并用化括号'、［}''括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定义：一般地，设人表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示

为{x£A|Pa)},这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的•般符号及取值(或变化)范闱，再画•条竖线，在

短线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

【题型7用列举法表示集合】

【例7】(2023・江苏•高•假期作业)用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.

(2)方程Y—9=0的实数根组成的集合A

(3)一次函数y=x+3与y=-2r+6的图象的交点组成的集合。.

【变式7-1](2023•江苏•高一假期作业)已知集合A={Q|关于》的方程聋二1有唯一实数解},试用列举法

表示集合4

【变式7-2](2023•江苏高一假期作业)用列举法表示下列集合.

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程的所有实数解组成的集合；

(3)直线y=2x+l与)，轴的交点所组成的集合.

【变式7・3】（2023・江苏•高一假期作业）若集合A=*1k/-8x+16=0｝中只有一个元素，试求实数k

的值，并用列举法表示集合A.

【题型8用描述法表示集合】

【例8】（2022•高一课时练习）用描述法表示下列集合:

（1）奇数组成的集合；

（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合.

【变式8-1］（2023・江苏•高一假期作业）用描述法表示下列集合:

（1）被3除余1的正整数的集合.

（2）坐标平面内第一象限内的点的集合.

（3）大于4的所有偶数.

【变式8-2］（2022秋・陕西安康•高一校考阶段练习）表示下列集合：

（1）请用列举法表示方程后=1+12y+1|=0的解集；

（2）请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；

（3）请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；

（4）请用描述法表示二次函数y=/+2%-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.

【变式8-3]（2023・江苏•高一假期作业）川描述法表示下列集合:

（1）函数3，=一改+工图象上的所有点组成的集合；

（2）不等式僦一3<5的解组成的集合；

（3）如图中阴影部分的点（含边界）的集合；

♦r

o3

2

（4）3和4的所有正的公倍数构成的集合.

【题型9集合中的新定义问题】

【例9】（2023•云南保山・统考二模）定义集合运算：A+B={z\z=x+