平面向量的概念与计算（专项训练）-北师大版高一数学必修第二册（解析版）

题型一：平面向量的概念以及辨析

1.（25-26高一下•吉林长春东北师范大学附属中学•）下列说法正确的是（）

A.若五，石方向相反，贝皈与石为相反向量B.模相等的两个平行向量相等

C.零向量与任意向量平行D.共线向量是在同一条直线上的向量

【答案】C

【分析】根据相等向量的定义，可判断A、B的正误；根据零向量的定义，可判断C的正误；根据共线向量

的定义，可判断D的正误.

【详解】选项A：若扇石方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；

选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；

选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确；

选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.

2.（25-26高一上•湖北武汉外国语学校•期末）吃=而是“向=同且五〃m的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解.

【详解】若"五=防则"向=I同且＞/而成立,即充分性成立；

反之若石与石反向共线时，满足“回=|同且石〃而，但不满足“2=加，故必要性不成立，

故南=而是“同=同且五〃/的充分不必要条件,

故诜：A.

3.（25-26高一上•北京顺义区•期末）设同b均为非零向量,则"五与％+2b共线”是"五与b共线〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及向量共线定理即可判断.

【详解】若方与五石共线，且五则存在实数々使得：

+2a+2b=ka.

移项可得；2b=（/<-l）a,即

故方与石共线，充分性成立；

若方与了共线，且五则存在实数m使得：b=ma.

代入得a+2b=a+2ma=（1+2m）a,

故M与^+2石共线，必要性成立.

综上，“五与H+2刃共线〃是“五与石共线”的充分必要条件.

故选：C

4.（25-26高三上・山东••模）下列说法正确的是（）

A.长度一样的两个向量相等B.平行的两个向量为共线向量

C.零向量的大小为。且没有方向D.方向相反的两个向量互为相反向量

【答案】B

【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.

【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；

选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或

平行向量.零向量与任一向量共线，故B正确；

选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；

选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.

故选：B.

5.（25-26高三上•北京第二中学・月考）已知非零向量苍乐则“五与坂共线〃是“何一同三向—|讣的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必耍条件

【答案】B

【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质

结合必要条件的判断规则分析必要性.

【详解】已知非零向量后,石，

若砧与石共线"：

当1=一石时，B一同=2向同一|同=0,则忖一同>同一间,故充分性不成立；

若|a-同m向」几

则任一禧<（向一同）2,即向2+|同2—2五.g<向2+同2一2向.同,化简得五.?>|a|.|b|,

・.•Z.b=|司.同cos。，.••向•|同cos。之向•I同,即cos。=1,

vcos06[-1刀，cosO=1,即6=0,d与刃共线，必要性成口:；

故值与石共线〃是〃|五一同三国一同”的必要不充分条件.

故选:B.

6.（25-26高二上•吉林长春九台区师范高级中学•期中）如图所示，在正方体中，下列向量相等的是（）

A.而与赤

B.而与赤

C.玩与丽

D.而与历

【答案】D

【分析】利用观察向量的大小和方向即可作出判断.

【详解】因为而与而是大小相等，方向相反，所以而与荏是相反向量，故A错误；

因为万?与沆也是大小相等，方向相反，所以色?与方也是相反向量，故B错误；

因为何矶=9丽L所以灰与而不是相等向量，故C错误；

因为而与丽是大小相等，方向相同，所以而与而是相等向量，故D正确；

故选：D

7.关于向量出b,下列命题中，正确的是（）

A.若|可二|/，则五二BB.若2=瓦则同二标|

C.若同=0»则元=0D.若8=—b,则a〃9

【答案】BCD

【分析】根据向量的定义可判断A、B的正误；根据零向量的定义可判断C的正误；根据平行向量的定义可

判断D的正误.

【详解】向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误；

向量相等，长度一定相等，B正确；

长度为。的向量是零向量，c正确；

相反向量一定是平行向量，D正确.

8.（25-26高一•贵州遵义第一中学・月考）下列说法正确的是（：

A.若同=1川，则五与B的长度相等且方向相同或相反

B.向量前的长度与向量瓦?的长度相等

C.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

D.若我与石同向,且问>13，则五>加

【答案】BC

【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；

B：向量而和瓦?的长度都等于线段48的长度，因此相等，对：

C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；

D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.

9.（25-26高一下•江苏盐城响水县清源高级中学•）下列选项中，错误的是（）

A.若荏=瓦，则4B,C,。一定能构成平行四边形

B.在平行四边形ABCD中，AB=CD

C.若向量岩至满足I五1=1同,则,=9或五=5

D.若非零向量荏与标相等，则从。重合

【答案】ABC

【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向

量的定义即可判断选项C：根据相等向量的定义即可判断选项D.

【详解】若荏=三，4B,C,D四点可能共线，故选项A错误；

在平行四边形4BCD中，通,反方向相同、模相等，^]AB=DC=-CD,故选项B错误；

由向量的定义可得向量乙不满足向=同时，向量扇石的方向不确定，故选项C错误；

若非零向量荏与就相等，因为起点相同，则终点8,C重合，故选项D正确.

10.（22-23高一•四川绵阳中学•期利下列叙述中错误的是（）

A.>b,贝ij33>2BB.若己〃石，贝।位与石的方向相同

C.若可况C//b,贝同〃D.对于任意非零向量点高是一个单位向量

【答案】ABC

【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断：C.由石=6判断；D.由单位向量的定义

判断.

【详解】A.平面向量不能比较大小，故错误；

R.若五〃氏则益与石的方向相同或相反，故错误：

C.当5=3时，不成立，故错误；

D.对于任意非零向量五，高是一个单位向量，正确,

故选：ABC

题型二：平面向量的模长

11.已知向量H=(l,2)/=(-1,3),若向量工满足工.3=2工不=一7,则向=()

A.1B.V5C.竽D.V17

【答案】D

一,、f%+2y=2

【详解】设不=(x,y),由题意得：(_x+3y=-7，

解得所以2=(4,-1).|C|=VT7.

12.已知平面向量益二(mJ),b=(2-771,-2),若2||良则|五+同=()

A.V2B.V3C.V5D.273

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示可得m=-2,代入求苍+a即可得模长.

【详解】因为平面向量五二(皿1),b=(2-7n-2),

若石II%,则-2m=2-m,解得m=-2,

即3=(—2,1),b=(4,-2),则2+》=(2,-1),

所以B+=/22+(-1)2=遮.

13.(25-26高三上•辽宁名校联盟•期末)已知向量证满足向=1,^=(0,-1),aid,贝壶一回=()

A.1B.V2

C.V3D.2

【答案】B

【分析】根据题意可得五j=0,囚=1,结合模长的平方关系运算求解即可.

【详解】因为五1瓦则五不=因

又因为3=(0,-1),则同=1,

所以|五一同=\(五一犷=Ja2-2ab+b2=Vl-0+1=V2.

故选：B.

14.(25-26高三上•北京顺义区•期末)已知向量而=(2,0),|航|=4,<AC.AB>=则|丽|=()

A.2V7B.2V5C.4D.2V3

【答案】D

【分析】根据数量积的定义计算方•亚，再根据I反=(而一殉2计算即可

【详解】由题意可得，ABAC=\AB\-l^lcos(^^C)=2x4x7=4,

则18cl=(/IC—/1B)=AC-2AC♦AB+AB=16—2x4+4=12,

故|园=2百.

故选：D

15.(25-26高三上•河南湘豫名校联考・)已知向量不=(1,-2),b=(fc-1),若五101),则』+M=()

A.3B.5C.V26D.3V3

【答案】B

【分析】先根据五1(五一石)结合平面向量的数量积的坐标表示求出A=3,进而再根据模的坐标表示求解即可.

【详解】因为五二(1，-2),b=(fc-l),所以五一石二(1一亿-1),

Xai(H-S),所以4.(五一石)=1一k+2=0,解得1=3,

则胃+b=(4-3),故|五+同=J?+(—3>=5.

故选:B

16.(25-26高三上•贵州部分学校汜知向量,=(L1),(3+2^)1.(3-23),则同=()

16

A.1B.2C.—D.T

【答案】D

【分析】根据向量垂直的数量积表示及向量模求解即可.

【详解】因为0+2片)，(a-2),

所以(G+2石)•白一2刃)=a2-4b2=0,

即B|碧二年=条

故选：D

17.(25-26高三•辽宁鞍山•旧知向量五=(2,-1)/=。2),若五1瓦则归一目的值为()

A.10B.3^5C.372D.V10

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标关系求出％=1,再结合向量的坐标运算和模长公式求解.

【详解】由可得"一2=0,解得％=1,

♦=(1,2),

...a-b=(1,-3),则|五一同="+(_3)2=V10.

故选：D.

18.（25-26高一上•辽宁县级重点高中协作体•期末）设4,8为平面直角坐标系xQy内两点，若赤=（1,3）,

=（2,2）,则|。8|=.

【答案】V34

【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解.

【详解】由题意可得而=万？+而=（3,5）,故项I=后+52

故答案为：V34.

19.（24-25高一下•山东青岛•调研:已知向量西2的夹角流，同=2,若VmER,历+痴1邛一乳则

同=.

【答案】2夜

22

【分析】求得石1二正向，然后对历+版1之|石一列两边平方，并等价转化为VmER,mc+2^2\c\m+

V2|c|-ic2NO恒成立,计算（2夜向）。4x|c|2x（我向-#）W0即可.

【详解】由题可知：方不为零向量，S.?=|S|.|c|-cos^=V2|c|,

一1?1

22?2

IS-mc\>b-TZC=>S+2mb-c+mc>b-b-c+—c

,1z4

化简为一产+2正向m+五同一皆N0,所以VmWR,川产+2正向巾+在同一家？20恒成立，

所以（2加向）。4x|c|2x（V2|c|-^c2）<0n|¥（向_2⑷2<0,则向=2夜.

故答案为：2近

20.（24-25高一卜•河北承德第二中学•月考）在中，N84C为直角，N84C的平分线4。交BC于D,且有

AD=^AC+tAB.若48=8>贝以0=.

【答案】6近

【分析】首先求得£=*然后结合数量积的运算律即可求解.

【详解】如图，过点。作OE〃AB交"于点£DF〃AC交AB于点F,

则而=团+tAB=荏+而，

所以族=颍，即荏=；正，AF=tAB.

AE1BDBF3,3

因此正=1=诟=77=k，所以AC=24,FA=3BF=因此t=「

所以1而r=1标+：而『=（次+'砌・与后+^^

=^|^c|2+-^l^r+^AC-AB=72.由此得4)二6五.

故答案为：6>/2.

题型三：平面向量的夹角

21.已知平面向量都满足向=2亚|=1,且B+2同=2百,则五与B的夹角为()

7TIT7T71

A.iB.4c.3D.2

【答案】C

【详解】1五+2同=2百,两边同时平方得向2+4宓+4标|'=12,

整理得：ab=1,cos位分=言百=%

laIH

所以五与书的夹角为*

22.(25-26高一下•重庆开州中学•:若平面向量6,瓦工模长相等，且五+2»+VS=6,贝kos^Z)=()

VsV52X^5

A.—B.0C.-YD.—

【答案】C

【分析】因为五+29+7^=&RiJa+V5?=-2b,两侧同时平方，再由平面向量滤/模长相等求解即可.

【详解】因为五+25+而工=%所以方+返不=一2友所以(五+依)'=(—2»)，所以(a)+2武。=+59)

=4®,

因为平面向量五,麻模长相等，设画=同=\c\=m,

所以〃J+zV5m•m•cos〈a,c〉+5m?=4〃J,所以解得cos〈d£>=

23.(25-26高三匕辽宁营口普通高中•期中)已知包均为单位向量,且忖+2川V|3五，则五与石的夹角的取

值范围是()

A.ky)B.(%]C.[°W)D.前]

【答案】D

【分析】由只+2向V|3五-西两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得限方<4,然后由向量夹角公

式求解.

【详解】因为五E均为单位向量，所以矛=b2=i,

2

由口+2同<\3a-b\f得|五+2同2<|3a-b|,

则*+4五*b+4/<9乎一6乙B+石，

则1+4d4V9—6d・3+1,即dj<3，

贝卜0贸五方>=;^

因为0W(ajb)<H,所以三V(afi)<n.

则Z与石的夹角的取值范围是售,力.

故选：D.

24.(25-26高二上•湖北襄阳第四中学・月考)设回=12,Bl=9,a-6=-5472,则B与苍的夹角。为()

3nnix5n

A.TB.7c.6D.—

【答案】A

【分析1利用向量数量积的定义即可求解.

【详解】因为何=12,同=9,五•石=一54」,

所以由d-b=|a||S|cos0,得cos。=-T|77==一条

|a||6|ioJ

因为8£[0m],所以e=?.

故选:A.

(24-25高一下•辽宁ifi点高中联合体・期末)已知向量五二(3,4),b=(2.1),则cos〈，％)=()

V22V22V5后

A--B.—C.—D.V

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解.

[详解】依题意，COS@司=芈r="2；xl_q.

故选：C

26.(24-25高一卜•海南部分学校•:己知向量d=(1,百),3=(-1,百)，贝弧与石的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】4=(1,⑨]=(一1,百)，

则乙至=1x(-1)+百x百=2,回=〜(百S=2,|b\=J(—+(V3)2=2,

故cos(2/)=*=a=，又0YG/)W180。，

则H与右的夹角伍E)=60°.

故选：B.

27.(24-25高•下•四川自贡•期末:若丐，交是夹角为三的单位向量，则五=2无+与与石=3五一2交夹角是

()

5n2nnn

A.-B.-C.3D.e

【答案】C

【分析】根据向量的夹角公式可解.

【详解】打•交=|对|同8吟=7,

|«|=J(2与+克)2=J4+1+4对•与=V7,

同=J(3对一2唠2=J9+4-12寸穴=V7,

1a-7b=(2丐+变)(3对一2交)=6对9一2五7一对•五二小

所以cos值"=毛[=焉=5，

因为伍,力€[0两，

则6=2五+五与办=3对一2。夹角为*

故选：C.

28.已知向量五=(一5,12),b=(2,1),且云与石的夹角为仇则cos。=.

■-2而

【答案】谪

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos。的值.

【详解】向量五=(-5,12),b=(2,1),贝IjCOS。=-TFi=2x("+；x12-鎏

|a|p|13x\565

29.(25-26高三上•北京第一六一中学•期中)已知向量3=(1,-2),S=(M),满足苍1S五与苍+坂的夹角为

【答案】945。

【分析】根据平面向量向最垂直的坐标关系求解k的值，再根据向曷坐标运算与夹角余弦公式即可得五与d+

石的夹角.

【详解】向量五=(1,-2),S=(M),满足五1石，

则K-2=1xk—2x1=k—2=0.所以k=2,则石=(2,1),

所以2与H+石的夹角余弦值为cosGl+b)==/,“一=乎，

|a||a+b|V12+(-2)2XV32+(-1)2VsxVlOz

又(即+动w[0,n],所以值1+仍=与故d与d+B的夹角为未

故答案为：7-

30.(25-26高二上•贵州名校协作体中，AB=^2AC,AD=2DB,AE=3EC,CDmBE交于F,

若4尸•8C=0,则乙824c=.

【答案】T

【分析】设施==刃，且|川=m,由8,F,E和&RD三点共线,得到而=苗+：(1-£声和而=4+夫1一/1)

a,列出方程组，求得£=*t=g,得到而=我+孕，结合而•前二0,求得二成二一1,利用向量的夹角

公式，即可求解.

【详解】设荏=五7?=瓦且B|=m,则⑼=物川=交7九，如图所示,

因为8,忆E三点共线，则存在实数t使得而=tAB+(1—。版=自+京1一£)讥

又因为C,F,。三点共线，则存在实数a使得而=AAC+(1-;I)而=Xb+^(l-A)a

2

3--2ft==(1一%)I1

所以出+式1-£)匕=45+式1_4)乙则(入=3(]_£),解得£=M，Z=E，

所以而=我+软且说=前一布=石一五

因为力".BC=0,可得力/7.BC=(-2?+§a).(b—a)=-b—胪>b——a2=—in2-2—.b=0,解得a-b

=-m2,

所以cos484c=cos(d£)=abV2

因为乙B4C=GE)£[0,n],所以/BAC=?

故答案为：T

题型四：平面向量的数量积

31.已知P是函数y=%+%%>0)的图象上的任意一点，过户分别向直线y=%和y轴作垂线，垂足分别为

A.B,则瓦？•而二()

11

A.-1B.-2C.0D.7

【答案】B

【分析】设P(£,t+3«>0),利用向量垂直的坐标表示求出点力的坐标，即可求出记•丽的值.

【详解】设P(t工十9a>。)，由&.易_o,

即n(tm)+rn(t+：-m)=0,解得m=t+五，

所以力(t+£,t+5),B(0,£+7),

则港=(9,一3而=(T,0),

所以以.方=TX5+0X(—9=±

32.己知五E均为单位向量，且满足|五一3瓦=3,则」@+2石)=()

43

A.1B.3C.2D.2

【答案】B

【详解】由题意知9=|五一3瓦2=必_62不+9天=10一6五・%解得黑石=也

于是益•（苍+2］）=22+2a.d=14-1=^.

33.（25-26高一卜.•广东江门广雅中学等校•）已知同=匹，|向=1,且3_1.位则（苍一力•@+2力=（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】C

【分析】结合平面向量的数量积运算化简整理原式，再结合题干垂直关系和向量的模求解.

【详解】由题意得（五一刃）•（元+2石）=a-a+2a•b-a-b-2jb-b=\a\2+a•b-2|S|2,

因为五1石，所以五•石=0.

已知向=V2,|^|=1,则向之=（V2）=2,\b\2=l2=1,

代入可得原式=24-0—2x1=0.

34.在边长为2的等边三角形力8。中，点、E为BC上靠近点8的三等分点，则荏.市?=（）

8410

A.3B.2C.2D.~

【答案】A

【分析】将荏表示为前，而，利用向量的数量积求解.

【详解】由已知条件可得，族=而+族=荏+次=屈+；（标一而）=辆+冠，

则HE•AC=\AB-AC+^AC=x2X2cos60°+zx22=

JJ，J5

35.已知RtZiABC中，若/ABC=90°，M8|=2|BC|=2,8MJL/IC,且点M在AC上，则瓦J•丽=（）

22痣4

A.5B.-C.5D.1

【答案】c

【详解】中，由乙48。=90°,|力8|=2出口=2,得4c=二=代，

8c12

sin.4=—=又BM_L力C,且点M在AC上，则8M=48sin/l=%,

--f2

所以84.BM=BM=1

36.（25-26高下•黑龙江哈尔滨第九中学•月考）已知非零向量43满足回=匕司=2同一2凡则第？=<）

713

A.20B.3C・wD-w

【答案】A

【分析】由向量数量积的运算律进行求解

【详解】设|可=|2司=2忖-2同=m,则同=\a-2b\=7,

|五一2引2=a2-4a-b+4片=m2-4a-b+4x^-=2m2-4a•3=9,

又I3一2万|二3故2m2一府.工二g,解得五.石二吟，

ab—7

所以高产=*=而

37.（25-26高二下•湖南长沙长郡中学•开学考）在△力BC中，4B=4,AC=8,N为8C的中点，且△4BC

外接圆的圆心为M,则前•丽=（）

3589

A.10B.20C.yD.—

【答案】B

【分析】由条件可得4M•4N=44C•力M+分别取线段4B/C的中点为瓦尸结合向量数量积的定

义以及运算律代入计算，即可得到结果.

［详解】因为N为BC的中点，则丽=去而+而），

-fT--*****-

所以4M.AN=AM.^AC+AB）=^AC.AM+AB-4M）.

如图，分别取线段/B,4c的中点为E,凡因为M为△4BC的外接圆圆心,

则版.前二斤.（而+而）=版.而万=32,

2

AB.AM=AB.（AE+EM）=ABAE=^AB=8,

因此丽•AN=*而.俞+而•赤）=9x（32+8）=20.

38.（25-26高三下•广东汕头•一模为圆。的一条弦，且吊引=2,则而•布的值为.

【答案】2

【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得.

【详解】取弦48的中点M,连接0M,根据圆的垂径定理，可得0MJ.718,如图.

因为|4B|=2,所以=1

根据向量数量积的几何意义:

AB.AO=AO-AB=\AM\-\AB\=1x2=2

39.（25-26高•下•云南曲靖宣威艮族中学、七中.）已知等边三角形A8C的边长为2,点M满足两=苑，则

AB.AM=

【答案】3

【详解】由丽=河可知M为BC中点，所以俞=荏+丽=亚+家

AB-AM=AB.（AB+=\AB\2+方•前=22+1x2x2xcosl20=4+1x4x（-1）=3

40.如图，已知正方形力BC0的边长为2,且尸为力。边中点，BF与AC交于点E,则而•近=

【答案】》£

【分析】以｛瓦?，说｝为基底表示而，结合向量的数量积运算求得正确答案.

【详解】在正方形/IBC。中，因为F为力。中点，所以△力E尸〜ACEB,且黑=胃=2,

则市=河=［或+乒）=涧+河

则乐,BC=（薄+轲）•前=河屈+廊・前

=^2=IX22=?

题型五：向量平行/垂直相关计算

41.（25-26高・卜.・云南曲靖宣威艮族中学、七中・）已知向量。=（L2）,b=（2,-3）,若五+4与五垂直，则实

数;1=（）

1155

A.-2B.2C.-7D.Z

【答案】D

【分析】根据平面向量线性运算坐标表示及数量积坐标运算计算即可求解.

【详解】a=(1,2),b=(2-3),a+Ab=(1+2A,2-3A),

T—TT—TS

由a+加与a垂直得(a+北)♦a=0,BR1.(1+2A)+2-(2-3A)=0,解得a=不

42.(24-25高吓•四川叙永县第三中学校・月考)已知平面向量2,加满足G=(T,1),b=若「1%,

则m=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】C

TT

【详解】因为Q1b,所以一1xl4-lxm=O,解得m=1.

43.已知向量五二(2,1),b=(2,A),c=(-4,/z),九〃均为实数，且a||c,则|32-加+2工|=()

A.25B.16C.5D.4

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得九〃，根据向量坐标运算求得正确答案.

【详解】因为五，石，«IIc,所以4+4=0,2〃=—4,得A=—4,g=—2,

所以3万一1+2C=3(2,1)-(2-4)+2(-4,-2)=(-4,3),

故13H+2c\=J(-4)2+32=5.

44.(25-26高一下•河南许昌襄城县实验高级中学等校,)已知向量五=(3,2),B=(-6㈤，若H〃瓦则实数％=

()

A.-9B.-4C.4D.9

【答案】B

【详解】由题设及五〃3则整=：,可得#=-4.

45.(25-26高三・四川德阳・)已知向量m=(-1,2),〃=(，,%),若而||元，则%=()

111

A.0或r一5B.0C.-zD.3

【答案】A

【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可.

【详解.】由平面向量平行的坐标充要条件可得：(-1)，-2•一=(),

整理为：2x2+x=0,解得％=0或工=一)

46.若向量=(4,6),b=(4,16)且五1(2a+")，贝向的值为()

134413

A.-五B.C-5D-14

【答案】A

【分析】根据条件，可得2日十高坐标，根据数量积的坐标公式，代入求解，即可得答案.

【详解】由题意,2a+/l5=(8+4/1,12+162),

因为a1(2五+4),所以鼠(2五+/)=o,

则4X(8+4A)+6X(12+16A)=0,解得A=

47.(25-26高二上•宁夏吴忠青铜峡第一中学・月考)已知向量五=®3),b=(5,2),则下列说法正确的有()

A.若d|加则％=—程B.若益1%Plljx=

C.若向=5,则x=4D.若％=3,则ai=21

【答案】BD

【分析】对于AB,根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解；对于C,根据模的定义列方程可求解;

对于D,根据数量积的坐标运算求解即可.

【详解】对于A,若苍||石，贝「=/解得》=宏故A错误；

对于B,若djL无则为j=5%+3x2=0,解得％故B正确；

对于C,若I可=5,则42+32=5,解得*=±4,故C错误；

对于D,若x=3,则百=(3,3),所以鼠右=3x5+3x2=21：故D正确.

故选：BD.

48.(24-25高―卜・•黑龙江齐齐哈尔第六中学校•月考响量:=(。4)/=(U),下列叙述正确的是()

A.BtGR,使到万B.3CGR,使(。+力)1a

C.VmGR,3tGR,使(mQ+b)〃aD.37nGR,3tGR,使(ma+b)，a

【答案】ACD

【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AC,再由向量垂直的坐标表示可判断选项BD,可得答案.

【详解】对于A,当亡一4=0时，即£=2或t=-2时，a//b,可知A正确：

对于B,若(。+力1；可得«+1,4+t).(t,4)=t(t+1)+4(4+t)=产+5t+=0,

显然此方程无解，即不存在tWR,使得(a+1)_Ll因此B错误；

对干C,易知+1=(力九+1,4?九+£),若(小。+力〃£可得4Qzn+l)T(4m+t)=0：

解得£=2或£=-2,满足题意，因此C正确；

对于D,若(ma+b)_LQ,可得t(tm+1)+4(4m+t)=0；

显然当t=0,m=0满足题意，因此D正确；

故选：ACD

49.己知向量G=(1,0),加二(0,-2),若(抽五一办)，(五+B),则实数m=.

【答案】4

【分析】由题意可知(ml-WlG+l)，则Gn五一3).伍+刃=0求解即可.

【详解】由题意得m五一行=(皿2),五+石二(1,-2),因为(巾2—丹1值+，所以巾一4=0,解得zn=4

故答案为：4.

50.(24-25高下•福建芾田尚H第三中学.月考)已知向副=(一1,2),b=(3,x),若31Q+B),则％=

【答案】-1

【分析】根据向量坐标运算求出五十另的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到工的值.

【详解】因为♦=(一1,2),b=(3,x),所以五+1=(28+2),

因为21伍+石)，所以一lx2+2x+4=0,解得％=—1.

故答案为：—1

题型六：向量的投影与投影向量

51.已知向量心加满足1厨=1,\a-b\=y/st则向量2在向量E方向上的投影向量为()

A.-1)B.J；，—)C.Qi)D.(另)

【答案】A

【分析】设五二(%y),结合已知条件求出二根据投影向量的计算公式求解即可.

【详解】设向量H=则向=、*+/=1,

22

a-b=(x-l,y-l),\a-b\=J(x-1)+(y-1)=限

联立解得％=0,y=一1或％=-1,y=0,所以五=(0,-1)或3=(-1,0).

当方=(0,-1)时，a-5=0x1+(-1)x1=-1,

当6=(-1,0)时，a.-b=(-1)xl+0xl=-1,

|S|Z=12+12=2,

所以向景五在向吊多方向上的投影向最为(希下=一*1,1)=(-7-7)•

52.(25-26高••陕西西安长安区第叶学•旧知向量以加满足回=1,5=(1,1),\d-b\=y/S,则向量方在

向量石方向上的投影向量为()

I-DB.D.G，)

A.1一:L")c.(rl)

【答案】A

TT->2-2TT

【详解】设两个向量的夹角为6,则"b=芯=Q+b-2Q•8•cos。=5=1+2-2•1•V2•cosO=5n

cosO——

.-t—yz

所以向量五在向量b方向上的投影数量为Wlcos。=一下,

所以投影向量为'cos。•|q=—1（1,1）=（--T）

53.（24-25高一"福建漳州十校联盟•期中）若向二同=1,且6与丽J夹角为60。，则当五T丽模取最小值

时，五一乩在五的投影向量为（）.

3T1-1-3一

A.4aB.4ac.一不。D.一彳。

【答案】A

【分析】先由题意求出之比再由模长公式结合二次函数性质求出忸一和相应X的取值，由数量积运算

律和投影向量定义计算得解.

【详解】由题可得五石=向同COS值升=

所以忖-㈤=Ja2+x2b2-2xa-b=Vx2-x+1=J（x-1）+

所以|d-R|min=苧，此时％另，（江一%办2=人等/=J

所以此时d-哀在d的投影向量为/与=扣.

lul.

故选:A

54.（24-25高一下•陕西洛南中学•期中）已知单位向量2B满足庐-4二2鼠右，贝帽在加上的投影向量为（）

A.*B.务C.壬D.芥

【答案】D

【分析】由已知等式两边平方可求得五不=《利用投影向量的定义可求解.

【详解】由一瓦二2五成，可得济一2限族+片=4（方㈤，所以4（鼠丁+2二石一2=0,

所以2（鼠if+方.山1=0,所以［201+1）=0,

解得五.3二：或五.石二一1（舍去），

所以五在石上的投影向量端不=3.

Pl2

故选：D.

55.（24・25高一下•江苏镇江丹阳”己知向量五和3满足画=2,同=1,（2五+石）・0+»=6,则向量G—9

在向量五上的投影向量为（）

S-5-3T3一

A.B.一不。C.4^D.一彳。

【答案】A

-一一（2—5）.2a

【分析】根据题意可求d•♦6再根据向量a-b在向量苍上的投影向量为盗［.向可解.

【详解】(22+石)・@+石)=2五？+石+333=8+1+•石=6=Zi=—1,

向量益-石在向量益上的投影向量为照子'•看=常"a=^a,

故选：A.

56.(24-25高一下•北京景山学校远洋分校•月考)已知向量苍=(3,3),加二(1,一3),则G在加上的投影数量是

()

A.-|V10B.1V10C.-V2D.V2

【答案】A

【分析】利用平面向量的投影数量的定义求解.

【详解】方在石上的投影数量是*=三二一咿，

也IV1+9>

故选：A

57.已知平面向量五二(2,zn),b=(n,l),c=(m+1-1),若五J.G,b//ct则B在五+N方向上的投影数量为

()

A.-2V2B.-孚C.答D