证明 同步练习-苏科版七年级数学下册

第12章证明

12.2证明

基础过关全练

知识点1推理的必要性

1.如图，已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺判断该

线段是（）

廓

"/b［，/

A.aB上C.cD.d

2.（2022湖南长沙雨花调研）甲：“我没有钱.”乙：“丙有钱.”丙：“丁有钱.”丁：“我没有钱.”若四

个人里面只有一个人说了真话且只有一个人有钱，则有钱.

知识点2证明与定理

3.两平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线（）

A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交但不垂直

4.小力说：“对于代数式X2-4X+4.5,无论x取何实数，该代数式恒大于0”小力的说法正确吗?

为什么？

5.图1、图2是两个大小相同的大圆，图1的大圆内有10个小圆，图2的大圆内有2个小圆，

你认为图1中大圆内的10个小圆的周长之和与图2中大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大?

请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.

知识点3二角形内角和定理及其推论

6.（2023山东日照中考）在数学活动课上，小明同学将含30。角的直角三角板的一个顶点按如图

所示的方式放置在直尺上，测得Nl=23。，则N2的度数是（)

A.23。B.53°C.60°D.67°

7.如图，ZA,Zl,N2的大小关系是（)

A.ZA>Z1>Z2B.Z2>Z1>ZAC.ZA>Z2>Z1D.Z2>ZA>Z1

&如图，ZADC=117°,则NA+NB+NC的度数为

9.如图，在AABC中,BP平分NABC,CP平分NACB.求证：NP=90*NA.

［变式1•内外型］如图，在△ABC中，BP平分NABC,CP平分aABC的外角NACE.猜想NP

和NA有何数量关系，并证明你的结论.

［变式2•外外型］如图.BP平分AABC的外角/CBF.CP平分AABC的外角/BCE.猜想/P

和NA有何数量关系，请写出结论并证明.

能力提升全练

10.（2021江苏盐城中考）将一副三角板按如图所示的方式重叠，则N1的度数为（）

RZ--------------------

A.45°B.60°C.75°D.1050

11.（2023广东深圳中考）如图所示的为商场某品牌椅子及其侧面示意图，ZDEF=120°,DE与

地面平行，NABD=50。，则NACB=（）

长工

A.70°B.65°C.60°D.50°

12.（2022福建中考）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错

误.

例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：

设任意一个实数为x,令x=m,

等式两边都乘x,得x2=mx.①

等式两边都减而，得x2-m2=mx-m2.②

等式两边分别分解因式，得（x+m）（x・m尸m（x-m）.③

等式两边都除以x・m,得x+m=m.④

等式两边都减m,得x=0.⑤

所以任意一个实数都等于0.

以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是

13.(2023江苏扬州江都期中)如图，在AABC中，ZACB=60°,ZABC=40°,AE平分4ABC

的外角ZBAD,若射线CF将ZACB分成1：2两部分，且AE、CF交于点G,则

ZAGC=________

素养探究全练

14.(2022江苏无锡宜兴月考)我们将一组内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”.例

如，在图1中，^AOB的内角/AOB与acOD的内角NCOD互为对顶角，则AAOB与ACOD

为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：ZA+ZB=ZC+ZD.

(1)

如图2,在“对顶三角形"△AOB与△COD中，ZD=2ZB,且NEAO=NC,求证：ZEAB=ZB：

Q)

如图3,在aABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，ZBOD=ZA,若NECD比NDBE

大20。，求NBDO的度数.

15.已知NABC,画一个角NDEF,使DE〃AB,EF〃BC,且DE交BC于点P.探究NABC与

ZDEF的数量关系.

⑴我们发现NABC与NDEF存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中/ABC与NDEF

有什么数量关系?请说明理由.

(2)你认为NABC与NDEF还有其他数量关系吗?若有，请写出这个数量关系并在图2中画出

一个满足这个数量关系的NDEF.若没有，请说明理由.

⑶若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少15。，请求山这两个角的度数.

第12章证明

12.2证明

答案全解全析

基础过关全练

1.C利用直尺画出图形如下:

可以看出线段c与m平行.故选C.

2.答案甲

解析他们4人中只有一人说了真话，由于丙与丁两人说的话相互矛盾，所以丙与丁两个人

必有一人说真话，一人说假话.如果内说的是真话，那么」说的就是假话，J就有钱，这样甲

说的就是真话，与题意不符；如果丁说的是真话，那么丙说的就是假话，丁没有钱，甲和乙

说的是假话，甲就有钱，符合题意，所以可以判定甲有钱.故答案为甲.

3.C如图，VBC/7DE,・・・/CBD+NADE=180。（两直线平行，同旁内角互补），

,・，BF平分NCBD,DF平分NADE,

・・・NDBF=/CBD,NADF=g/ADE（角平分线的定义），

.,.ZDBF+ZADF=^ZCBD-HZADE=^（ZCBD+ZADE）=^X180O=90O

（等式的性质），

・・・NF=180yNDBF+NADF）=180O-90o=90。（三角形内角和定理），

.♦.BF_LDF（垂直的定义）.故选C.

4.解析正确.理由如下：

22

X2-4X+4.5=X-4X+4+0.5=(X-2)+0.5,

22

V(x-2)>0,.\(x-2)+0.5>0.5；

；・无论x取何实数,x2-4x+4.5恒大于0.

・・・小力的说法正确.

5.解析相等.理由如下:

设大圆的直径为d,则题图1中大圆内的10个小圆的直径均为色，题图2中大圆内的2个小

10

圆的直径均为上

2

则题图1中大圆内的10个小圆的周长之和为10x兀

10

题图2中大圆内的2个小圆的周长之和为2乂仆人元（1,

2

所以，题图1中大圆内的10个小圆的周长之和与题图2中大圆内的2个小圆的周长之和相等.

6.B如图：

1AR〃CD,，N2=NFHG

又・・・N1+NE=NFHG,

・・・Z2=Zl+ZE=23°+30o=53°.

故选B.

7.B由N1是三角形ABD的一个外角，得N1>NA,由N2是三角形DBC的一个外角，得

Z2>Z1,故N2>N1>NA.

8.答案1170

解析如图，延长AD交BC于E,

VZAEC=ZA+ZB,ZADC=ZAEC+ZC,

・・・NADC=NA+NB+NC,

VZADC=117°,

・・・NA+NB+NC=117。.

9.证明ZXABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.

「BP平分NABC,CP平分NACB,

・・・NPBC」NABC,NPCB」NACB,

22

・•・ZPBC+ZPCB=^(ZABC+ZACB)=1(180。-NA尸90。-；/A,

・•・ZP=18(尸-(ZPBC+ZI,CB)=90°-HZA.

［变式1］解析NP^NA.证明如下：

,・，BP平分NABC,CP平分NACE,

.,.ZPBC^ZABC,NPCE」NACE.

22

•・,ZACE是AABC的外角,ZPCEJtABPC的外角,

/.ZACE=ZABC+ZA,ZPCE=ZPBC+ZP,

.」NACE=NPCE」NABC」NA,

222

ABC/NA=ZPBC+ZP，

22

A-ZA=ZP,即NP」NA.

22

改式2］解析NP=90gNA.证明如下：

•；BP平分NCBF,CP平分NBCE,ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

・•・ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)

=1800-*NFBC+NECB)

=180。-#NA+NACB+NA+NABC)

=180°-^(ZA+180o)

=90°--ZA.

2

能力提升全练

10.C根据题图得，ZACB=45°,ZDBC=30°,

/.Zl=NDBC+NACB=30。+45。=75。.故选C.

ll.A・.・DE〃AB,ZABD=50°,

.*.ZD=ZABD=50°.

VZDEF=120°,R.ZDEF是4DCE的外角，

:.ZDCE=ZDEF-ZD=70°,

・•・NACB=NDCE=70。.故选A.

12.答案④

解析④当x-m=0时，不能直接除，而题干中给出的条件是*『口，故x-m=0,故此处不能直

接除.

故答案为④.

13.答案10。或30。

解析VZACB=60°,ZABC=40°,

ZBAD=ZACB+ZABC=100°.

TAE平分NBAD,

・・・NDAE,NBAD=50。.

2

①如图所示，当CF靠近AC时，

AZACF-ZACB=20°,

3

:.ZAGC=ZDAE-ZACF=30°.

②如图所示，当CF靠近BC时,

同理可得NAGC=10。.

综上所述，ZAGC的度数为10。或30°.

故答案为10。或30°.

素养探究全练

14.解析(1)证明：由“对顶三角形”的性质可得

Z