2026高一数学（初升高）提升讲义：指数函数

第18讲：指数函数

【知识梳理】

知识点一指数函数的定义

一般地，函数y=a">0,且存1）叫做指数函数，其中X是自变量，函数的定义域是R.

知识点二指数函数的图象和性质

指数函数y=a'（a>0,且存1）的图象和性质如下表：

a>\0<«<1

yy=a*

图象

0\x~x

定义域R

值域(0,+8)

过定点过定点（0,1）,即x=0时，y=\

函数值的变当x>0时，y>\；当Q0时，0<），<1;

性质

化当x<0时，0<y<l当XVO时，），>1

单调性在R上是增函数在R上是减函数

知识点三解指数方程、不等式

简单指数不等式的解法

⑴形如心）>"）的不等式，可借助），=«'的单调性求解；

（2）形加〃的不等式，可将〃化为以々为底数的指数幕的形式，再借助•的单调性求解;

⑶形如。:"的不等式，可借助两函数的图象求解•.

知识点四指数型函数的单调性

一般地，有形如），=/）（〃>（）,且存1）函数的性质

⑴函数y=/）与函数y=加0有相同的定义域.

（2）当时，函数与>=贝%）具有相同的单调性；当0<〃vl时，函数），=加"与函数y=y（x）的单

调性相反.

【例题详解】

题型一、指数函数的概念

1.（25-26高一上•全国•课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（）

A.y=B.y=（-4）‘C.y=5l+,D.y=52^

.1

【答案】D

【分析】根据指数函数定义即可判断.

【详解】根据指数函数的定义形如丁=优（。＞。且。制）为指数函数判断：

对于A：y=V为暴函数，故A错误；

对于B：），=（-4）'中Y不能作为底数，故B错误；

对于Cy=5川=5x5，中系数不为1,故C错误；

对于D：y=52，=25'是指数函数，故D正确；

故选：D

2.（25-26高一上•湖南•阶段练习）是"/。）=砂为指数函数”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当机=1时，〃力=6、是指数函数；

若/3=（6）是底数为的指数函数.则6桁＞0,且6川工1,解得〃7工0,

故“加=1”是“/（工）=6皿为指数函数，，的充分不必要条件.

故选：C.

3.（25-26高一上•河北邢台•阶段冻习）下列判断正确的是（）

A.），=2/是幕函数，且y=42,是指数函数

B.），=2/是吊函数，且），=42,不是指数函数

C.），=2/不是察函数，且），=42、是指数函数

D.y=2f不是累函数，且），=42,不是指数函数

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合幕函数、指数函数的定义，即可求解.

【详解】解：由幕函数的定义可知，y=2Y不是黑函数，

因为4*=（42丫=⑹，所以y=42x是指数函数.

故选：C.

题型二、求指数函数的解析式、函数值

2

4.（25-26高一上•河南•期中）已知函数=〃>0且〃工1,若/（；）=吟，则/（2）=（）

A.看B.>AoC.10D.100

【答案】A

【分析】利用给定的函数解析式求出），再代入求得答案.

【详解】依题意，由/（；）=雪，得才=噜，

所以/（2）=a2=5）4=（噜y=+.

故选：A

5.（2025高三・全国•专题练习）已知指数函数），=。'（，>0）的图象经过点（T2）,则x=2时，函数值

为.

【答案】1/0.25

4

【分析】把已知点坐标代入求得。后，再计算函数值.

【详解】由已知可得2=小，〃=函数解析式为），=（［,,

当工=2时，>'=（5=-.

故答案为：,

4

6.（25-26高一上•北京♦阶段练习）已知函数/高）=4,若/㈤=2/（〃），则,

【答案】1/0.5

【分析】由/S）=2/（a）可得4=2x4",根据指数索的运算性质即可求出结果.

【详解】因为/（力=下,且/®=2/（a）,

所以4=2x4“，即2?&=2皿,

故2〃=1+2々，所以［-a=g.

故答案为：y

题型三、指数函数的图象及应用

7.（23-24高一上•四川乐山♦期中）函数“、）=上工的大致图象是（）

7.（25-26高一上•安徽六安•阶段练习）设指数函数G：k力，G：），=",G：y的图象如图,

3

则（）

A.0<c<\<b<aB.a<\<b<c

C.c<b<aD.0<c<\<a<b

【答窠】A

【分析】做直线x=l,数形结合，可得。也。的大小关系.

【详解】如图：

做直线工=1,得到直线与三个指数函数图象的交点分别为（⑷，（⑷，（U）,由图可知：0<c<\<b<a.

故选：A

8.（2005・福建・高考真题）函数/（"=优”的图象如图所示，其中。，力为常数，则下列结论正确的是

B.a>\tb>0

D.0<a<l,b<()

【答案】D

【分析】根据指数函数单调性得到根据0</(0)<l得到〃vO.

4

【详解】由于〃力=产的图象单调递减,所以

又。所以0<（尸<1=々0,即—〃>0,b<0.

故选：D.

9.（25-26高一上•全国•课前预习）已知函数/（"=优"+3（00且"1）的图象一定过点P,则点P的

坐标是.

【答案】（T4）

【分析】根据指数函数的图象过定点求解.

【详解】当1+1=0,即x=-l时,/*）=a°+3=4恒成立，

所以函数/*）="⑴+3恒过点（T4）.

故答案为：（T4）

题型四、指数型函数的定义域和直域

10.（25-26高一下.贵州•期中）下列函数的值域为R是（）

A.y=2XB.y=2x2C.y=x--D.y=-

xx

【答案】C

【分析】根据指数函数、反函数、二次函数的性质和图象进行逐一判断.

【详解】对于选项A：

因为尸2、为指数函数，所以其值域为（0.y）.

对于选项B：

因为），=2f为二次函数，抛物线开口向上，其值域为［0,y）.

对于选项C：

可以看出其值域为R.

对于选项D：

因为是反函数，所以其值域为（—0）5。，e）.

-V

5

故选：c.

11.（25-26高一下•浙江•期中）已知函数），=2『小+2,则它的值域是

【答案】⑵田）

【分析】应用二次函数、指数函数的性质求复合函数的值域即可.

【详解】由，=/一2工+2=。-1）2+整1,则），=2匕[2,+8）,

所以函数的值域为⑵内）.

故答案为：⑵+00）

12.（25-26高一上•全国•课前预习）求下列函数的定义域与值域

I

⑴y=2工；

⑵也

【答案】⑴定义域为{xlxwR目/04},值域为（0,l）u（L3）.

（2）定义域为R,值域为（。,收）

【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可.

（2）限据指数函数的定义域和性质进行求解即可.

【详解】（1）,•,由工一4工（），得门4,

函数的定义域为{xIx£Rib工4}.

v—*0,

x-4

-2H=]•/.y=2七的值域为（0.1）51，y）.

（2）函数的定义域为R.

故）,=仔「的值域为（0,+功.

题型五、指数型函数的单调性求参数

3（25-26高二下・江苏无锡•阶段练习）己知函数小）=（二?（〃>0,且,）在R上

单调递增，则〃的取值范围为（）

6

A.(f5)B.(1,5)C.(4,5)D.[4,5)

【答案】D

【分析】根据分段函数的单调性，得到每段函数的单调性，以及在分界点处比较函数值大小，即可得

到。的取值范围.

【详解】由条件可知，），=（5-%。单调递增，即5-a>0,得〃<5,

y=优，x>l单调递增，得

且在分界点处满足条件5-得。“，

上述三个不等式求交集得。的取值范围是［4,5）.

故选：D

14.（25-26高二上.贵州.阶段练习）已知函数/（力=2心在［2,抬0）上单调递增，则实数“的取值范围是

（）

A.（-8,4］B.|-1,小）C.（0,1）D.R

【答案】A

【分析】分别分析指数函数和二次函数的单调性，再根据复合函数单调性“同增异减”得出结果.

【详解】函数/W=2Je可看作由'=h和/=/一办复合而成，

因为二次函数—比的图象开口向上,对称轴…者=全

所以，="2av•在上单调递减，在*+8上单调递增,

又因为>=）在R上单调递增,

根据复合函数单调性“同增异减”可知:

若要/（x）=2在［2,一）上单调递增，

则需,=——以在［2,包）上单调递增，

即会2,解得心4,

故选:A.

15.（25-26高三下•上海宝山•阶段练习）设函数=,则满足〃.］）</（»）的/的取值范

围是•

【答案】（T2）

7

【分析】根据分段函数的单调性求解即可.

【详解】因为函数丁=2，1在R卜单调递增,函数y=l为常函数.

所以分段函数〃力在（y』单调递增，在（1，讨）不具有单调性，

且/（1）=2-1=1,即当X。时，/（x）Wl,

因为/（Al）v〃2，），所以解得

11I<

所以满足/（・1）</（2，）的/的取值范围是（-1,2）.

故答案为：（T2）

题型六、比较大小

16.（25・26高一上•全国•课前预习）下列关系中正确的是（）

【答案】B

【分析】将J变形为（；『，再利用指数函数），=（；J在R上的单调性即可得解.

【详解】一名门又「HS在R上单调递减，

期即，盼（护

故选：B

/2\2

17.（25-26高二下•江苏无锡•阶段练习）若偶函数y=/（x）在（F0］上单调递增，且。=/2）,h=fV

c=f25,则下列不等式成立的是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可知y=/（x）在（。,2）的单调性，再根据累函数性质和指数函数性质判断出

3久2、2；，根据函数的单调性即可判断44c大小.

8

【详解】为偶函数且在（华⑼上单调递增，则在（。,-8）上单调递减.

根据累函数y=j在（0,+。）上单调递增，得£>2、再

由指数函数）=2,单调递增可知，21>21,则£>2：>2>

/2\（2\（口

故/3§</2G<fV,即

故选：B.

18.（25-26高一上♦全国♦课后作业）比较下列各组中两个值的大小:

(3)1.4°」，0.9°3.

【答案】（1）［^<

（3）1.4°'>0.9°3

【分析】（1）函数），=停）、在定义域R上单调递减，比较大小；

（2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数），=符与尸图’的图象，取点比较大小;

（3）分别构造函数y=L4x与），=0.9"借助中间值比较大小.

【详解】（1）,.・0<2一••函数.片目在定义域R上单调潴减，

/q\T.8z-\-2.5

X-1.8>-2.5,.

（2）在同一平面直角坐标系中作出指数函数），=《j与），=《）’的图象，如图所示，

9

当无=~0.5时，观察图象易得-J>-

（3）分别构造函数y=L4，与y=0.9，,

vl.4>l,0<0,9<1,；.y=1.4,与）=0.9，在R上分别为增函数和减函数.

v0.1>0,.•.1.40J>1.4°=1,

•・•0.3>0,...O.903<0.9°=1,...1.4°」>O.903.

题型七、简单的指数不等式的解法

19.（25-26高二下•北京♦期末）设集合A=T（£]8=八三贝IJ（\A）I3=（）

A.（1,3）B.[1,3]C.（3,4）D.（3,4]

【答案】B

【分析】求出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合低A）C8.

【详解】因为A=v!.=（3，+z）,B=x--^-<0>=[1,4|,

\ZJOX-4

所以％A=（Y>,3],故&A）D8=[1,3].

故选：B.

/[xar2-4x*J

20.（25-26高一上•陕西渭南•期中）已知函数/（©=^

⑴若叫1,求不等式/⑴案的解集

⑵若a=-\,求/*）的单调区间

⑶若/“）有最大值3,求〃的值

【答案】⑴[L3]

（2）单调递增区间是（-2,转），单调递减区间是（—,-2）

（3）1

【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可;

10

（2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断了（"单调区间;

（3）令用（工）="2-4工+3,由指数函数的单调性知二次函数g（x）有最小值-1,进而得，2、,,解之

g（一）=一1

a

即得参数值.

/.\d-4m3

【详解】（1）当〃=1时，小）=目,

由/⑴21,得（g）＞1，即.1-4工+3M0,解得14*43,

所以不等式的解集[1,3].

1)

（2）当a=—1时，/（x）=

3;

令且（灯=-/-曲+3,由g（x）在-2）上单调递增，在（-2,+00）上单调递减，

而），=《j在R上单调递减，

所以在（,，-2）上单调递减，在（-2,位）上单调递增，

即“X）的单调递增区间是（-2,位），单调递减区间是（f,-2）.

/1\s（x）

（3）令8（力=加-41+3,/（%）=-J,

由于/“）有最大值3,所以g（x）应有最小值T,

a＞（）

因此必有，冢2）_3a-4_1解得"=1,

aa

即有最大值3时，a为I.

21.（19-20高一上・甘肃张掖•期中）已知函数/（刈=优（〃＞。，且"1）的图象经过点（2,4）.

（1）求。的值；

（2）若P+"XT,求X的取值范围.

【答案】（1）a=2（2）（2,+09）

【分析】（1）根据指数函数过的点，代入即可求得〃的值.

（2）弋入〃的值，结合指数函数的单调性，解不等式即可得x的取值范围.

11

【详解】（1）：/（力="（"。，且"1）的图象经过点（2,4）

・，•/=4,由〃>。，.且。H1

可得4=2

（2）由（1）得a=2

若代入〃=2

可得2?x+l<23X-1

由指数函数的单调性可知满足2人+1<3人-1

解得x>2,即xe（2,-Kc）

【点睛】本题考查了指数函数解析式的求法，根据指数函数的单调性解不等式，属于基础题.

题型八、指数函数单调性的应用

22.（25-26高二下•天津滨海新•阶段练习）函数/（幻=0.3/2的单调递增区间是（）

A.（"/）B.（1收）C.（0,1）D.（L2）

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果.

【详解】函数/（x）=O.332x中，令/=f_2x,则函数”/一24在（3,1）上单调递减，（1,一）上单调递增，

而函数y=03为减函数，因此函数/（X）在（YO,1）上单调递增，（1,+00）上单调递减，

所以函数/（x）=Q3/z的单调递增区间是（f1）.

故选：A.

23.（25-26高二下♦黑龙江大庆•期末）已知函数一而+二a1,对任意的天eeR,且再工占,

都有则〃的取值范围是（）

凡一再

A.a>\B.a<2C.\<a<2D.\<a<2

【答案】D

【分析】首先根据条件判断函数/（'）在R上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分

界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可.

【详解】根据题意，函数“X）对任意的不WeR,且工产占，都有‘⑺?⑸>o,

X\—A2

所以/（“在R上为增函数，

12

(+3)x-4«+3,x>1

又/3=

a\x<I

2。+3>()

所以有y>1

(2a+3)x\-4a+3>a

3

a>—

2

即a>\,解得132,

a<2

故选：D.

24.（25・26高一上•湖南长沙•期末）若命题“主引0J,使得2，-心0”为真命题,则实数〉的取值范围

是.

【答案】

【分析】问题化为工£。11时能成立，结合指数函数的性质求参数范围.

【详解】由题设命题为真命题,即xwOll时2'-〃20能成立，故能成立，

所以42k=2.

故答案为：a<2

题型九、指数函数的最值问题

25.（2025高二上・云南•学业考试）函数y=6'在［-2』］上的最大值为（）

A.—B.-C.6D.36

366

【答案】C

【分析】利用指数函数单调性求出最大值.

【详解】函数丁=6'在上单调递增，当x=l时，％1n=6.

所以函数），=6,在上的最大值为6.

故选：C

［\.V2-2X-3

（的最大值为.

【答案】16

【分析】首先求函数，=/一2-3的值域，再根据外层函数尸6J的单调性，求函数的最大值.

13

【详解】设），=（",yVx-3=（x-球-4,

所以dT,y=（;j单调递减，

所以当f=_4时，即x=l时，函数取得最大值=16.

故答案为：16

27.（25-26高一上•天津•阶段练习）若函数y="（a＞0,且"1）,在［2,3］上的最大值比最小值大《，

则a=.

【答案】g或:

【分析】分0＜。＜1和〃＞1两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实

数，的方程求解即得.

【详解】若0＜"1,则函数/（八）="在区间［2,3］上单调递减，

所以/（“ax=〃J（X）min=标，

由题意得又Ovavl,故

若。＞1,则函数〃”=优在区间［2,3］上单调递增，

所以/（"ax=/J*）min=/,

由题意得八又。＞］,故a=g

所以〃的值为g或1

故答案为：3或1

题型十、指数函数的综合

28.（25-26高一上•河北•阶段练习）（多选）已知函数/（x）=2--,则（）

A.当。=0时，〃力为偶函数

B.既有最大值又有最小值

c./（力在（-，〃］上单调递增

D./（力的图象恒过定点

【答案】ACD

14

【分析】由奇偶性定义判断A,根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B.由复合函数的

单调性判断C,计算“0）后即可判断D.

【详解】A,当。=0时，/（A）=2-V,定义域为R,

因为〃一力=2-1户=2*=/（力，

所以〃力为偶函数，A正确；

B,因为y=-x2+2ax=-（x-i/）2+a2<a2,

所以0</（x）=2"+2«*2—

则/。）有最大值，没有最小值，B错误；

C,因为y=-』+2at在（m］上单调递增，在［a,+QO）上单调递减，

又），=2,在R上单调递增，

所以/（1）在（7，“］上单调递增，在［de）上单调递减，C正确；

D,当x=0时,/（0）=2°=1,

所以〃工）的图象恒过定点（0,1）,D正确.

故选：ACD.

29.（11-12高一上•山东济宁・期中）己知函数/（力=4'-2-25-6,其中x«0,3］.

（1）求函数/W的最大值和最小值；

⑵若实数。满足：/（力-。之0恒成立，求。的取值范围.

【答案】（1）最小值为70,最大值为26；

（2）（Y,T0］.

【分析】（I）设，=2喋［1闾,可得出一射-6,利用二次函数的基本性质可求得函数“X）的最

大值利最小值；

（2）分析可知aw/。）.，结合（I）中的结论可得出实数〃的取值范围.

【详解】（1）解：f（x）=4'-2.2v+,-6=（2v）2-4.2'-6（0<x<3）,

令/=2re［l,8］,则/（刈=/一4/一6,令。（/）=/-4-6=（f-2『-10,其中IW/W8.

所以，函数〃⑺在［1,2）上为减函数，在（2,8］上为增函数，

15

所以，而LM2）=T°，/（力3="（8）=26.

（2）解：•.,/（x）-a"恒成立，即a）/（x）恒成立，.,•。巾，（工）加（1,

由⑴知/（力.=-10,K-10,

故”的取值范围为（f,T。］.

30.（22-23高一上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）己知人x）是定义在［-4,4］上的奇函数,当、以0,4］时,

f（x）=2x-4\

⑴求/（x）在I，0）上的解析式;

（2）若存在使得不等式/⑴工晟成立，求〃z的取值范围.

【答案】⑴〃］）在［40）上的解析式为f（x）=4'-2。

Q）U,M）

【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式；

（2）不等式用分离参数法变形，转化为求函数的最值，然后得参数范围.

【详解】（1）当XG［-4,0）时，-xe（0,4］,所以/（-）=2--4一，

又，T）=-/（%）,所以“幻=4-*-2\

所以/⑴在［7,0）上的解析式为〃工）=4-02、

（2）由（1）知，工用-2,-1］时，/（A-）=4-t-2-S

所以/（%）=4r-2、养可整理得>flY-1,

令g（x）=6J-l，根据指数函数单调性可得，g（x）=（£］1l为减函数,

因为存在xel-2,-1］,使得不等式/（幻型成立，等价于〃”式幻在工曰-2,-1|上有解,

所以，只需〃此g*）m,n=g（T）=L

所以实数〃1的取值范围是口，内）.

【专项训练】

一、单选题

1.（25-26高三上.山东.阶段练习）如图所示，若0<"1,因数尸"与k的图象可能是（）

16

【答案】C

【分析】根据指数函数的单调性以及与），轴的交点即可判断.

【详解】因为所以指数函数y=优在R上单调递减.故排除A和D；

对于y=x+〃，当x=0时，y=〃，所以）的图象过点（OM）,

因为0＜。＜1,故B错误，C正确.

故选：C.

2.（25-26高一上•福建莆田•阶段练习）函数），=3同的大致图象是（）

【分析】根据指数函数的图象特征，即可判断选项.

3\A＞0

【详解】由＞=则=⑴、八，

-,x＜0

根据指数函数的图象，B选项符合题意.

故选：B.

3.（2025•高三・全国•专题练习）下列函数中是增函数的为（）

17

A./'(x)=-xB.f(x)

C.小咱D.f(x)=>]~x

【答案】D

【分析】根据初等函数的单调性判断即可.

【详解】根据一次函数的单调性，可得/（x）=x是减函数，故A错误；

根据指数函数的单调性，可得=都是减函数，故B,C均错误；

根据累函数的单调性，可得/（1）=爪是增函数，故D正确.

故选：D.

4.（25-26高二下•河北石家庄•期末）若函数y="+八的图象经过第二、三、四象限，则

一定有（）

A.0<a<\,且力>0B.a>\,且。>0

C.0<«<1,且〃vOD.a<\,且力>0

【答案】C

【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于〃和。的不等式组，进而求解。和

〃的取值范围.

【详解】已知函数），="+A7的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得

指数函数），="过定点（0,1）,则函数广优1过定点（0W+八1）,即（。/）

因为函数），="+〃-1的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与丁轴的交点在丁轴负半

轴上，即4°+〃-1<0=〃<0

综上分析，可得｛吃C

故选：C.

、蜂

5.（25-26高二上•四川绵阳•阶段陈习）下列函数中，既是偶函数又在（0,*）上为减函数的是（）

18

A.y=B・TC.丁=国D.,V=A-

2>

【答案】D

【分析】直接由解析式判断函数奇偶性、单调性.

【详解】对于A,不是偶函数，故A错误;

2>

对于B,尸；不是偶函数，故B错误;

对于C,当x>。时，了=凶=1，即y=|R在（0,”）上不为减函数，故C错误;

对于D,经检验），二尸是偶函数又在（。，»）上为减函数，故D正确.

故选：D.

6.（25-26高一上.上海•期末）函数）=/+b-1（。>0,且awl）单调递增且图象不经过第四象限，则

〃、力满足的条件为（）

A.a>\,b<]B.a>\fb>0

C.0<«<1,b<\D.0<67<1,b>\

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断小〃的范围.

【详解】因为函数），=（〃>0且C21）单调递增,

所以图象不经过第四象限，则当x=0时，尸1+\-1=〃之0,所以^>0,

故选：B.

7.（25-26高一上•吉林长春•期中）函数/（x）=21。的定义域为（）

A.[-3,e)B.C.(F-5)U(-5,-3)D.(f,-5)U(-5,-3]

【答案】D

6）-8-°,运算求解即可得函数的定义域.

【分析】令

2x+10*0

(万)-8-°,解得xW-3且工工-5,

【详解】令

2x+10^0

所以函数“X）的定义域为（—，-5）U（-1-3].

故选：D.

19

8.（2025高一上•全国•专题练习）函数k3区-1的定义域为卜1,2],则函数的值域为（）

A.[2,8]B.[0,8]C.口，8]D.（-1,8]

【答案】B

【分析】根据得0£国工2,然后利用指数函数的单调性求得日加工9,即可求解值域.

【详解】因为xe[T2],所以0£忖<2.即区3也9,则0一忆1K8,

所以函数）,=3冈-1的值域为@8].

故选：B

9.（25-26高一上・江西宜春•期中）已知实数〃也c满足不等式0<a<〃<c<l,且M=2",N=5”,P=（；|’,

则M、N、P的大小关系为（）

A.M>N>PB.M>P>N

C.N>P>MD.N>M>P

【答案】A

【分析】利用指数函数与累函数的单调性比较大小即可.

【详解】易知y=2,定义域上单调递增，

/（aw（0,l））在（0,也）上分别为单调递减、单调递增函数.

所以2，>2。=（以故A正确.

故选：A

10.（2025高三・全国•专题练习）已知函数/3=匕「十7一2〃，，'在R上单调递减，则团的取值范

e*+1,x<1

围为（）

A.[2.+00）R.（-3.2）C.[-3,2]D.1,+oo^|

【答案】C

【分析】根据二次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.

[-<.

【详解】由已知得2一解得-3W/〃W2.

-\-m<e°+1,

故选:C.

11.（25-26高一上•云南昭通・期末）使命题“Vx2,W0”为真命题的一个充分不必要条件可

20

以是（：）

A.a>4B.a<4C.a>5D.a<5

【答案】C

【分析】先求命题“祗W-l，2],2「aKO”为真命题的充要条件，根据充分不必要条件定义，结合选项

即可得解.

【详解】因为命题"VXG[T2],2、-a40”为真命题，

所以（2，—a）a<0,其中x«—L2],

乂函数k2'-〃在[T2]上单调递增，

所以函数工«-1,2]的最大值为4-%

所以4-三0,即

所以命题“Dx«T2],2-为真命题的充要条件为。“，

根据选项，命题“Dx«T2],2'-。W0”为真命题的一个充分不必要条件可以是。25,

故选：C.

12.（25-26高一上.甘肃张掖.阶段练习）在区间5]上，〃力=2'的最大值是其最小值的4倍，则实

数”（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据条件，利用/（"=2'的单调性，得到32=4x2“，即可求解.

【详解】因为""）=2,区间上5]上单调递增,又八a）=2",.（5）=25=32,

所以32=4x2",解得々=3.

故选：C.

二、多选题

13.（2025・湖南娄底•模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数y=e，的图象的有（）

A.y=ev+,B.y=e*-2C.y=e2tD.y=y

【答案】ABD

【分析】利用函数图象变换依次判断可得出结论.

【详解】对于A,函数产的图象向右平移1个单位长度可得到函数产占的图象，故A正确；

对于B,函数.y=e'-2的图象向上平移2个单位长度可得到函数〉=/的图象，故B正确；

21

对于C,函数），=e2x的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数y=e，的图象，故C错误；

对于D,函数号一之一。52,其图象向左平移］n2个单位长度可得到函数），=c'的图象，故D正确.

故选：ABD

14.（25-26高一上•浙江宁波・期末）下列命题中正确的是（）

A.DX£（T,O）,2*>yB.大£（0,+8）,2X>3V

C.VXG(0,1),x3<JD.3xe(l,+e),

【答案】AC

【分析】在同一坐标系中画出），=2,和），=3"的图象，即可判断AB；再由同一坐标系中）=工3和）,=/的

图象，可判断CD.

【详解】在同一坐标系中画出），=2,和），=3、的图象，如下图所示：

蜂尸3”

显然对于Dx«f，（））,），=2'图象在），=3"上方，即Vxe（』O）,2^>3\即A正确;

当xe（O,+e）时，y=2'图象在），=3吓方，即2'<3',因此B错误;

在同一坐标系中画出丁=｛和）,=%的图象，如下图所示：

由图可知，Vx«O/）时），=丁的图象在）,=）的下方，即Vx£（（）,l）,可得C正确；

当x«l,+功时，），=丁的图象在）,=）的上方，所以力£（］,+8）,/>）,即D错误.

故选：AC

15.（25-26高二下•陕西渭南•期末）设〃>O，swR.下列各项中,不能推出的项有（）

A.a>l,且s>0B.且svO

22

C.0<«<l,且s>（）D.（）<«<1,且svO

【答案】ABC

【分析】由指数函数单调性性质即可求解.

【详解】对于A,因为且s>0,所以0<svl时/=a,sNl时

所以。>1且s>0不能推出炉>〃，故A符合；

对于B,因为。>1且s<0,所以肩<4=4,所以。>1且s<0不能推出"〉a,故B符合；

对于C,因为0<"1且s>0,所以0<$<1时sZl时

所以（）V"<1且3>0不能推出">“，故C符合；

对于D,因为0<4<1且5<0,所以优=4所以0<4<1且s>（）能推出">4,故D不符合.

故选：ABC

三、填空题

16.（25-26高一上•黑龙江哈尔滨•期中）下列函数中,是指数函数.①产。；②y=10。③），=5

@y=x\⑤尸/（。是常数）；⑥y=（2a-l）,.

【答案】①

【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案.

【详解】因为形如），=，（〃>0且a"）的函数为指数函数，其中。为常数；

故①J=l（r为指数函数;②y=10"i不是指数函数;

③），=-4、不是指数函数；④尸二片的底数不是常数，故不是指数函数；

⑤）,=/（a是常数）为塞困数，不是指数困数；

@.y=（2«-l）v,由于为-1取负值或0,1时，函数即不是指数函数，故y=（2〃7）.不能确定为指数函

数.

故答案为：①.

17.（25-26高一上.吉林通化•阶段练习）函数y=〃i+l,（«>0,且awl）的图象必经过一个定点，则

这个定点的坐标是.

【答案】0,2）

【分析】根据指数的性质求函数所过的定点坐标.

【详解】根据指数的性质有。一+1=1+1=2,即函数的图象过定点（L2）.

故答案为：（L2）

18.（25-26高一上•北京•期中）己知〃由=2*,g0）=x+l,则不等式f（x）>g（幻的解集为.

【答案】（F,0）51，+8）

23

【分析】在同一坐标系内作出函数y=/（x），y=g。）的图象，利用图象求解不等式的解集.

【详解】在同一坐标系内作出函数y=/（x）,y=《）的图象,如图,

观察图象知，当xv。或%>1时，fW>g（x）,

所以不等式/（x）>g（x）的解集为（f，o）51,e）.

故答案为：（F,0）51,E）

z］xat2-4.v+3

19.（2024高三.全国•专题练习）若函数/"）=（"有最大值3,则.

【答案】1

【分析】利用指数型复合函数单调性可知kr）=ad-4x+3应有最小值-1,再由二次函数性质可得.

【详解】令〃（x）=a--4x+3,则/（x）=（g）,

因为/（x）有最大值3,所以〃（用应有最小值-1;

a>0

由此可得卜2”16,解得。=1.

-------=-1

4a

故答案为：1

20.（2025高二下・浙江•学业考试）函数/（"=4'-2间的单调递增区间是.

【答案】［0，y）或（0，+。）

【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案.

【详解】函数〃力=4*-2⑷=（2。1）2-1,

令/=2（>0）,

则y=在。，内）上单调递增，在（-8」）上单调递减，

由/=2、>1的x>0,而r=2、在（。,y）上单调递增，

所以的单调递增区间是（0，y）或［0，内）.

故答案为：（0,小）或［0,+8）.

24

t：：二,E在R上单调递增，则”的取值范围

21.（25-26高二下•辽宁辽阳•期末）己知函数〃戈）=

是

【答案】［2收）

【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可.

【详解】解：因为“X）在R上单调递增,

<72>1,

所以万■之1,得〃之2.

-1+。+3Wa~,

所以实数〃的取值范围是［2,e）.

故答案为：［2,*o）

22.（23-24高一下•河南新乡•期末）函数/（x）=22"的最大值为

【答案】4

【分析】根据二次函数的性质得2-丁工2,再由指数函数的性质即可求解.

【详解】因为2-丁工2,所以/（X）=22-/<22=4,

故函数/（力=2一的最大值为4.

故答案为：4.

四、解答题

23.（25・26高一上•全国•课前预习）（1）已知（|）,比较。，人的大小;

（2）比较。8了与《『的大小.

【答案】（1）。<h;(2)()82>]|

2]的单调性,由（|J>2利用函数Tij的单调性,即可得到

【分析】（1）先确定函数y=

5;

〃的大小关系;

（2冼利用函数y=08的单调性，得到（0.8）々与|的大小关系，再利用函