函数与方程（练习）解析卷-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区）

第12讲函数与方程•分类练习(解析卷)

答案速查表

12345

BCCCC

678910

BDBAACD

II12131415

ABDCABACDB

1617181920

DACD(-co,-1)

2122232425

3

B(-IQ]AA(-8,])

2627282930

1

(0,2)见解析DCB

3132333435

(0Jn3]D10AA

3637383940

ABDD4

4142

30n=2'T

1.(2025•沧州运东五校•二模)函数/(x)=2、+In%—1的零点所在的区间为()

A.(0,1)11)C.(l，57)D.(7p)

【答案】B

【解析】因为y=2"与y=Inx-1均在定义域上单调递增，

所以f(*)=2"+Inx—1在(0,+8)上单调递增，

又/(；)=x^2+ln1-1=V2-1—ln2,

V2—1<I，ln2>InV^=

.­./-(1)=V2-l-ln2<0,

又(1)=2+lnl-l=l>0,

••・函数/(%)的零点所在区间是C，l).

【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，结合函数单调性与端点函数

值符号进行判断即可.

2.(2026•泰安・一模)函数/(%)=(x-1)2X-26的零点所在的大致区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D,(4⑸

【答案】C

【解析】因为/O)=(%—1)2'—26,则/(1)=-26<0,f(2)=4-26=-22<0,

f(3)=2x8-26=-10<0,f(4)=3X16-26=22>0,

所以f(3)(4)<0,

又因为f(E)=(x-1)2X-26在(1,+8)上单调递增,

所以函数f(x)=(x-l)2x-26的零点所在的大致区间为(3,4).

【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，利用零点存在性定理，计算区间端点函数值，寻找

异号区间即可.

3.己知函数/(x)=e'+lnx+2,若%o是方程f(x)-/'(x)=e的一个解，则工。可能存在的区

间是()

A.(0,1)B.(1,2)C(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】f(x)=ex+p所以f(x)-/(%)=e"+Inx+2-(ex+：)=Inx-：+2,

因为沏是方程f(x)-f'(x)=e的一个解，

所以是方程lnx-^+2-e=0的解，令g(x)=Inx—:+2-e,

则。(%)=1+当％>0时，g(x)=：+/>0恒成立，

所以9(x)=lnx-i+2-e单调递增，

又g(2)=ln2-1+2-e=ln2+e<0,g(3)=ln3-1+2—e=ln34--e>0,

所以&G(2,3).

【点拨】本题考查函数零点所在区间的判断，先求导化简方程，构造新函数，利用导数判断单调

性，再结合零点存在性定理求解.

4,函数/(x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：

f(1)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.2607(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【解析】由所给数据可知，函数/'(X)在区间(L1.5)内有一个根，

因为/'(1.5)=0.625>0,/(1.25)=-0.984<0,

所以根在(1.25,1.5)内，

因为|1.5-1.25|=0.25>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点1.375,

因为/(1.375)=-0.260<0,/(1.5)=0.625>0,

所以根在区间(1.375,1.5),

因为|1.5-1.375|=0.125>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点1438,

因为/'(1.438)=0.165>0,/'(1.375)=-0.260<0,

所以根在区间(1.375,1.438)内，

因为|1.438-1.375|=0.063<0.1满足精确度，

因为/(L4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438)内，

所以方程的一个近似解为1.41.

【点拨】本题考查二分法求方程的近似解，根据一分法的步骤，结合所给数据•，逐步缩小零点所

在区间，直至区间长度满足精确度要求即可.

5,利用二分法求方程log3%=3—%的近似解，可以取的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

［解析］设/(%)=log3x-3+x,

•••当连续函数〃%)满足/'(a)•/■(》)<0时，/'(%)在区间(a,b)上有零点，

艮］方程log3%=3-%在区间(a,b)上有解，

乂(2)=log32-l<0,f(3)=log33-3+3=1>0,

故/(2)•/(3)<0,

故方程log3%=3-%在区间(2,3)上有解，

因利用二分法求方程log3%=3-%的近似解，可以取的一个区间是(2,3).

【点拨】本题考查二分法求方程近似解的初始区间选择，构造函数，利用零点存在性定理判断零

点所在区间即nJ.

6,用二分法求函数/(x)=ln(x+1)+x-1在区间［0,1］上的零点，要求精确度为0.01时，

所需二分区间的次数最少为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】根据题意，原来区间［0,1］的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的

一半，

则经过九次操作后，区间的长度为喜，若或<0.01,即九之7.

【点拨】本题考查二分法求方程近似解的次数计算，根据二分法原理，每次操作区间长度减半，

建立不等式求解即可.

7,牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数f(X)在X。附近一点的

函数值可用f(x)tfQo)+/'(%0)(%-%0)代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续

迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程炉-3%+1=0,选取

初始值与=；,在下面四个选项中最佳近似解为()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令f(x)=x3-3x4-1,则/<'(%)=3x2-3,

令/'(%)=(),即/(&)+f(%)(%一%)弋0,可得

迭代关系为4-舒=冲-铛=裂(&CN)，

S贝%=潮=窖吗必=4=第=於。.34722.

【点拨】本题考查利用牛顿迭代法求方程的近似解，理解题意，写出迭代关系式，代入初始值进

行计算即可.

8.(2026•佛山•检测)下列曲线中，与曲线y=炉—3%交点个数最多的是()

A.y――2%B.|x|+|y|=2C.y2=4D.\y\=x2

【答案】B

【解析】因为y=x3-3x的定义域为R,且y'=3x2-3,

令y>0,解得xv-1或％>1；令y'v0,解得一ivxvl；

可知函数y=炉-3x在(-8,-1),(1,+8)内单调递增，在(一1,1)内单调递减，

当％=-1时，函数y=炉一3K取到极大值2；当；r=l时，函数y=炉一3%取到极小值-2；

且当x趋近于一8时，函数y=/-3%趋近于一8；当%趋近于+8时，函数y=炉一3%趋近于+8；

对于选项A：分别作出曲线y=x3-3x和曲线y=-2x的图象，

-1O

-2y=-2x

由图象可知：曲线y二炉一3x与曲线y=-2x有3个交点；

对于选项B：曲线田+|y|=2,

用r替换x可得|一无|+|训=2,即|x|+|y|=2,方程不变，曲线|x|+|y|=2关于y粕对称;

用一y替换y可得优|+|-训=2,即|%|+|训=2,方程不变，曲线㈤+|y|=2关于x轴对称;

且当％?0且yN0时，曲线+|训=2即为x+y=2,

据此可得曲线y=x3-3%和曲线m+|y|=2的图象，如医所示：

由图象可知：曲线y=%3-3%与曲线㈤+|y|=2有6个交点:

对于选项C：曲线y2=4即为y=±2,

由图象可知：曲线y=x3-3%与曲线y=4有4个交点;

对于选项D：曲线|y|二d即为

由图象可知：曲线y二/一3x与曲线|y|=*2有5个交点；

综上所述：与曲线y=x3-3%交点个数最多的是|x|+|y|=2.

【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，先利

用导数画出y=%3—3x的草图，再分别画出各选项曲线的图象，观察交点个数即可.

9.(2025•衡水中学•一模)函数/(x)=2sin(2x+“与函数g(%)=log2》的图象交点个数

为()

A.3B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数/(X)=2sin(2x+，与函数g(x)=log2》的图象，

由图象可知，函数/(X)=2sin(2x+.)与函数g(x)=log2%的图象交点个数为3.

【点拨】木题考查函数图象的交点个数问题，利用数形结合思想，在同一坐标系中画出两函数的

图象，观察交点个数即可.

10.(2024•华南师大附中♦三模)(多选)已知函数y=x+的零点为Xi，y=xInx

的零点为%2，则()

A.+&>0B.xxx2<0C.e'i+lnx2=0D.xxx2—%i4-

x2>1

【答案】ACD

【解析】由题意知,%i+eX1=0,即e”i=-%i，

所以％1=ln(一%。,即一皿+ln(一不)=即

又%2+ln%2=0,

设f(%)=x+Inx,易知/(x)在(0,+8)上单调递增，

且/(一/)=。，/(工2)=。，所以一必=%2，即11+%2=。，故A错误；

因为/(1)=1>0,/(»=——1<0，

所以刀2£(，,1)，所以Xiw(—1,—}),

所以为1%2=—超V0，故B正确；

因为=0,不+inx2=0，

所以e"i+lnx2=--M=0,故C正确；

%1%2-勺+%2=_x2+2%2--(%2-1)2+1,

因为%2£1)，所以—(%2—1)2+1>0,

Ulx1x2-x1+x2>0,由于无法判断是否大于1,故D错误.

【点拨】本题考查函数零点的性质及应用，利用函数的单调性与零点存在性定理，结合方程的思

想进行转化推导.

11.(2026•黄冈•调研)(多选)若直线y=a与两条曲线/(%)=x/x和或乃=竽共有

四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为打,％2，%3，%4，则()

2x

A.-<a<0B.e'=x3C.％1，%2，%3，%4成等比数列D.

Xl%3=%2%4

【答案】ABD

【解析】对于A,求导得f'a)=(2丫+1)。21

当时，/(X)<0,当％〉一^时，/(X)>0,

则f(%)在(一8,-J)上单调递减，在(一；,+8)上单调递增，

当-8时，rQ)T(r,当％T+8时，/(%)->+8,

故/Wmin=/(一;)=

对于g(%)=亭，函数的定义域为(。,+8),求导得一。)=竽，

当0VxV;时，g'(x)<0,当%>,时，g'(x)>0,

则g(x)在(03)上单调递减，在6,+8)上单调递增，

当0+时，g(x)->。—，当x-»+8时，g(x)7+8,

故g(x)min=g(：)=-2

对于A,由图知，要使直线y=Q与两条曲线/(x)=x/x和g(%)=¥有四个不同的交点，需使

-aVaV0,故AiF确：

x

对于B,结合图象可知，%1<-1<X2<0<%3<!<4»X送2孙==e?(仔等,

结合函数f(x)=%。2丫的单调性可知，勺=等，即/刈=%3，故B正确；

同理可得。2立=/,由<-7<X<0<XV，V%4知％1,%2，%3，%4不可能构成等比数列，故C

423e

错误；

2xz

由前面分析可知%i%3=Ki*I=a,x2x4=x2e=a,故D正确.

【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及数形结合思想判断曲线交点个数，构造

函数，利用导数求出单调区间和极值，画出图象，结合图象和方程的思想进行求解.

12.(2026•山东九五协作体•一模)已知a,hc为两两不相等的正数，设函数/(%)=就+

bx-c\则()

A./(%)没有零点B./(%)有唯一零点C./(%)至多有一个零点D./(%)至少有

一个零点

【答案】C

【解析】/(x)=a》+〃一/=0=《尸+(/尸=1,

令9。)=《)、+(»，

若a,b均大于c,则g(x)在R上单调递增，且g(0)=2>1,g(x)>0,

此时g(X)=1至多有一个解；

若a,b均小于c,则g(x)在R上单调递减，且g(0)=2>1,g[x}>0,

此时g(x)=1至多有一个解；

若a,b中一个大于c,一个小于c,不妨设a>c>于

则放©=()呜+(»嗜

令g'(x)=0,得(针=一曲，

C

lnd

因为a>c>8,所以一—>0：

lnC-

所以方程铲=一层有唯一解心，

C

当XV孙时，g\x)<0,g(x)单调递减；

当%>%0时，g\x)>0,g(x)单调递增：

所以。(%)在％=3处取得极小值，也是最小值，

若g(%o)>1，则g(%)=1无解；

若g(%o)=1，则g(%)=1有唯一解;

若g(》o)Vl,由于g(0)=2>1,且当XT+8时，g(x)-»+co.

比时g(x)=1有两个解：

综上，f(x)可能没有零点，也可能有一个或两个零点，

故选C.

【点拨】本题考查函数零点个数的判断，将方程变形，构造新函数，分类讨论参数的大小关系，

利用导数研究函数的单调性与极值，从而判断零点个数.

13.(2026•孝感・二模)(多选)已知函数y=/(x)的定义域是［0,+8),满足/(x)=

f-2x4-2,0<x<1

j-x2+4x-3,1<x<3,且/'(x+4)=f(x)十a,若存在实数k,使函数g(尢)=f。)+k

\2x—6,3<%<4

在区间［0,2026］上恰好有2026个零点，则实数a的值可能为()

A.-B.0C.-^―D.

508506505

【答案】AB

【解析】由题意，/(©在［0,4)上的图象有2个“波谷”点(1,0)和(3,0),I个“波峰”点(2,1)。

因为/(%+4)=/(x)+a,所以/'(x)在［4n,4几+4)上的图象可由［0,4)上的图象向上平移na个单位

得到。

要使函数g(x)=/(x)+k在区间［0,2026］上恰好有2026个零点，即方程f(x)=-k在［0,2026］上恰

好有2026个解。

因为2026=506x4+2,所以区间［0,2026］包含506个区间［4弭4几+4)(几=0,1,…,505),以

及［2024,2026］。

在每个区间［4%4几+4)内，方程最多有4个解，在［2024,2026］内最多有2个解。

要使总解数为2026,必须在每个［4几4几+4)内有4个解，且在［2。24,2。26］内有2个解。

因此，直线y=-/c必须介于所有的“波谷”和“波峰”之间，即要求“最高波谷”<“最低波

峰”。

(1)当Q=0时，取一上€(0,1)即可满足条件，显然成立；

⑵若a>0,图象整体呈上升趋势，“最高波谷”为/(2025),“最低波峰”为/'(2)=1。

则需满足f(2025)<1,即/(I)+506a<1,解得0VaV士；

(3)若a<0,图象整体呈下降趋势，“最高波谷”为/(I)=0,“最低波峰”为/(2026)。

则需满足/(2026)>0,B|J/(2)+506a>0,解得—^VQVO；

综上所述，实数a的取值范围是一去<Q<白。

□Uo3U。

对照选项，A、B符合题意。

【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用函数的递推关系与平移

变换，结合数形结合思想，抓住“最高波谷”与“最低波峰”的临界条件进行分析求解。

14.(2026♦荷泽•一模)(多选)函数y="(x)图象是由函数“％)=(七)'，无工"与函数

g(x)=仃，x>］的图象“拼接”而成.则下列说法正确的有()

A.FQ)+F(4)=|

B.若g(m+4)Vg(3-2m),则mV-g

C.若、=口>)一g+1)有三个零点，则gvkv；

D.若关于x的方程F(x-2026)-t2+|t=0存在实数解，则实数酶足t<-^t>1

【答案】ACD

【解析】对于A,F(l)=/(1)=(±)1=|,F(4)=g(4)="=2,

所以尸。)+尸(4)=1+2=|,故A正确;

对于B,易知g(x)=«在(j+8)上单调递增，

pn+4>:

由g(m+4)<g(3-2m),得j3-2m>工，解得—当<m<—故B错误；

1m+4<3-2m

对于C,函数丫=5(乃-代工+1)有三个零点，等价于方程F(x)=k(x+l)有三个不相等的实数根,

等价于函数y=/(%)的图象与直线y=k(x+1)有三个交点，

又直线y=上。+1)恒过定点(一1,0),如图，

当直线M立于，1与％之间(不包括两条直线)时满足条件，

当直线/位于，1时，攵=击=|；

当直线/位于a时，联立y=kQ+1)与y=消去y整理得1工2+(2k?-l)x4-/c2=0.

由相切，得(2a-1)2一轨4=0,解得好=1又上>(),则k=g,

由图可知:<k<；,故C正确；

对于D,由上图得函数y="x)的值域为弓,+8),

Ifj-y=F(x-2026)的图象是由y=F(x)的图象向右平移2026个单位得到，

故y=F(x-2026)的值域为6,+9)，

将条件转化为关于珀勺方程/一*=FQ—2026)存在实数解，

所以£2—**，解得"一抻缄1，故D正确.

【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，函数零点个数问题，以及方程有解问题，利用数形结

合思想，将零点问题转化为图象交点问题，结合导数或判别式求解.

15.函数/(X)=log2%+%2+/H在区间(1,2)存在零点.则实数m的取值范围是()

A.(-3,—5)B.(-5,-1)C(1,5)D.(5,十8)

【答案】B

【解析】由月=log2%在(0,+8)上单调递增,丫2=%2+m在(0,+8)上单调递增,得函数/(%)=

2

log2x+%+m在区间(0,+8)上单调递增，

2

因为函数/'(X)=log2x+%+m在区间(1,2)存在零点，

(1)<0即°og2i+"+巾<0,

所以解得—5<m<—1,

(2)>0U0g22+22+m>0,

所以实数m的取值范围是(一5,-1).

【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，先判断函数的单调性，再利用端点函数值异

号列不等式组求解.

16.函数f(%)=2x-；-a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是()

A.(7,+8)B.(—8,—1)C.(—8,—1)u(7,+oo)D.(—

17)

【答案】D

【解析】：y=2"和y=-：在(0,+8)上是增函数，

/(x)=2"-：一a在(0,+8)上是增函数，

只需/(I)•/(3)V0即可，BP(-l-a)-(7-a)<0,解得一1VaV7.

【点拨】本题考查利用零点存在性定理求参数范围，判断函数的单调性是关键，然后利用端点函

数值异号求解.

17.己知函数/■(%)=a-言7是R上的奇函数，若函数y=f(x-2m)的零点在区间(一1,1)

内，则m的取值范围是()

A.(-p1)B.(-1,1)C.(-2,2)D.(0,1)

【答案】A

【解析】•••/'(%)是奇函数，.・•/(0)=a-71?=0,a=1,f(x)=l-岛，易知/•(乃在R上是

增函数，

・••/■(曾有唯一零点0,

函数y=/Q-2m)的零点在区间(一1,1)内，.2m=0在(-1,1)上有解，m=|,

1).

【点拨】本题考查奇函数的性质及函数零点问题，先利用奇函数性质求出参数，再利用单调性确

定零点，最后根据零点所在区诃求出参数范围.

18.(2026•山东名校联盟•检测)若函数/(X)=5一±有且只有一个零点，则实数Q的取

ex

值范围为()

A.(芯,+8)B.(芯,+8)U{0}

44

C.(—00,0)U+8,)D.(—00,0］U(―,+8)

ee

【答案】C

【解析】由/(乃=.一?=0,得Q=3，

令g(x)=9==

当x<0或%>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当0VxV2时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

所以9(%)在％=2处取得极大值，也是最大值，g(2)=4,

又当％->-8时，g(x)->+co；当x->+8时，g(x)-»0,

且g(0)=0,

画出9。)的大致图象，

要使/■(%)有且只有一个零点，即直线y=Q与y=g(x)的图象只有一个交点，

结合图象可知，。<0或。>摄，

所以实数Q的取值范围为(一%0)u岸,+co).

【点拨】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，采用分离参数法，构造新函数，利用导数

求出单调区间和极值，画出图象，数形结合求解.

19.(2025•保定•一模)函数/(%)=mx-|lnx+1|有且只有三个零点，则7九的取值可以

是()

1

A.3B.eC.D.-e

【答案】D

rinx+11

［解析］令/■(%)=0得m=*山=：nx+ie=t(x),

-----,0<x<-

Xe

当4>十时，t(x)=E：+l,则t(x)=令t(x)=0=>X=1>

所以当工£6,1)时，穴工)>0,亡(工)为增函数；当“£(1,+8)时，t'(x)<0,t(x)为减函数，

所以函数t(x)在X=1处取得极大值t(1)=1,且£(工)=0,当XT+8时，£(%)T0;

e

当0<%<:时，t(x)=f,

则t(乃=詈,则ov与V：时，宣4)<0,20为减函数,

当时，t(x)->+00：

综上，y=m与函数t(x)图象有三个交点时0Vm<1,即函数/(%)=mx-|lnx+1|有且只有三

个零点时0vmv1.

所以m的取值可以是士

e

【点拨】本题考查函数零点个数问题，采用分离参数法，将问题转化为直线与函数图象交点个数

问题，利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象求解.

20.已知函数/<(%)=a必+3/-4,若/(%)存在唯一的零点%。，且%oV0，贝la的取值范围

是.

【答案】(—8,—1)

【解析】因为/'(x)=ax3+3x2-4,所以f(x)=3ax2+6%=3x(ax+2)

当Q=0时，有/(x)=3好一4=o,解得x=±第，所以当Q=0时，/(无)有两个零点，不符合题

意；

当a>0时，由/''(%)=(),解得％=0或%=—：，且有/"(0)=-4,/•(一’=去一4,

当XW(-8,-：)，/(X)>0,f(x)在区间(-8,-\)上单调递增；

当工£(-；,0),/(%)<0,/<(%)在区间(一；,0)上单调递减：

当％6(0,+oo),f\x)>0,f(x)在区间(0,+8)上单调递增；

又因为f(0)=-4V0,/(苧)=晶>0,

所以XE(O,竽)，f(x)存在一个正数零点，所以不符合题意；

当QV0时，令/'(%)=0,解得％=0或%=—，，且有/(0)=-4,/(一》=*一4

当％6(-8,0),f\x)<0,在区间(一8,0)上单调递减；

当工€(0,-5)，/'(x)>°，f(x)在区间(0,—》上单调递增；

当XW(-：,+8),/''(%)<0,f(x)在区间(一：,+8)上单调递减；

又因为f(0)=-4<0,r(-苧)=一提>0,

所以XE(-W，O),/(%)存在一个负数零点，要使f(x)存在唯一的零点汽，

则满足f(—：)=[—4V0,解得aV—l或a>1,又因为aV0,所以以V—1,

综上，Q的取值范围是。<一1.

【点拨】本题考行利用导数研究函数的零点问题，分类讨论参数Q的符号，利用导数求出单调区间

和极值，结合零点存在性定理进行判断.

21.若至少存在一个x,使得方程Inx-mx=式工2一2e©成立.则实数m的取值范围为

【答案】m<e2+-

e

【解析】原方程化简得:m=^-x2+7.P.X,(x>0)有解，令f(x)=中一/+2P.X,(X>0),/'(x)=

曾^+2(e-x),当％>e时,/(x)V0,所以/'(无)在(e,+8)单调递减，当％<e时/(x)>0,所以/(%)

在(0,e)单调递增/(x)max=f⑶=~+e2'所以mW

【点拨】本题考查方程有解问题，采用分离参数法，转化为求函数的最值问题，利用导数研究函

数的单调性与最值即可.

22.(2026•龙岩•检测)已知函数/■(%)=f2~<2恰有三个零点，则实数的

取值范围是.

【答案】(-1,0］

【解析】因为/(为=Q'j；2恰有三个零点，

当工之2时，由ln(x-2)=0得％=3,所以函数/(X)在［2,+8)上有一个零点，

所以函数/'(%)在(-8,2)上有两个零点，

艮］方程》一2、一。=0在(一8,2)上有两个不相等的实数根，

△=4+4a>0

-1~<2,解得一1<。工0,

g(2)=4-4-a<0

所以实数a的取值范围是(一!1,0］.

【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，

利用二次函数的图象与性质列不等式组求解.

23.(2026,山东师大附中•检测)己知函数/'(%)=4sin(2x十：)，且函数g(x)=f(x)—a

在(nWAT)内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对(a/)()

A.有且仅有1对B,有且仅有2对C.有且仅有3对D.有无数对

【答案】A

【解析】因为/CO=4sin(2x+g),周期「=?=〃，

OL

当xW时，2x+?W［g,2mr+3，

666

函数g(x)=a在［0,几兀］内恰有2025个零点，

艮］方程在［］内恰有个解，

4sin(2x+gO)=a0,TUT2025

因为2025是奇数，且每个周期内正弦函数最多有两个解，

所以几个周期内，解的个数为2九或2九一1或2九+1,

若解的个数为2025,则必有2n-1=2025或2几+1=2025,

解得九=1013或71=1012,

当n=1013时,区间为［0,1013用,2%+襄吟,2026加十)

要使解的个数为2025,则在最后一个周期［1012%1013川内只有1个解，

此时()

Q=4sin76=2,

当九二1012时，区间为［0,1012汨，2x+?E［±2024〃+?］,

666

要使解的个数为2025,则在最后一个周期［1011再1012扪内有3个解，这不可能，

所以满足条件的有序数对(a,几)只有1对，即(2,1013).

【点拨】本题考杏三角函数的图象与性质，以及函数零点个数问题，利用三角函数的周期性与图

象，结合数形结合思想进行分析.

24.已知函数/0)=匕；；三七利若函数g(x)=/(%)+巾有两个零点，则m的取值范围是

()

A.［-1,0)B.［-1,+8)C.(-oo,0)D.(-oo,1］

【答案】A

(解析】•*,g(x)=/(x)+m=0<=>/(x)=-m

・•.g(x)存在两个零点，等价于y=-zn与/•(%)的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函

数的图象：

由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足Ov-mWl,解得：me［-1,0)

【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为两函数图象的交点问题，画出图象，数形

结合求解即可.

25.(2026・临泉田家炳-二模)已知函数f(x)=I；；；?*；：：2恰有三个零点，则实

数a的取值范围是.

【答案】(-8推)

【解析】当工之2时，令ln(x-2)=0,得％=3>2,

可知函数/'(%)在［2,+8)上有一个零点，

则f(x)在(一8,2)上有两个零点，故当％<2时，方程=2有两个不同的根,

故x(x-a)=1在(-8,2)上有两个不同的根，

艮］函数g(x)=x2-ax-1在(一8,2)上有两个零点，

当第=］,则=一亍-1<0，

0<2

结合函数g(x)的图象可得2,解得a<

g(2)>02

【点拨】本题考查分段函数的零点问题，将问题转化为二次方程在指定区间上的根的分布问题，

利用二次函数的图象与性质列不等式组求解.

26.(2025•张家口・二模)已知关于x的方程2Q2"+I+2ax=1有两个不等实根，则正

数Q的取值范围是.

【答案】(0弓)

2x

【解析】方程2Q2X+I+2ax=1变形为2a-a+2ax=1,

因Q2“+x=

令/(%)=a"+x,则f(x)=2a2x\na+1,

若QNI,则f(x)>0,/(x)单调递增，最多只有一个零点，不合题意；

若OVQ<1,令/(X)=O,得QX

J'2=—21na,

解得力=扣氏(一劫,

当xv^lo即(一左)时，/w<°»/(X)单调递减；

当％10go(-土)时,/(X)>0,/1(%)单调递增;

所以/(乃min=/(110ga(-^))=-^+il0ga(-^),

要使方程有两个不等实根，贝5

即一在+发加(一W)〈去

1_£

令"一而,赃>0,a=eF

不等式化为t+；瞿

LIna2

11

艮Jt—tint<-e2t,

令力(£)=t-tint,g(t)=-ezt,

利用导数可证九⑴<g⑴在亡>0时恒成立，

所以OVQvl均满足题意.

【点拨】本题考查方程根的个数问题，利用导数研究函数的单调性与极值，结合数形结合思想进

行分析求解.

27.(2026•山东九五协作体・一模)已知函数/(%)二怖言.

(1)求曲线y=/(%)在点(一1,/(一1))处的切线方程；

(2)关于T的方程/(%)-人一人=0(化b£/?)有三个实根勺,》2，X3，且巧+》2+丫3=。，

求力的取值范围.

【答案】见解析

【解析】(I)当第V0时，/〔工)=£,f(0)=0,

4)=占，人-1)=今

所以曲线y=〃为在(-1,/"(-1))处的切线方程为y=1(X4-1).

(2)当XV0时，AX)=p,在(0,+8)单调递增，当X20时，/-(%)=1.

1—X

方程三=kx+b①有三个不同的实数解修,工2，工3(工1<X2<工3)，

且占+%2+%3=0.

若k=0,则b=1,

此时方程①任意三个实数解之和必大于0,不符合题意：

若k*0,

当xN0时，方程①可整理为A/一(k-b-1)%+1-b=0②至多两个负数解,

当XV0时，方程①即为"+8=1③至多一个非负解.

所以方程②有两个不同的实数解句,x2,

且勺+x2=牛L

因为方程③有非负解%3=F，

K

由％1+。2+。3=0,可知々=28.

由％3===了工0，得OVbWl.

方程②变为2bx2+(1-b)%+1-b=0,

由判别式(1-b)2-4-2b(1-d)=(1-b)(l-9b)>0,并结合0cb41,

可知0<b<1.

经验证，此时/产2为负数，符合题意.

综上,实数b的取值范围是0<bV；.

【点拨】本题考查导数的几何意义求切线方程，以及函数零点与方程根的综合应用，利用分段函

数的解析式，将问题转化为二次方程根的分布问题，结合韦达定理求解.

2

28.(2026•宁波•二模)已知函数/(%)=-1一1'一24”<°,设是三个不同的实

.lnx,x>0

数，且满足f(7(a))=f(/(b))=f(7(c)),则Q+b+c的最小值为()

A.e?-1B.6—1C・e2-1+—D.e-1+3

ee乙

【答案】D

2

【解析】解：/(x)="；-1^2-X<0,

Anx,x>0

在[一2,0)和(0,+8)单调递增，其简要图形如下：

设/'(e=f(b)=/(c)=3即方程八/。))=t有三个不同的实数解a,b,c,

又当t30时，/-(%)=t有两个不同的实数解：tV0时，f(x)=t只有一个实数解，

所以/(/(%))=t有三个不同的实数解，当且仅当方程/•(%)=t有两个不同的实数解%1，%2，

Jit>0,---1=t,lnx2=t,解得打=工2；E[-2,0),乃=e‘W[1,+8),

f(x)=时»WInx=%i，---1=%2/nx=x2>

不妨设Q<b<c,

则f(a)=f(c)=%2，/(b)=xls

即一2—1=%2,Inc=工2,Inb=X\,解得a=——,c=eX2,b=eX1

Q-1-X2

272t

a+b+c=­；---FeX14-eX2=—~~；+e-i-t+ee,

—1—X2—1—ec

又y=~^>y=eF，y=在£€[0,+8)上单调递增，

•,.£=0时，[a+b+c]min=7^7+e1=e-1+%

【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题

转化为内外层函数的交点问题，结合单调性求最值.

29.已知函数/(x)=|2|x|-2|-1,则关于x的方程尸(为+m/(x)+/=0有7个不同实数

解，则实数小,几满足()

A.m>0tin>0B.TH<0Hn>0C.0<m<1Hn=0D.-1<m<0

且zi=0

【答案】C

【解析】令〃=/(%),作出函数〃=f(x)的图象如下图所示:

由于方程/+mu+n=0至多两个实根，设为a=%和〃=收，

由图象可知，直线〃=%与函数〃=〃为图象的交点个数可能为0、2、3、4,

由于关于刀的方程/(均+mf(x)+九=0有7个不同实数解，

则关于〃的二次方程4-mu+n=0的一根为%=0,则九=0,

则方程〃2+mu=0的另一根为〃2=-m，

直线〃=〃2与函数〃=f(x)图象的交点个数必为4,则一1V-mV0,解得0VmV1.

所以0cm<1且办=0.

故选：C.

【点拨】木题考查嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问题转化为二次方程根的分布，结

合函数图象交点个数进行分析求解.

30.定义在R上函数/(%),若函数y=/(%-1)关于点(1,0)对称，且/(%)=

h-/Xn[0/1M,、，则关于工的方程尸。)一2巾/。)=1(小£的有几个不同的实数解，

(e—2,xE[1,+oo)

则几的所有可能的值为()

A.2B.4C.2或4D.2或4或6

【答案】B

【解析】•.•函数y=/Q-1)关于点(1,0)对称，・••/■(%)是奇函数，%>0时，f(x)在(0,1)上递减，在

[1,+8)上递增，

作出函数/(%)的图象，如图，由图可知/(不)=£的解的个数是1,2,3.

£1或£>1时，/(X)=t有一个解，£=±1口寸，/(X)=£有两个解，-1V£V1口寸，/(X)=t

有三个解，

方程产(X)-2mfM=1中设f(X)=3则方程化为步一-1=0,其判别式为A=4m24-

4>0恒成立，方程必有两不等实根，G，。，亡1+亡2=2m,£俚2=-1，两根一正一负，不妨设

3<0,t2>0,

若m=0,则£i+4=。，亡1=-1,以=1，/(%)=h和f(x)=母都有两个根，原方程有4个根；

若m>0,则£i+4>O七2>13，二以>1，-1<ti<0,f(x)=有三个根，/(x)=以有一

个根，原方程共有4个根；

若m<0,则〃+以<0，以v住11，:0<以<1，G<-1，f(x)=L有一个根，f(x)=有三

个根，原方程共有4个根.

综上原方程有4个根.

故选：B.

【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象变换，以及嵌套函数方程根的个数问题，利用换元法将问

题转化为二次方程根的分布，结合函数图象交点个数进行分析求解.

31.(2026•阜阳・一模)已知函数/Q)=依力0若关于x的方程"⑼=加恰

有三个不相等的实数根，则实数根的取值范围是_____________.

【答案】(0,ln3]

【解析】函数/(乃=依力2和乂n在(一8期上单调递增，/(x)<2,在(0,+8)上单调递增，

111I人IAJfyVx***U

/w>。，

当为+2W0,即x<-2时，=x+2+2=x+4,且/(/(%))<2,

当一2VXW0,即0V/(x)W2,/(/(x))=ln[(x+2)+1]=ln(x+3),且/V<))Wln3,

当x>0,即/(%)>0时,/W))=ln[ln(x+1)+1],且/W))>0,

x+4,x<-2

因此/(/(%))=ln(x4-3),-2<x<0,

ln[ln(x4-1)+l],x>0

右坐标系内作出函数y=r(/(K))和y=m的图像，关于x的方程/'(/(为)=m恰有三个不相等的实

数根，则0Vm工ln3.

所以实数m的取值范围是(0/n3].

【点拨】本题考查分段函数的复合函数零点问题，先求出复合函数的解析式，再画出图象，利用

数形结合思想求解.

小5730

32.(2026•滁州•一模)已知函数/(x)=%+(5)-3,g(%)=%+logs73*x-3的零

点分别是勺,必，则%1，%2满足()

A.X\+2%2=2B.2%i+工2=3C.无1+工2=2