2025-2026学年北京市海淀区高二（下）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京海淀高二（下）期末

数学

学校:姓名:班级：考号：

一、单选题

1.己知｛%｝是等差数列，4=1,%+4=%，则4=（）

A.13B.9C.7D.-5

2.函数〃x）=xcosx,则/'（'）=（）

A.—B.—1C.0D.一

22

3.从0,1,2,3中任取两个不同的数，组成有序数对（x,.y）.在平面直角坐标系中，以（用丁）为坐标的点

位于第一象限的个数为（）

A.15B.10C.6D.3

4.已知｛«,｝是等比数列，其前〃荔和为S“，若。4=&廿&=〃6-1，则。2=<）

A.yB.1C.2D.4

5.已知函数/a）的定义域为区间（。力），其导函数/'（X）的图象如图所示，/'（X）的3个零点分别是苟，

x2,下列结论中正确的是（）

A./3）在区间（。,演）上单调递增B./*）在x=N处取得极大值

C./3）有3个极值点D./（占）</（不）

6.目前某城市无人机配送已实现常态化运营.随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500

份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单,用频率估计概率.在一份订单是药品订

单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（）

A.—B.—C.；D.—

4040410

7.已知函数“X）存在单调递减区间，则其导函数/'（力可能为（）

第1页/共16页

A.r(x)=(x-l)2B.r(x)=2-*

C./z(x)=e'-3xD./f(x)=xln(l-x)

X+2r<Q

J；c一八恰有一个极值点，则〃的取值范围是()

｛ax-3x+2,x>0

A.(f0)B.(-8,0]

C.(0,+oo)D.[0,+oo)

9.设｛q｝是各项均不为0的无穷等差数列，公差为4.记(=4%%(〃=1，2,),则“20”是“，有最

小值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.己知函数/(x)=ei,^(x)=x2+av-«(«eR).下列结论中正确的是()

A.3czeR,使得对任意实数人，以幻>0恒成立

B.丞iwR,使得方程/5)-g(x)=。恰有3个不同的实数根

C.VaeR,函数〃(幻=f")g(x)存在最小值

D.VieR,函数%(x)=/(x]g(x)在卜8,一葭)上单调递减

二、填空题

H.在(I-#，的展开式中，/的系数是.(用数字作答)

12.某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人.工作人员随机选取2台机器人做功能测试，

设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为X,则随机变量X的数学期望的值为.

13.己知无穷等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且｛〃“｝是递减数列，｛S〃｝是递增数列.写出满足条件的一个

数列｛q｝的通项公式.

14.已知函数/(x)=sinx+4X(a£R).当a=l时，/(幻的单调递增区间为；若/(x)至少有2个

零点，则。的取值范围是.

15.已知数列｛〃”｝的前〃项和为5.，且％=1,a2=m,=《用5"〃=2,3,.)，给出下列四个结论：

①当=T时，｛S.｝为递减数列：

②存在实数〃?，｛SJ不是等比数列；

③当一3<m〈一2时,Sw>S、d2,…):

第2页/共16页

④当〃00时，W>0,3n0€N\当心仆时，都有

其中正确结论的序号是.

三、解答题

16.已知函数f(x)=d-3x+l.

⑴求/(冷的单调区间；

(2)求/㈤在区间[-1,4]上的最值.

17.某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购

买了一批种子.生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和

粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：

发芽的太空种子数发芽的普通种子数

辣椒9083

番茄8882

大豆9185

假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率.

(1)估计这批太空辣椒种子发芽的概率；

(2)某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X,求X的分布

列和数学期望；

⑶某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：

方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合；

方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合；

方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合.

上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是.(直接写出序号)

18.已知函数/").

(1)求曲线y=/(x)在(o,/(o))处的切线方程；

⑵若/(幻《如在xe[0,”)上恒成立，求实数k的最小值：

(3)求证:对任意的xe[0,*c),都有/(/(%))«/3).

19.已知无穷数列｛4｝,也｝满足：对任意整数〃之3,或2=凡.「凡」，称应｝为｛4｝的

伴随数列.

第3页/共16页

⑴若勺=〃(〃=1,2,),也｝为｛&｝的伴随数列，写出包的所有可能值；

(2)若4=〃5=12),也｝各项均为非负实数，且｛叫为色｝的伴随数列，求。+/+…+3)的最小值：

⑶若也｝为｛q｝的伴随数列，且｛4｝为为｝的伴随数列，4=4=1,生=2,仇=3.任意给定正整数

m,对所有满足题意的数列｛/｝,｛〃｝,集合｛川凡=如〃43中元素个数的最大值记为曝.求｛%｝的通

项公式.

第4页/共16页

参考答案

题号12345678910

答案CA,、C1)I)CBBB

1.C

【分析】根据等差数列通项公式结合已知条件求出公差，/,再代入计算

【详解】设等差数列｛〃,,｝的公差为d,

由4+4=%,得4+21+4=4+4d,

因为4=1,所以1+24+4=l+4d,解得d=2,

所以《=«+3d=1+3x2=7.

2.A

【分析】由导数的四则运算法则求导，结合三角函数值求解即匕.

【详解】由J'（x）=xcosx,则尸（x）=cosx-xsinx,

/\

r*Lit,，冗冗Tt.Tt7t

所以/uJ=C0S2-2，Sin2="2,

故选：A.

3.C

【分析】根据第一象限点横、纵坐标均为正的特征，利用分步乘法计数原理计算符合条件的有序数对个

数.

【详解】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标工>（）且纵坐标>>0,题设给出的数中，大于0

的数为1,2,3,共3个，要求选取两个不同的数组成有序数对（乂丁），

选横坐标大：从3个正数中任选1个，共3种选法

选纵坐标）'：由于用）‘为不同的数，故从剩余2个正数中任选1个，共2种选法，

根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为3x2=6.

4.C

【详解】根据等比数列的通项公式明=囚小，已知能=8q,S-1,

则q/0,.1.«闻3=8q=>/=&=>夕=2,

等比数列前〃项和公式为s,.="0W）,

"q

第5页/共16页

则§5=业©=孔Ul=3kv

\-q1-2

又:a6==32q,「.31%=32“-1=4=1,

则曰=a闻=lx2=2.

5.D

【分析】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导

数的正负确定极值点的情况.

【详解】xe(a,x,),广")<0,f(.r)在区间(〃小)上单调递减，选项A错误；

x=再时，f\x)=0,当x<X|时，f\x)<0,当x>用时，/'(x)<0,

所以x=M不是极值点，选项B错误；

r(x)的3个零点X1,七，七，

当x<玉时，f\x)<0,当X>X|时，/。)<。，X=再不是极值点，

当了<马时，ru)<o,当工时，fM>0,是极小值点，

当力<后时，fix)>0,当X>七时，f'M<0,X=±是极大值点，

.〃£)有2个极值点，选项C错误；

X«和，q),r(x)>0,/(X)在区间(孙巧)上单调递增，“电"/(演)，选项D正确.

6.D

【详解】由题意得，在一份订单是药品订单的条件下，它是在I。分钟内送达的应急订单的概率是

150_3

丽一6

7.C

【详解】对于选项A：因为r(x)=(x-l)220,当且仅当x=l时，等号成立，

所以函数/(x)在定义域(7,讨)内单调递增，故A错误；

对于选项B：因为r(x)=272。，所以函数/(可在定义域(-8,叱)内单调递增，故B错误；

对于选项C因为r(l)=e-3<。，所以函数/(x)存在单调递减区间，故C正确；

对于选项D：因为/'(x)=#n(l+x)的定义域为(-1,e)，

第6页/共16页

当上20时，则1+xNl,可得ln(l+x)NO,即r(x)=xln(l+x)20；

当-1<XV0时，则0<l+xvl,可得ln(l+x)vO,R|J/,(x)=xln(l+x)>0；

综上所述：r(x)2。，所以函数”x)在定义域(T+oo)内单调递增，故D错误.

8.B

【详解】当xwo时，r(x)=l>0,所以“X)在(-8,0］上单调递增,无极值点，

当工>0时，/'(x)=3o?-3,当。40时，r(x)<0,在(O,M)上单调递减，

又f(x)在(-8,0］上单调递增，且函数图象为一条连续曲线，

所以x=0是函数/(X)唯一的极值点；

当〃〉0时，令八用=0,则x=g(x=《舍去),

所以当0<x<E时，/'")<(),当口时，/'")>(),

VaVa

所以/&)在(-8,0］上单调递增，在(。，5)上单调递减，在(.，+8上单调递增，且函数图象为一条连续

曲线，

所以函数/(幻有两个极值点，分别为x=0和x=J),不符合题意，

综上，。的取值范围为(Y,。］.

9.B

【分析】通过举反例验证充分性，结合公差符号对(趋势的影响验证必要性，从而判断出条件关系.

【详解】充分性判断：取d=0,4=-2,所有项都不为0,符合题意，此时，=(-2)”，

当〃为奇数且不断增大时，，=-2"会无限减小，没有下界，因此，没有最小值，

即20”不是有最小值”的充分条件；

必要性判断：假设4<0,无穷等差数列｛q｝单调递减，必然存在正整数N,当〃〉N时，所有/<。，

且I。1随〃增大趋向正无穷。此时对于大于N的奇数〃，,为负数，且I图随〃增大无限增大，

即［会无限减小趋向负无穷，没有最小值，因此若(有最小值，必然1之0,

即“d之。'是"7；有最小值”的必要条件;

综匕“dNO"是有最小值”的必要不充分条件.

第7页/共16页

10.B

【分析】直接由八l)=g⑴判断A,设尸(x)=f(x)-g(x),通过导数确定其单调性，结合零点存在定理判

断B,设立(x)=/(x)g(x),利用导数确定献X)的单调性,结合参数范围判断CD.

【详解】对A,因为/(l)—g(l)=ei—(l+a—0=(),所以A错；

对B,显然ya)-ga)=。有一个有是x=i,

XHI时，F(x)=/(x)-g(x)=e'v-x2-ax+a,则尸'(x)=-e।'—2x-〃，

{x,-r

设G(x)=F\x)=-c--2x-afRiJG'U)=c-2,由G'(%)=0得x=l-ln2,

x<l—In2时，Gr(x)>0,G(x)递增，x>l—ln2时，G'(x)<0,G(x)递减，

所以=G(l—ln2)=-2—2(l-ln2)-a=21n2—4-a,

当Xf+oo时，G(x)f-co,当XT-8时，G(A)->-CO,

当“V21n2-4时,G(l-ln2)>0,所以G(x)存在两个零点，设为内,乙(3</)，

则当X<玉或x>勺时，尸'(幻<0，F(x)递减，当内vxvx2时，F\x)>0,F(x)递增，

又当xf+oo时，F(x)->-co,当x->-8时，F(x)->+co,所以尸(x)可能有三个零点，

例如当/⑴=-3-。>0时，1—即方程〃x)-g(x)=0恰有3个不同的实数根不也，其中

N<1<42,B正确；

对C,设/7(X)=f(x)g(x)=e'-'(x2+cix-a),

1-x2,-Ax2

则hXx)=-e(x+ax-a)+e(2z+a)=e'-(-x-ax+2x+2a)f

令力'")=0得_公+2x+2。=0,解得x=2或x=-〃，

若-a<2,则当x<F或x>2时，h\x)<0,人(x)递减，一a<x<2时，h\x)>0,A(x)递增，

所以h(x)在x=-"时取得极小值，在x=2时取得极大值，

又x->田时，e~的衰减速度远快于二次函数增长速度，皿外极限为0,Kr)f0+,

x—>—8时，/?(%)—>-boo,h(—a)=e1+</(«2—a2—a)=—ael+t,,当a<0时，h(-a)>—a>0,

所以/?(-〃)不是最小值，即力(x)无最小值；C错.

对D,若则—a>4>2,则〃(x)在(F,2)和(一《田)上单调递减，在(2,一〃)上单调递增，

所以力(工)在(-%-9上不是单调递减，D错.

11.

第8页/共16页

15

【详解】在(l-x)6的展开式中，含丁的项为C"「x(-X＞=15f,其系数为15.

12.i

【分析】根据题意确定随机变量X的取值，求出不同值的概率，根据数学期望公式求解.

【详解】随机变量X的可能取值为0J2,

C°C21

P(X=I)=^L]

2

P(X=2)=皆CC°4I，

C4o

141

£1(X)=0x—+lx—+2x—=1,

666

/1y

13.an=\-(答案不唯一)

【分析】由｛S.｝递增得所有项勺＞0,结合｛%｝是递减等比数列，可知首项为正、公比在(0,1)内，据此举

例即可.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为q,new：

因代｝是递增数列，故对任意〃6N',有加-5.=%＞0,

即数列｛4｝的所有项均为正数，因此q＞。，夕＞0.

又｛q｝是递减数列，故%1=4＜1,因此。＜夕＜1.

―呼日:出工。，满足条件;

验证｛q｝递减:

8L8(1\n+l

2k2；n

验证⑸｝递增：前〃项和s=LJ=1_fl1,sn+l-s„=\->0,满足条件.

”J⑴3

2

14.[0,-KX)(-U)

第9页/共16页

【分析】当4=1时，根据了'(X)的正负即可得出/*)的单调递增区间；再分类讨论。的范围，数形结合即

可求解.

sinx+A;A>0

【详解】当。=1时,/(x)=sinx+国=«

sinx—x,x<0

当x20时，/'(x)=cosx+120,则/(x)在［0,+oo)上单调递增,

当工<0时，r(x)=cosx-l<0,则/(x)在(7,0)上单调递减,

所以f(x)的单调递增区间为［0,口)；

当〃=0时，/(x)=sinA-,满足/(/)至少有2个零点；

当时，令/(x)=sin.r+«|x|=0=>sinx=-6z|x|,

设g(x)=sinx,/?(x)=一,则g'(x)=cosx=g'(0)=cosO=1,

所以冢x)在x=0处的切线斜率为1,

所以当卜时，g。)与川幻只芍一个交点，如图所示，

所以当卜&<1时，冢x)与人(工)至少有两个交点，如图所示，

%

丁~~o

所以aw(Tl).

15.②④

【分析】①将，〃=T代入得｛5｝通项S“=(-3)E,由S”正负交替不单调递减，判断①错误：②取

利=-1,此时｛S“｝出现零项，不符合等比数列定义，因此存在满足条件的相，判断②正确；③由

2

-3<〃?<-2得公比平方大于1、偶数项均为负，S2k+2=S2kq,负数乘大于I的正数会更小，不等式不

成立；④加>0时公比〃之2时〃“是底数大于1的指数型数列，极限趋向正无穷，满足无穷大定

第10页/共16页

义.

(详解】已知〃22时，anSn=%圈_],且an=S„-Sn_x,an+l=S„+l-Sn,

ss

所以(S〃—SI)S“=(S〃LS；)S.T，整理得S：=S..5T，即fT，

°/r°/r-l

即｛S“｝是等比数列，公比为青=芋=1+机，

结合$=4=1,得S“=(l+m尸,

2n2

进一步得n>2时an=Slt-Sn_t=(1+〃?)"'一(1+m\=m(\+m)~.

①当〃?=-4时，1+帆=_3,S.=(—3)i,数列是1,-39-27,…正负交替,

S2=-3<S5=9,不是递减数列，①错误；

②当〃?=T时，l+/n=O,S„=On-',数列为1,0,0,,不是等比数列，②正确;

1

③当一3</”-2时，^=1+/?7G(-2,-1),%=g(g2),$2*+2=/+|=q(/)=S2kq,

因为夕屋（1,4）国«-2,—1）,所以SzK。，所以S*2=S2「/<S”，③错误;

④当〃?>0时，<?=1+/«>I,〃22时a„=m(l+m)"-2,当〃一>8时，(j+ni)n~2->+<x>,

因此对任意大的M,总能找到足够大的人,使得〃>%时4>M,④正确.

16.（1）单调递增区间为和（1,+8）,单调递减区间为（TJ）；

（2）最小值为-1,最大值为53

【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可.

（2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可.

【详解】（1）函数/（力二/一3工+1的定义域为R,

求导得：r（x）=3x2-3=3（x+l）（x-l）.

令（人）=0,即（人十1）（4-1）=0,解得x=T或x=l.

当时，，（%）>。〃力单调递增;

当H«TI）时，r"）<o,/（“单调递减；

当时,r（x）>o,/a）单调递增.

因此/（X）的单调递增区间为（―,-1）和（L+X）,单调递减区间为（T1）.

第11页/共16页

(2)由(1)知，/(力在卜1』上单调递减,在［1,4］上单调递增.

当“目-1,4］时，“X)在x=l处取得极小值，即最小值，为/(l)=13-3xl+l=T.

又f(T)=(—］)3_3X(-1)+1=3,/(4)=43-3X4+1=53>/(-1),

所以/(外在［T4］上的最小值为最大值为53.

17.(1)0.9

(2)X的分布列为：

X0123

P0.0010.0270.2430.729

数学期望E(X)=2.7

⑶①③

【分析】(1)利用频率估计概率；

(2)分析X的所有可能取值，求出对应的概率，列出分布列，求出期望;

(3)求出三种方案对应的概率，即可得到答案.

90

【详解】(1)这批太空辣椒种子发芽的概率为而=0.9；

(2)X的所有可能取值为04,2,3,

p(X=0)=(l-0.9)3=0.001,

p(X=1)=C；0.9(l-0.9)2=0027,

P(X=2)=C^0.92(1-0.9)=0.243.

p(X=3)=C:；0.93=0.729,

所以X的分布列为：

X0123

P0.0010.0270.2430.729

E(X)=0x0.001+1x0.027+2x0.243+3x0.729=2.7；

(3)对于方案①，由题可知太空辣椒种子发芽的概率为。9,普通辣椒种子发芽的概率为0.83,

将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1：2的比例混合后发芽的概率为丝当丝丝。85.3%>85%,

第12页/共16页

同理对于方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1：3的比例混合后发芽的概率为

0.88x1+0.82x3=835%<85%

1+3

方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2：3的比例混合后发芽的概率为

0.91x2+0.85x3=874%>85%

2+3

故上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是①③

18.⑴y=x

(2)1

1

.(l+x)-ln(l+x)_in(l+x).

（3）因为,（工）=1±支

(1+力(l+x『

则当xw[O,e-l）时,f（x）>0,则〃工）在[O,e-1）上单调递增;

当xw（eTE）时,/'。）<0,则f（x）在（e-l,+oo）上单调递减;

则f（x）gx=/（e-l）=g，

V

又F（O）=O,且时/a）20,故0,1,

e_

欲证对任意的xe[O,*c），都有fU'M）《/（x）,

只需证对任意的xw[oT],都有

只需证对任意的xw[o,、],都有ln（x+l）—x（x+l）£0,

令Mx）=ln（x+1）—x（x+l），0,：,则（（『）=——,

则可力在0」上单调递减，则A（x）<Z（O）=O,命题得证.

e

【分析】（1）利用导数的几何意义求解•；

（2）将问题转化为InxW收（工一1）在xw[l,+co）上恒成立，令g（x）=lnx-辰（x-l）,xNl,分4=（）、k<0.

Ov攵vl、攵21四种情况讨论：

（3）先求〃力的值域，将问题转化为对任意的xw]o3],都有ln（x+l）-Mx+l）〈0,再构造函数求最值

即可.

含(]+x)Tn(l+x)j]n(l+x)

【详解】（1）/，（幻

(1+A)?(,+A)2

因为/（。）=0，/'（。）=1，所以曲线丁=/（处在（0J（。））处的切线方程为）=x；

第13页/共16页

(2)f(x)<kxt即也主义工米在xe[O,y)上恒成立，

\+x

则In(1+x)“r(x+1)在xe[0,*0]上恒成立,

则Inx<-1)在xe[1,+oo)上恒成立，

令g(x)=lnx—6(x-l),x2I,则80」_4(21_1)=_2.+丘+1,

AX

令力(X)=-2"2+Z；V+1,X>1,

若上=0,则g(x)=lnxN0在xe[l,+oo)上恒成立，不符合题意：

若/"0,则〃(x)的对称轴为x=L，

4

若上<0,则〃(力之〃(1)=—攵+1>1,则g'(x)>0,

则g(x)在[1,+«0上单调递增，则g(x)Ng(l)=O,不符合题意;

若火>0,则/7(x)在[1.+8)上单调递减，

若力⑴=-2+1>0,即04vl,则力(X)在[L+00)上存在一个零点演,

则当xe[L石)时力(x)>0,g'(x)>0,g(x)在[l,xj上单调递增.

则g(x)Ng⑴=0,不符合题意；

若力(1)=一次+1V0,即2之1,则Mx)W0,g'(x)«o在xw[l,+oo)上恒成立,

则g(x)在[1，纭0)上单调递减，则