湖北省孝感市2025-2026学年高二年级上册期末（A）数学试卷（含解析）

高二数学

一、单选题

1.直线x+y+3=0的倾斜角为（）

兀TI-2兀371

A.-B.-C.—D.—

3434

答案：D

解析：由直线x+〉+3=0的斜率攵二一1,

设直线的倾斜角为。，可得攵=tana=-1,

3

又因为a£[0,兀），所以。=彳7r.

故选：D.

2.圆/+、2=2与圆（x—2）2+（y+3）2=8的位置关系为（）

A.内切B.相交C.外切D.外离

答案：B

解析:圆f+y2=2的圆心为（0,0）,半径4为④,

（x-2）2+（y+3）2=8的圆心为（2,-3）,半径4为20，

圆心的距离为d=J（2—0）2+（—3—0）2=屈，所以亚=上-"<""+々=3及，故两个圆相交.

故选：B.

3.在等比数列｛《,｝中，若生=2吗=6,则（）

A.18B.36C.54D.60

答案：C

解析：设等比数列｛《,｝的公比为心因为&=。=3,

所以a”=6,/二%•（q，=6x32=54.

故选:C.

4.已知抛物线C:/=8x上的点P到焦点厂的距离为8,则点尸到4轴的距离为（）

A.4B.4五C.4GD.6

答案：C

【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设点。的坐标为(/，%)，根据焦半径公式求出与,从而

求出比,即可得解.

解析：抛物线C:j，=8x的焦点*2,0),准线方程为了二一2,

设点P的坐标为(%,%)，点、P到焦点F的距离等于它到准线的距离/+2,

因此升+2=8,解得%=6,因此尺=8%=48,则％=±4百，

所以点P到x轴的距离为4G.

故选：C.

5.“数列｛%｝是等差数列”是“数列｛。〃+。用｝是等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：若数列｛%｝是等差数列，可设其首项为q，公差为d，

则％=q+(〃-1)4,则。“=2《+(2〃-1”=(2q+♦)+(〃-l).2d,

即数列｛4,+4用｝是以2q+4为首项，2d为公差的等差数列；

若数列｛%+。2｝是等差数列，取凡=(一1)"，则％+%+尸0,符合要求，

但数列〃“=(-1)”不为等差数列，

故”数列｛%｝是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

6.已知点4(123),8(4,5,0),则点。(21,3)到直线48的距离为()

A.V2B.2C.V3D.3

答案：A

解析：由题知，J^=(3,3,-3),JC=(l,-l,0),

因为在-X=3—3+0=0,所以存J,祀，

囚此点C到直线AB的距离为\AC\=712+(-1)2+02=五.

故选：A.

7.已知数列｛4｝满足/+|=(-1)%“+1吗=2,则｛〃“｝的前2025项和等于()

A.1013B.10)4C.2025D.2026

答案：B

解析：由涕椎式写出前几项：q=2,。2==2,《=-1......

故该数列为周期数列，且周期为4,一个周期的取值分别为2,-1,0,1,每个周期的和为2,

前2025项包括506个完整周期及第507周期的第一项％025=2,S2025=506x2+2=1014.

故选：B.

8.在平行六面体中48C。-481Goi中，AB=AD=AA^AA.AB=AA.AD=ABAD=60M为

0G的中点，则CM与平面34"。所成角的正弦值为()

、6Ba7D.国

A.-------

336

答案：D

设,48=1,力。=$,44=云，同=归卜|c|=\,a,b,c两两夹角都是60°,

11----1

故a-B=同Bcos60°=lxlx—=—,同理b・c=c*a=—,

222

CM=c--a,A.C=a+b-c,BD=b-a,

21

因为布•西:(a^b-c\c=ac-¥bc-c2=-+--1=0,

122

A^BD=^+h-c^h-a}=ab-a2+h2-ab-bc+ac

0>

922r

所以4。为平面BBQQ的法向量,

由国•丽二（5

——7f—21-2

=a・c+b・c-c——a

2

2222222

+a-b-av+ab+b*2-bc-ac-bc+c2

V222222

设直线CM与平面。。所成角为e,

逝祠二；二后

则sin夕=cosCM,J)c|国同互

2

故选：D.

二、多选题

9.已知数列｛4｝的前〃项和为5”吗=4,2《m+5”=0,则（）

A.｛4｝为等比数列B.｛，｝为等比数列

C.｛为｝为递减数列D.｛，｝为递减数列

答案：BD

解析：由2〃向+s”=。得2（黑「j）+£=0,即5川二；2，

由*=q=4工0,及以上递推关系可知，邑工0,则*二；,

〃一I

所以｛｝是以为首项，；为公比的等比数列，则（；）

S.4S“=4x=23-”

则｛5〃｝为单调递减数列，故B、D正确;

3,4n3

当”之2时，ait=Stl-Sn_l=2--2~=-2~\而《=4不符合上式,

因此｛4｝并不是等比数列，故A错误;

囚为七=-2<%=-1，所以｛%｝不是递减数列，故C错误.

故选：BD.

1().在正方体48C。-4ZG3中，O为底面43CQ的中心，则()

A.AB//平面OG。B.力平面

C.%GJ•平面08%D.40J•平面8OG

答案:ABC

解析：设正方体力8c0—4qGA的棱长为1,以4为坐标原点，分别以48,4。,所在直线

为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

(11\

则.4(O,O,O),5(I,O,O),C(I,I,O),Z)(O,I,O)，4(O,O,I),B1(1,0,1),C,(1,1,1),A(0,1,1),。-,-,o

122J

选项A,因为48=(l,0,0),CQi=(T°,°)，

所以赤〃3,所以AB//C\D「

由,48<z平面OGA，C"u平面OGA，

所以43//平面OGA，故A正确;

---(11

选项B,

设平面CBR的一个法向量为万二(x,y,z),

由西=(0,-1,1),丽二(—1,1,0)

C4•万=0n-y+z=0

由<r+尸。'令则I-，

B.Drn=0

I.II

所以平面C8Q的一个法向量为"=（1,1,1）,

由A.On=1x—+1x—+1x（-l）=0,

122v7

所以葩J_3,直线4。不在平面C8Q1内，

故4。//平面C8Q,故B正确；

诜项C,由而=（1,1,1）,砺=（3，-；,0）两=（-g,-g,l

-----------11-----------------11

因为4G・08=-------+0=0,41・。4=-----------+1=0,

2222

所以有J.砺，而，西，

又因为。80。4=。，所以/G_L平面。故C正确；

选项D：由葩=（另,-1）,西二（0,1,1）,

则葩•配:—Uo,所以4。与8G不垂直，

所以4。与平面8QG不垂直，故D错误，

故选:ABC.

2

11.已知点大，居分别是椭圆的左、右焦点,C上存在两动点48都在x轴上方，F\A=XF\B,

直线/工与8耳相交于点尸，则（）

A.当;i=i时，囱4=亨

B.当；1=2时，|64|=加

C.闺旬+4因M的最小值为出

4

D.俨用+|尸周为定值半

答案：ACD

所以|"旬=*，故A正确；

解析：选项A：当2=1时，［4JLx轴，~^~7~I»

选项8：设4（内,必）,4（尢2，%），其中%,为均为正数，

由品=2所得（玉+1,必）=2一1,%），所以玉=2/-3且必=2为.

因为48在椭圆上，所以（2工2；3）+（2%）2=1,苧+丸=1，

解得x2=；，必=^^,|酬=21翎=2/（-1+半~故B错误；

选项C：由月7=4月万得（X+1,必）=4（工2-1，%），所以玉二4%2-2一1且M=几%.

因为48在椭圆上,所以空"J（攸-1，人力1，

~2

.„3A.—1

解得x2=一—,

区回二.%—1）2十]=",_]/+]5=Q—孝巧二&,”\M=刃7M="；+"，

由工2二^一"⑹解得，£（3-2立3+2JI）,忻出4怩8卜弓。+95卜等，当且仅

4

当4二一即4=2时取等号,

A

所以忻H十4人回的最小值为逑，故C正确;

4

选项D：因为忸胃+忸周二|尸川+|产用+取用|=2&,所以|尸同二20-|尸产卜卜用.

^FA//FB所以四一^M2^\AF]-\AF^\BF2\

因为‘〃2'所"忸用一附一2/_|呐-忸勾’解得―所+阿一

同理可得附二亚鬻麒警，所以囱+小

|力一|+产2|

2夜（|力娟+忸用）-2|四卜忸眉.一"二班一』

叫十忸闾

|函忸用

「后____________2________=巫

'4।4A-2，故D正确.

V2（l+A）何1+4）

故选：ACD.

三、填空题

12.已知空间向量。=（1,九2）石=（4-l,6,4+l）,/lwR,若。〃则4=.

答案：3

解析：因为不〃3,所以存在实数f,使得不=后，

即1="；1一1）,；1=6八2=〃；1+1）,解得/=，，力=3.

故答案为:3.

22

13.设双曲线一斗=1（〃＞0/〉（））的左、右焦点分别为大,乙，过鸟作平行于y轴的直线交c于

ab~

4A两点，若2M8|=3忻4，则C的离心率为.

答案：＞/7

解析:因为2»回=3闺卜,所以41gH=3阳山，

又因为|/6|一|4闾=2々,所以＞4闾=6々，耳|=8a,

在△力”行中，由勾股定理得|力用2=।力用2+巧村2即的）2=（6〃）2+（2c）2,

化简得/=7々2,所以。的离心率e=£=J7.

a

故答案为：J7.

14.某地开展“退耕还林”生态工程.第一年末，某片林区的木材蓄积量为10万立方米，从第二年开始，每

年末的蓄枳量变化由自然生长和人工补种共同决定：自然生长使得蓄枳量变为上•年末的1.1倍，同时人

工补种会额外增加5x1.1°T万立方米（其中〃表示年份）.设第〃年末的木材蓄积量为勺万立方米，则

%=万立方米，该林区前〃年末的木材总蓄积量S”=q+/+…+%=万立方米.

答案：①.（5〃+5）1.广②.（50〃-450）x1.1"+450

解析:木材蓄积量数列｛《,｝满足4=10,

当2时，%=

则作毋+得

，，是以詈为首项,喋为公差的等差数列，

所以数列〈

a50/

所以数列《备的通项公式为:n、

i.rir7

所以g=（5〃+5）l.l"T,

当〃=1时，满足q=（5xl+5）xl/i=10,

所以勺=（5〃+5）1.广；

由S”=10xl.l°+15xl.r+20xL12+―+（5〃+5）l『，①

则1.1S”=10x11+15xl.『+20x1.『+…+（5〃+5）1.1"，②

①一②得：-0.电=10+5x1.1+5x1.「+5x1.1、…+5x1.尸-（5〃+5）1.1"

5XL1X（1-1.L）

0-0.电=10+-------------^-（5/?+5）l.ln

1—1.1

=—0.电=—45+（45-5〃）x1.1”,

所以S”=（50〃—450）x1.1"+450,

故答案为：4=（5〃+5）Ll'i；S”=（50〃—450）xlT+450.

四、解答题

15.已知圆C经过点N（2,6）,3（5,3）,月.圆心在直线/:21一＞一3二0上

（1）求圆C的标准方程;

（2）求过点"（一L0）且与圆。相切的直线方程.

答案：见解析

解析:

DE

（1）设圆c的一般方程为/+/+6+砂+7r=o,圆心为

22

-3=0

I2JI2

则由题意可得，b24-62+2Z）+6E+F=0,

52+32+5D+3E+F=0

解得Z）=-8,E=-10,F=36,

所以圆C的一般方程为工2+/一以一］0歹+36=（）,

故圆C的标准方程为（x-4『+（尸5『=5；

（2）当直线斜率不存在时，方程为工=-1,

圆心到该直线的距离为5,不等于半径石，故不满足；

当直线斜率存在时，设方程为y=%（x+l）,即"-y+攵=0,

|4〃-5+〃|I—

圆心到直线的距离等于半径，BP1,1=V5,

平方化简得2公-54+2=0,解得％=2或攵=

2

因此过点〃（一1,0）且与圆C相切的直线方程为x-2y+l=0或2x—y+2=0.

16.已知等差数列｛/｝的前〃项和为S.，且%+%=19,邑+55=47.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵记4=」一，数列也｝的前〃项和为如求证：Tn<\.

a“a26

答案：见解析

解析：

U）设等差数列｛%｝的首项为q,公差为4,

由题意得见+6=2q+5"=19,①

S2+S5=1a｝+11^/=47,②

联立①②解得：q=2,d=3,

所以｛4｝的通项公式凡=2+(/?-1)X3=3/7-1.

,1♦,

（2）因为4=-------，氏=3〃-1,

ana）l+}（3〃一1乂3〃+2）313〃-13/74-2

T,,.1「°nnn（iiYIici、

3LI25）（58；U/7-13"+2〃3（23/7+2J

因为」一＞0,所以工一——

3〃+223〃+22

即证得二］

3V23〃+2J6

17,已知四棱锥尸一/BC。的底面48CQ为菱形，且N45C=60。,尸月J_底面45cO,P4=34B,£为棱

尸力上一点，PE=2E4,F为棱PD的中点.

C

（1）证明：CF〃平面BDE；

（2）求平面CE/7与平面3。七夹角的余弦值.

答案：见解析

解析：

（1）取4c中点为O,取PE中点为M,连接/C，连接连接力下交E。于点。，连接。。,

因为点尸为尸。中点，点必为庄中点，所以M/〃EQ,

因为£为4W的中点，所以。为月尸的中点，

又因为。为4c的中点，

所以O0〃C尸，乂OQu平面BDE,CFU平面BDE,故C/〃平面BOE.

（2）以4c的中点。为原点，以。。为x轴，。。为V轴,

过。且垂直底面45co的直线为z轴，建立空间直角坐标系

设.43=1,则产力=3,菱形48CQ中，Z.ABC=60°,所以/。=1,8。二6，

1产；,0,3

则，4--0,,o|,cR,O,O1,Q[o,go],

2U2)2

又《一1加卜卜坐；’

2

所以丽=(o,Ji,o),而=CE=(-1,O,1),CF=

42#24一"彳'5'

设平面BDE的法向量为勺=（玉,）”4）,

'岛=0

n.•BD-0

则〈，一，即

1Gn

n.BE=0―万演+5-%+4=0

(I

取工i=2,得〃[=(2,0,1),

设平面CM的法向最为元=（乙,必,z?）,

-x+z=0

n,-CE=022

则,二一，即《3劣3八

n2-CF=072+彳％+产=0

取々=1得〃2=(1,-V3,1),

设平面BDE与平面。£尸的夹角为6,

々•〃233

则cos。=

丽一7^一丁

3

故平面BDE与平面CEF夹角的余弦值为一.

5

18.已知少（1,0）为抛物线C：/=23（〃〉0）的焦点，过点。（-3,0）的直线/与抛物线。交于力，B两点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若次=3丽，求直线/的方程；

（3）若为|/可和忸打|的等比中项,求M回.

答案：见解析

解析：

（1）因为抛物线C:=2*（〃>0）的焦点为F（l,0）,

所以5=1,解得p=2,

故抛物线。的方程为/=4人；

（2）设直线/的方程为工=a-3,代入抛物线C的方程得：/-4/>+12=0,

设,4（西,必）,5（工2，，2），由韦达定理得必+丁2=4"跖=1理

由厉=3丽，得必=38，

联立必=3%与%+8=4/得凹=3八歹2=1，

代入乂8=12,得3*=12,解入1=±2,

所以直线/的方程为x+2y+3=0或x—2y+3=0：

（3）由抛物线定义得M尸|=央+1,忸尸|="+1,

所以M可•忸日=（玉+1）（々+1）=玉々+玉+42+1，

玉十%二?（必十、2）-6二4『-6,

中2=（%-3）（仇-3）=*必％-3（乂+%）+9=9,

故»目•忸丹=9+（4/-6）+1=4r+4,

|明=7^］入/（7+匕）2-4=^/^777（402-4xl2=4J（l+»*-3）

由|力回2=|/斗忸日得16（1+“）,2-3）=4*+4,

11

解得r=」,

4

所以|4四=4^（l+r2）（r2-3）=历.

19.已知椭圆。：5+与=1（4>6>0）的右顶点为4（2,0）,且离心率为由.

a~b~2

（1）求椭圆。的标准方程；

<2）若过定点。（5,0