八年级（下）数学 第1章 三角形的证明及其应用 基础卷（北师大版）

第一章三角形的证明及其应用基础卷（学生版）

建议用时：60分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.若等腰三角形的顶角等于80。，则它的底角等于（）

A.80°B.50°C.60°D.80。或50°

2.若一个多边形的每个外角等于40。，则这个多边形的边数为（）

A.8B.9C.10D.12

3.若出口C的三边长分别是〃、6、c,满足下列条件的限48。不是直角三角形的是（）

A.a=\yb=2,c=x/3B.a=l,b=2,c=\/5

C.a:b:c=3:4:5D.NX:N氏NC=3:4:5

4.如图，在dM4c中，/IB=AC,力。是8C边上的中线，若/4IO=30。，则/从IC的度数为（）

5.如图，AB"DE,GF工BC于点、F,若《DE=32。,则NFG8=()

6.将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则N1的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

7.如图，在山"C中，力C的垂直平分线交8c于点。，交4C于点£连接力。.若e48。的周长是

13cm,AE=2cm,则△月8。的周长是（）

C.11cmD.12cm

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（学生版）

8.如图，点£在—《的内部，点C,。分别在。力，上，且0C=0Q,若只添加一个条件即可

证明△OEC和△。口）全等，那么这个条件不•可•以•是•（）

A.OE^^ZAOBB.NOCE=NODE=90。

C.4OEC=NOEDD.CE=DE

9.如图，平分NBC。且CE_L8Q于点ND4B=NDB4,AC=22f△BC。的周长为32,则8。的

长为（）

C.12D.16

10.如图，在出/18C和9。£中，ZBAC=ZDAE=90Q,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一1条

直线上，连接6。，BE.以下四个结论：①BD=CE；②乙4cE+/O8C=45。；@BD1CE；

@zlBAE±z：DAC=18（T.其中正确的为（）

c.①②③D.①②③④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在&"C中，4=36。，Z5=48°,6是△力。4的角平分线，则4c。的度数是

12.直角三角形斜边长是10,则该三角形中60。的角所对的直角边长是.

13.如图，在由力8c中，/。垂直平分〃。，在A4C户中，C£垂直平分,亦，若3-6,CT-5,则&.45C

的周长为.

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A

14.如图，在3x3的正方形网格中，4B是两个格点，连接力8,在网格中找到一个格点C,使得出

是以.48为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有个.

15.如图，乙%C=30°,力。平分DEJ.AB于E,DF1DE,已知力/=4,则/)£=

16.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形。"C是长方形，点4C的坐标分别为410,0),

C(Q4),点。是3的中点，点P在3。上运动，当AODP是腰长为5的等腰三角形时，点。的坐标

20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每

题12分；共9小题，共72分)

17.如图.在Rt448C和中，NB=/D=90°•AB=AD.

(1)求证：RtA^BC^RtA/lDC；

(2)若乙%c=60。，求/力CO的度数.

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18.如图，在出/出C中，边48、力。的垂直平分线分别交8c于。、E.

⑴若8c=10,求的周长；

(2)若N54C=128。,求ND4E的度数.

19.如图，中，〃。的垂直平分线分别交48、〃。于点。、E,且BO、/!。7/。?.

(1)求证：4=90。；

(2)若6c2=56,40:80=3:4,求4c的长.

20.如图，在由48C中，BD,CQ分别是/"C,/力圆的外角平分线,

(1)若48c=50。，4C6=40。，那么

(2)若4=a,求/。的度数(用含。的式子表示).

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21.如图，在易出C中，4=120。，AB=AC=4f。是8c的中点.动点八。从点力出发，以每秒1

个单位长度的速度运动到各自的终点8、终点C.连接尸。、QP和设点2的运动时间为，(s).

(1)求证：出"。是等腰三角形；

(2)若△5OP是等腰三角形，直接写出入1PD的大小.

22.如图，dM8c中，/川我:的角平分线8。和力C边的中垂线。£交于点。，。河_1_历1的延长线于点

M,DN工BC于点、N.

M

(1)求证：AM=CN；

⑵若8C=5,AB=3,求Z?M.

23.已知四边形(其中)的四个内角N4NSNC/。的度数之比为1：1：0.6:1

(1)如图1,求出四个内角的度数；

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(2)如图2,将四边形44。。的NC沿跖折叠，点C落在四边形内点C的位置，请求出/I与N2的和;

(3)如图3,将四边形”沿所折叠，点8刚好落在4。边上/T的位置，B匕'交CD于“,连接£7/,

若［E=DB',试判断48石”的形状,并加以证明.

图1图3

24.如图，在RtA/BC中，ZC=90°,J5=10cm,AC=6cm,动点尸从点4出发沿射线BC以2cm/s的

速度运动，设运动时间为/秒.

备用图

(1)4。=cm；

⑵若点P运动到8C的中点时，求/的值；

(3)当“3P为直角二角形时.求的值：

(4)当“初为等腰三角形时，直接写出，的值.

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25.已知：在自18C中，AB=AC,点。，点£分别在8C,4。上，连接40,BE,交于点/，/BFD=60。，

/ABE=ZDAC.

图1图2图3

(1)如图1,证明cfe/BC为等边三角形：

(2)如图2,过点B作BH工/D于点H,求证：AD=EF+2FH；

7

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作CG〃B月交力。延长线于点G,若CG=4,HF=-,求4G的

长.

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

建议用时：60分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.若等腰三角形的顶角等于80。，则它的底角等于（）

A.80°B.50°C.60°D.80°或50°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关

键；

根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180度即可求出答案.

【详解】•・•等腰三角形两底角相等，

设底角为X，则顶角为80。，

80c+x+x=180°,

即80°+2%=180°,

2x=100°,

Ax=50°.

故底用为50。.

故选：B.

2.若一个多边形的每个外角等于40。，则这个多边形的边数为（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本题主要考查了多边形外角和定理.

根据多边形的外角和定理，即可求解.

【详解】解：•.•多边形的外角和等于360。,每个外角为40。,

，边数〃=360°+40°=9.

故选：B.

3.若色Z8C的二边长分别是心〃、满足下列条件的正月5c不是直角二角形的是（）

A.a=l,b=2,c=\/5B.。=1,b=2,c=\[5

C.a:b;c=3:4:5D.Z.A:Z.B',Z.C=3:4:5

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和足理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题

关键.根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理逐项判断即可得.

【详解】解：A、，/«=!,6=2,c=也，

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

tz2-FC2=1~+)=4=〃2,

・・・自加。是直角三角形，此项不符合题意；

B、*.*«=1,6=2,c=M,

Aa2^-b2=12+22=5=c2r

，金必。是直角三角形，此项不符合题意；

C、'Ja:b:c=3:4:5,

.••设“=3A(A>0),则b=4〃,c=5A,

，/+从=%『+(4々1=25k2=c2,

・,・dM&?是直角三角形，此项不符合题意；

D、；N4:N4:NC=3:4:5,

・••最大角。c4r7甯80=75肮90,

7«57十4+3

...奴友］不是直角三力形，此项符合题意；

故选：D.

4.如图，在色/BC中，AB=ACf/。是3C边上的中线，若/切。=30。，则/历1C的度数为()

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据力8=/C,力。是8C边上的中线，得

ZCAD=ZBAD=3(F,故Z.BAC=ACAD+/BAD=60°,即可作答.

【详解】解：・・・48=4C,力。是8c边上的中线，

/.NCAD=/BAD=3(P,

即ZBAC=NCAD+NBAD=30。+30°=60°,

故选：C.

5.如图，AB//DEfGF工BC于点F,若/CDE=32。,则NFG8=()

AGB

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A.32°B.48。C.58。D.68°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出/。七=/尸46=3下,再

利用三角形内角和定理即可求得NFGB的值.

【详解】解：VAB//DE.ZCDE=32。，

：.4CDE=tFBG=3N,

又,；GF工BC,

/.NGFB=90。,

由三4］形内角和定理可知：4FGB=1800-NGFB-NFBG=58。.

故选：C.

6.将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则/1的度数为（）

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键.

首先根据三角板的度数，得到对应角的度数，再利用外角定理求得N1的度数即可.

【详解】解:如解图,设4c与BQ交于点E,

根据题意可知，4=90。，48C=45。，NC8Q=30。，

ZABE=ZABC-4CBD=45°-30°=15°,

在aAEB中，Zl=ZJ+ZJ^£=90o+15o=105°,

故选：C.

7.如图，在出45。中，4c的垂直平分线交AC于点。，交4c于点E,连接4Q.若长48。的周长是

13cm,J£=2cm,则ZX"。的周长是（）

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A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】A

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距

离相等.

先根据垂直平分线的性质得出==，再根据包"C的周长是13cm,力E=2cm即可求解.

【详解】解：・・・8。是4C的垂直平分线，

AE=CE,AD^CD,

AE=2cm,

/.NC=2、E=4cm,

・.,dMBC的周长是13cm,

...AB+BC=\3-4=9（cm）,

△/B力的周长=/8+4。+力。=45+4。+。。=/8+8。=9cm.

故选：A.

8.如图，点E在/彳08的内部，点C,。分别在04,。8上，且OC=OZ）,若只添加一个条件即可

证明aOEC和AOEO全等，那么这个条件不•可•以•是•（）

A.OE平分/ZO8B.NOCE=NODE=90。

C.NOEC=/OEDD.CE=DE

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：依题意.OC=OD,OE=OE

A.OE平分/408则NEOC=NE。。，根据SAS可以证明△O£C和△OE。全等

B.NOCE=NODE=90。,根据HL可以证明△OEC和AOE。全等

C.NOEC=NOED,SSA不能证明△OEC和△。后。全等

D.CE=DE,根据SSS可以证明△OEC和△OE。全等

故选：C.

9.如图，C£平分/〃C7）旦。于点K,NDAR=NDB4,JC-22,△AC。的周长为32,贝U4。的

长为（）

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C.12D.16

【答案】C

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系.

由已知得AC=OC,AD=BD,则为C=OB+QC=22,所以8c=10,则。C=10,即可求得以)=12.

【详解】ICE平分/8CO且CE_L8。于点E,

...NBCE=NDCE=-/BCD/BEC=NDEC=90

2

•:CE=CE,

AA^CE^ADC£(ASA),

:.BC=DC,

ZDAB=ZABD,

/.AD=BD,

公

,/AC=AD+DC=DB+DC=22fBCD的周长=OC+O4+C8=32,

3c=32-22=10,

/.£>C=10,

.・.80=22-10=12,

故选：C.

10.如图，在由48c和db/lQE中，NB4C=ND4E=90°,AB-AC,AD-AE,C,D,E三点在同一■条

直线上，连接BQ,BE.以下四个结论：①BD=CE；®ZACE+ZDBC=450；③BDLCE；

@ZBAE+ZDAC=18（f.其中正确的为（）

C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全

等三用形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三用形的性质.

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由44=忙，AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等，利用S4S得出△44。与△4CE全等，由全等

三角形的对应边相等得到①结论正确；由△力40与△4CE全等，得至I」/力〃Q=N/1CE,由等

腰直洵三角形的性质得到//8。+/。5。=45。，等量代换得到4CE+ZMC=45。，②结论正确；由②

结论再加上//C8等于90。，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到8OLCE,③结论正确；

④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案.

【详解】解：®VZBz4C=ZDJE=90°,

NBAC+NCAD=NDAE+NCAD,B|JZBAD=ZCAE,

在△14。和△4CE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

.・."BD2ACE(SAS),

：,BD=CE,

故①正确.

②・・•&ABC为等腰直角三角形，

/.ZABC=ZACB=45°,

•；“BD*ACE,

：.4BD=/ACE,

：./ABC=ZABD+NO8c=ZJC£+ZDBC=45°,

故②工确.

③由②知，ZACE+ZDBC=45°f

：.ZDBC+/DCB=NDBC+ZJCE+AACB=90°,

,BDA.CE,

故③壬确.

@V/B4C=ND4E=9Q°,

：.^BAE+ZDAC=36(r-^BAC-^DAE=18(P,

故④正确.

故①②③④都正确.

故选：D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.如图，在亩"C中，4-36。，N4-48。，C。是的角平分线，贝UN4c。的度数是.

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c

【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义.先根据三角形内角和定理求出的

度数，再利用角平分线的定义求出40的度数即可解答.

【详解】解：•••在dM8c中，4=36。，4=48。，

AZACB=180°-36°-48'=96’,

••・CQ是的角平分线，

/.ZACD=-ZACB=-x96z=48。

22

故答案为：48"

12.直角三角形斜边长是10,则该三角形中60。的角所对的直角边长是.

【答案】56

【分析】本题考查了含30。的直角三角形，勾股定理，熟知30。所对的直角边是斜边的一半是解题的

关键.

先求得30。所对的直角边，再利用勾股定理即可.

【详解】解：在直角三角形中，若一个角为6()。，则另一个锐角为30。，

所以30。的角所对的直角边长是5,

根据勾股定理可得60。的角所对的直角边长是标了=5右，

故答案为：5上.

13.如图，在&中，力。垂直平分8C,在△4C尸中，CE垂直平分力户，若6=6,8=5,则由45C

的周长为.

【答案】22

【分析】此题考查了垂直平分线的性质，掌握知识点是解题的关键.

根据垂直平分线的性质得到4C=Cr=6,AB=AC=6,CD=BD=5,进而求解即可.

【详解】解：・・・C£垂直平分/，CF=6

/.AC=CF=6

二4。垂直平分"，

AAB=AC=6fCD=BD=5

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

(SABC的周长为月C+X4+C4=4C+/14+CQ+4O=6+6+5+5=22.

故答案为：22.

14.如图，在3x3的正方形网格中，4,8是两个格点，连接力8,在网格中找到一个格点C,使得出力8c

是以.48为腰的等腰三角形，则满足条件的格点。有个.

【答案】5

【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再

利用数学知识来求解.数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

根据网格结构，分别以力、3为圆心，48为半径作圆与网格线的交点即为点G即可得到点。的

个数.

【详解】解：如图，以他为等腰出"C其中的一条腰时，符合条件的。点有5个.

15.如图，N84C=30°,力。平分N8/1C,DEJ.4B于E,DF工DE,已知力产=4,则。七=

【答案】2

【分析】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三带形中30。锐角所对直角边等于斜边的一

半，作辅助线是关键.

由。E_L4氏DFJ.DE得DF//AB、由角平分线的定义和平行线的性质易得，

NDFC=NBAC=30°,作。G14C于G,根据角平分线的性质可得，DG=DE,在氏△")G中，易得

DG=3DF=2,即可求解.

【详解】解：作。G_L4C于G,

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

♦；DE工AB,DF1.DE

:.DF〃AB,

NADF=NBAD,4DFC=Z.BAC=3。，

NADF=ACAD,

DF=AF,

,:AF=4,

DF=AF=4,

・・・在取△OG中，DG=；DF=2,

/.DE=2,

故答案为：2.

16.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形。力AC是长方形，点4c的坐标分别为“10.0),

C（0,4）,点。是04的中点，点P在8C上运动，当AOQP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标

【答案】（2,4）或（3,4）或（8,4）

【分析】本题考直了等腰二角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键.

根据题意分为三种情况：OP=0D或DP'=DP"=0D或OP=PD,进行作图求解即可.

【详解】解：①以。为圆心，以5为半径画弧交8C于夕点，此时8=。。=5,如图,

在R3OPC中，0C=4,0P=5,

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

PC=yl（）P2-OC2=3，

・・・/的坐标是（3,4）；

②以。为圆心，以5为半径画弧交BC于P和P〃点,此时/=0。=5,如图,过P作PN1CM

于N,过P"作P"M10力于

由作图可知四边形CPNO和四边形BP"MA为长方形，

：・CP=ON,BP"=MA,PW=OC,P"M=B4

在R3PWQ中，设CP=x,^\DN=OD-ON=5-x,P'N=4,DP=5,

：.42+（5-X）2=52,

解得32,

则P的坐标是（2,4）；

设8尸”=〃，则DW=/lO-4W=5-a,P"M=4,DP=S,

在中，（5-«）2+42=52,

解得。=2,

:.BP"=2,CP*=10-2=8,

即P”的坐标是（8,4）；

③假设则由尸点向。。边作垂线，交点为。，如图,

则有PQ2+0。？=尸，

0P=PD=5=0D,

.••此时的△0尸。为等边三角形，

・・・尸。=4,。。=；。。=2.5,尸。=5,

代入叱+纱？=附，

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

得4?+2.5?0S,

.••排除此种可能.

综上所述，点P的坐标为Q,4)或(3,4)或为4).

故答案为:(2,4)或(3,4)或(8,4).

三、解答题(第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每

题12分；共9小题，共72分)

17.如图，在。和Rt△力OC中，NB=/D=90。，AB=AD.

(1)求证：Rt^ABC^Rt^ADC；

(2)若N8/C=60。，求乙4c。的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)Z/1CD=3(F

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)根据HL的判定方法进行证明即可；

(2)由(1)知,根据全等三角形的性质证得4c5=ZJCZ),根据余角的性质求

解的度数即可.

【详解】(1)解：在Rt/MC和Rt“DC中,

AC=AC

AB=AD

RtAJ5C^RtAJZ)C(HL)；

(2)解：由(1)RtA/15C^RtA^Z)C.

:.ZACB=NACD,

•/ZB=90°,N8.4C=60。

.­.Z^CB=90o-Z5/iC=90°-60°=30c,

AACD=ZACH=300.

18.如图，在出力BC中，边AB、的垂直平分线分别交5c于。、E.

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(1)若8c=10,求△力。石的周长；

(2)若N8/C=128。,求ND/E的度数.

【答案】⑴10

(2)76°

【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意:

线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.

(1)根据线段垂直平分线性质得出力。=&)，=,求出政的周长=8C,即可得出答案；

(2)由/&1C=128。，即可得4+NC=52°,又由AD=BD,CE=4E,即可求得/。就的度数.

【详解】(1)解：在出"C中，边彳仄力。的垂直平分线分别交8c于。、E,

/.AD=BD,CE=AE,

8c=10,

・・・玛。七的周长为

AD+DE+EA

=BD+DE+EC

=4C=1()；

(2)•.・N84C=128。，

Z5+ZC=180°-Z^C=52°,

AD=BD,CE=AE,

ABAD=ZB,ZEAC=NC,

ZBAD+ZEAC=52°f

：./DAE=NBAC-(/BAD+^EAC)=128。-52°=76°.

19.如图，“8C中，8c的垂直平分线。月分别交力4、BC于点D、E,且4h-4方=AC?.

(1)求证：4=90。；

⑵若8。2=56,,4。:4。一3:4,求4C的长.

【答案】(1)见解析

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

(2)/lC=V7

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键

是作埔助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解.

（1）连接CO，根据线段垂直平分线的性质可知根据才=力。2可得。。2=4。2+力。2,

根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立；

222

(2)设力。=3々，可得CD=BD=4a,^CD-DA=AC,可得：AB=7af4C=J7a,根据勾股定理

可得关于a的方程56=（74+（后犷，解方程求出。的值，即可得到4c的值.

【详解】（1）证明：如下图所示，连接6,

•••8。的垂直平分线。£分别交/8、BC于点D、E,

BD,—DA2=AC2,

:.CD2-DA2=AC2,

：.CD2=AD2+AC\

••・"C。是直角三角形，且乙4=90。；

(2)解：•••802=56,4D:BD=3:4,

设月。=3“，贝ljCD=BD=4<i,

：.AC=>JCD2-AD2=yfla，

/.AB=AD+BD=4a+3。=7”，

在Rt>8c中，BC?=AB?+AC2,

即56=(7ay+("a)2,

-'-a=1(负值舍夫)，

：.AC=y/l.

20.如图，在包48c中，BD,CZ)分别是/48C,/力。8的外角平分线,

D

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

⑴若48C=50。，46=40。，那么/。=.

⑵若4=a,求的度数(用含a的式子表示).

【答案】(1)45。

⑵90。j

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义.

⑴利用平角的定义及角平分线的性质可得出Nl=N2=g"8c=65。，N3=N4=；N8CE=70°,再通过

三角形内角和定理求得结果；

(2)利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出力。的

表达式.

【详解】(1)解：•・•480=50。，4c8=40。，

ZFBC=1800-=130°,=180°-Z/IC^=140°,

又,：BD,CO分别是N/4C,//1C8的外角平分线，

.・.Z1=Z2=-ZF5C=65°,Z3=Z4=-Z5CE=70°,

22

...Z£)=180°-Z2-Z3=45°,

故答案为：45。.

(2)解:VZ4=a,

ZABC+^ACB=-af

XVZ1=Z2,N3=/4,Z2+Z3=180°-ZD,

/.Zl+Z4=180°-ZD,

ZJfiC=1800-Zl-Z2,^JC^=180°-Z3-Z4,

...1800-Zi-Z2+l80°-Z3-Z4=180c-a,

.・.360°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=180°-a,

...3600-2(180°-ZD)=180°-a,即ZZ)=90°-1a.

21.如图，在e"C中，4=120。，AB=AC=4,。是8C的中点.动点P、。从点力出发，以每秒1

个单位长度的速度运动到各自的终点8、终点C.连接产。、OP和。。.设点产的运动时间为，(s).

(1)求证：出。尸。是等腰三角形；

(2)若△8。尸是等腰三角形，直接写出4P。的大小.

【答案】(1)见解析

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

（2）105。或60。

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定

与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先结合等边对等角得4=再由线段的中点得=即可证明力产。包CQD（SAS）,故

PD=QD,即可作答.

（2）先得出405=90。，结合AADP是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边

对等用进行计算，即可作答.

【详解】（1）解：・.F8=4C=4,

NB=ZC

是8C的中点.

BD=CD

・・•动点/＞、。从点力出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点“、终点C.

AAP^AQ,

贝IjAB-AP=AC-AQ,

即BP=CQ,

.・.△8PZ）氏C°D（SAS）,

・•.PD=QD,

・・・4PQ是等腰三角形；

（2）解：连接X。，

VAB=AC=4f。是8c的中点.

AD1BC,

即408=90。,

A

・・・人=〃」8。。-12。。=30。，

2

依题意，当8P=8。时,

贝IjNBPD=NBDP=18QO-30°=79

/.乙4PD-180°-/BPD-180°-75°-105°；

依题意，当82=尸。时,

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第一章三角形的证明及其应用基础卷（解析版）

则4。尸=/8=30°

，^APD=^BDP+Zi?=60°；

依题意，当BD=PD时,

则/§P。=/8=30。

，Z.BDP=180°-30°-30°=120°>90°（舍去）;

综上：△8。尸是等腰三角形，则N/PQ=105。或60。.

22.如图，自18C中，/月的角平分线8Q和月。边的中垂线。£交于点。，"的延长线于点

M,£W_L6c于点N.

（2）若BC=5,AB=3,求8A7・

【答案】（1）证明见解析

（2）8"4

【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出

合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键.

（1）连接力。，CD,由DW=DV,/M=NDNC=90。，可得DM=DN,ZM=ZDNC=90°f由。E是

力。的中垂线可得力。=。。，即可证R匕»M/gRaQCN（HL）,得4W=CN；

（2）设8N=x,则力A/=CN=5—x,氏H=8—x,易证得8N=8M=8-x,由BN+CN=BC,

代入列方程即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接力。，CD,

:・DM=DN,NM=NDNC=90。，

VDE是XC的中垂线,

AD=CD,

在Rt^DAM和Rt^DCN中，

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

JAD=CD

\DM=DN'

...R3rMM之RSOCW(HL),

.•・AM=CN；

(2)解：设BN=x,贝=CN=BC-BN=5—x,

...=AB+AM=3+(5-x)=3-xf

♦；BD平分N4BC,DM1AB,DN1.BC,

：.DM=DN,NM=/DNB=90°,/MBD=NNBD,

在AMB。和ANBO中，

4M=/DNB

<DM=DN,

NMBD=NNBD

/.△力"OWANSO(ASA),

Z.BN=BM=8-x,

x=8-x,

解得工=4,即3M=4.

23.已知四边形48CO(其中/人月。)的四个内角/4NSNC,/。的度数之比为1:1:0.6:1.

(1)如图1,求出四个内角的度数；

(2汝口图2,将四边形力次》的沿所折叠，点C落在四边形内点C的位置，请求出/I与N2的和;

(3)如图3,将四边形沿打折叠，点8刚好落在力。边上"的位置，BC交CD于H,连接£〃,

若AE=DB',试判断△89/的形状，并加以证明.

【答案】⑴4=100°,/8=100。"=60。,/。=100°

(2)120°

(3)△夕E〃是等腰三角形；见解析

【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质与判定、多边形内角和以及比例：

(1)设4=x,根据度数之比设/8=x,/C=0.6x,NO=x，根据内角和列方程求解即可；

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

(2)由折叠性质得至l」NC'EF=NCE£NC7^=NCM,NC=/C=60。，根据角度之间的关系列出等式，

结合三角形内角和得出/I与N2的和；

(3)由折叠的性质得到=4=100。,证明即可判断.

【详解】(1)解：设4=x,

♦:NA,NB,NC/D的度数之比为1:1:0.6:1,

•/Z^=x,ZC=0.6x,ZD=x.

根据四边形内角和为360。，可得方程：

x+x+0.6x+x=360

解得：A=100,

・.・ZJ=100°,ZB=100°,ZC=60°,Z£>=100°.

(2)解：由折叠性质可知：NCEF=ZCEF,/C'FE=ZCFE,/C=/C'=60。，

*：Z1+NCEF+ACEF=180°；N2+ACFE+ZCFE=180°

Z1+Z2+(ZCEF+ZCEF)+(ZCFE+ZCFE)=360°,

又,?"EF+ZCEF+ACFE+ZCFE=360°-ZC-ZC=360°-60°-60°=240°,

AZl+Z2=360°-240°=120°.

(3)解：是等腰三角形.

证明：由折叠性质可知：NEB'H=4=100。，

V4=100。,

/.乙4EB'十乙4B'E=80°；乙ABE'+WDB'H=80°

即ZAEB'=NDB，H,

在△力BE和A。""中，

NAEB，=NDB'H

<Z/l=ZD=100°,

AE=DB'

，B'E=HB',

因此是等腰三角形.

24.如图，在RtA48C中，ZC=90°,48=10cm,JC=6cm,动点尸从点8出发沿射线BC以2cm/s的

速度运动，设运动时间为/秒.

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第一章三角形的证明及其应用基础卷(解析版)

(1)8C=cm；

(2)若点尸运动到8c的中点时，求/的值；

(3)当“8P为直角三角形时，求！的值；

(4)当18P为等腰三角形时，直接写出/的值.

【答案】⑴8

(2)2

(3)，的值为4或停

(4)，的值为5或8或二

O

【分析】本题考查勾股定理、等腰三如形的性质，熟练掌握勾股定理、分类讨论的思想方法的运用

是解题的关键.

(1)根据勾股定理求解即可；

(2)由(1)知5c=8cm,点尸运动到8c的中点时,得到8尸的长度,进而求出，的值;

(3)分两种情况讨论：①当5为直角时，点。与点。重合和②当/加8为直角时，分别求出此

时的/的值即可；

(4)分三种情况讨论：①当4B=BP、②48=力0和③8P=力〃时，分别求出8尸的长度，进而求出/

的值.

【详解】(1)解：在中,J5=10cm,AC=6cm,

由勾股定理得8C=J10、62=8cm,

故答案为：8；

(2)解：由(1)知3C=8cm,点尸运动到8。的中