2026北师大版九年级数学上册第三章《图形的相似》教案

第三章图形的相似

本章是初中几何图形变换的核心内容，承接七年级全等三角形、八年级图形平移与缩放的基

础，是全等图形的延伸与拓展，也是后续学习解直角三角形、圆的相关计算、投影与视图的重要

铺垫。本章核心围绕“相似”的本质一一形状相同、大小不同展开，依次学习相似多边形、三角

形相似的判定、判定定理证明、相似三角形性质、图形位似，搭配实践测量活动与章节复习，层

层递进构建相似儿何知识体系。

本章教学注重数形结合、直观感知、推理证明、实践应用四大核心素养落地，通过生活实景

抽象几何概念，通过动手操作探究判定方法，通过逻辑推理完成定理证明，通过实际测量解决生

活问题，帮助学生建立图形缩放的空间观念，掌握几何类比、归纳、推理的数学思想，提升几何

解题与实际应用能力。

1相似多边形

【教材分析】

本节课是本章的起始课，是相似图形的基础概念课。教材从生活中形状相同、大小不同的实

物图形入手，抽象出相似图形、相似多边形的定义，重点讲解相似多边形的核心特征：对应角相

等、对应边成比例，同时引入相似比的概念。本节课的概念是后续三角形相似、位似图形学习的

基石，承担着从直观图形感知到严谨几何定义过渡的作用，为整章学习奠定概念基础。

【学情分析】

九年级学生已经掌握全等图形、全等多边形的概念，知道全等图形对应角相等、对应边相等,

具备一定的图形观察、对比分析能力。但学生首次接触“形状相同、大小不同”的图形关系，对

“对应边成比例、对应角相等”的双重判定条件理解不透彻，容易混淆相似与全等的区别，对相

似比的计算和对应关系的判断容易出错，需要通过实景案例和实操对比突破难点。

【教学目标】

1.知识与技能：理解相似图形、相似多边形的定义；掌握相似多边形的两大核心性质（对应

角相等、对应边成比例）；能准确识别相似多边形的对应边、对应角，会计算相似多边形的相似比。

2.数学思考：通过观察生活相似图形、对比全等与相似图形，经历概念抽象、归纳总结的过

程，建立图形相似的空间观念，培养类比推理与几何抽象思维。

3.问题解决：能利用相似多边形的性质解决简单的边长、角度计算问题，能判断两个多边形

是否相似，初步学会用相似知识分析生活中的图形缩放问题。

4.情感态度：感受生活中相似图形的广泛应用，体会几何图形的对称美、缩放美，激发学生

探究几何图形规律的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。

【教学重点】

L相似多边形的定义和核心性质：对应角相等，对应边成比例。

2.相似多边形对应边、对应角的识别及相似比的计算。

【教学难点】

准确理解笳似多边形的判定条件，区分相似多边形与全等多边形的联系与区别，避免漏判、

错判多边形相似。

【教学准备】

多媒体课件（生活相似图形：国旗大小图案、缩放照片、不同尺寸地砖）、直尺、量角器、大

小不同的正方形、长方形、正五边形教具。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设生活情境：展示手机原图、放大照片、缩小照片，大小不同的中国国旗图片、大小不同

的正方形瓷砖图片C提问学生：这些图形有什么共同特点？和我们学过的全等图形有什么不同？

引导学生观察得出：图形形状完全相同，大小不一样，进而引出本节课课题一一相似多边形。

环节一：感知相似图形，初步建立概念

1

1.教师活动：展示多组生活图形（相似三角形、相似矩形、相似正多边形、形状不同的不规

则四边形），引导学生分组观察对比，提问：什么样的图形可以称为形状相同的图形？

2.学生活动：小组观察讨论，对比图形的边角特征，尝试总结形状相同图形的特点。

3.预设学生答案：图形的样子一样，大小可以不一样，边角的开合程度相同。

4.教师总结：形状相同的图形叫做相似图形，相似图形可以通过放大、缩小得到。

5.教师追问：全等图形是相似图形吗？

6.预设学生答案：是，全等图形形状相同、大小相等，是特殊的相似图形。

［设计意图］结合生活实景，让学生直观感知相似图形的特征，区分相似与全等，初步建立相

似图形的直观认知。

环节二：探究相似多边形的定义与性质

1.教师活动：出示人小不同的两个正方形、两个正/'、边形，引导学生用量角器测角度、直尺

量边长，记录数据。提问：这两个多边形的对应角、对应边有什么关系？

2.学生活动：动手测量、记录数据，小组合作分析边角关系。

3.预设学生答案：对应角都相等，对应边的比值都相等。

4.教师活动：出示两个长宽比例不同的长方形、两个角度不同的不规则四边形，重复测量实

验，提问：这两组多边形相似吗？为什么？

5.预设学生答案：不相似，对应边比值不相等或对应角不相等。

6.教师总结定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对

应边的比叫做相似比。同时规范几何表示：多边形ABCDEs多边形A'B'C'D'E',强调对应顶点书

写顺序。

［设计意图］通过动手实操探究，让学生自主归纳相似多边形的判定与性质，突破概念理解难

点，培养动手探究能力。

环节三：辨析相似多边形的易错点

1.教师活动：抛出辨析问题：①所有矩形都相似吗？②所有正方形都相似吗？③所有正多边

形都相似吗？

2.学生活动：独立思考，小组交流，举例验证结论。

3.预设学生答案：①不相似，矩形边长比例不一定相同；②相似，正方形四角相等，四边成

比例；③相似，同边数正多边形边角均对应相等、成比例。

4.教师活动：总结易错点：多边形相似必须同时满足对应角相等、对应边成比例，缺一不可。

5.学生活动：整理易错知识点，做好课堂笔记。

6.教师补充：相似比是有顺序的，多边形As多边形B的相似比与B-A的相似比互为倒数。

［设计意图］通过易错题型辨析，深化学生对相似多边形定义的理解，规避常见解题错误。

环节四：简单应用与基础计算

1.教师活动：出示例题：已知两个相似五边形，相似比为2:3,小五边形最短边长4cm,求大

五边形最短边长。

2.学生活动：独立列式计算，上台板书解题过程。

3.预设解题答案：设大五边形边长为x,2:3=4:x,解得x=6cm。

4.教师活动：点评解题步骤，强调相似比对应边的对应关系。

5.教师追问：若小五边形一个内角为108°,大五边形对应内角为多少度？

6.预设学生答案：108。，相似多边形对应角相等。

［设计意图］通过基础例题，让学生熟练运用相似多边形性质进行计算，掌握规范解题步骤。

环节五：课堂小结

1.教师活动：引导学生自主梳理本节课知识点，提问：本节课你学到了哪些概念利性质？

2.学生活动：自主总结，发言分享收获。

3.师生共同梳理：相似图形定义、相似多边形定义、性质、相似比、相似与全等的关系。

4.教师补充核心考点：多边形相似的双重判定条件.

5.学生完善知识框架，巩固记忆。

6.教师布置课堂练习与课后作业。

2

［设计意图］梳理知识体系，帮助学生内化本节课核心内容，构建知识框架。

【板节设计】

3.1相似多边形

1.相似图形：形状相同，大小不同（全等是特殊相似）

2.相似多边形定义：对应角相等、对应边成比例

3.性质：对应角相等，对应边成比例

4.相似比：对应边的比值（有顺序，互为倒数）

5.判定关键：两角、两边条件缺一不可

【课堂练习】

一、填空题

1.形状的图形叫做相似图形，全等图形是的相似图形。（答案：相同、特殊）

2.相似多边形的相等，_____成比例。（答案：对应角、对应边）

3.两个相似矩形的相似比为1:2,若小矩形长3cm,则大矩形长cm。（答案：6）

二、判断题

1.所有等腰三角形都相似。（义）

2.所有正方形都相似。（V）

3.相似多边形的相似比一定大于lo（X）

三、选择题

下列图形一定相似的是（）

A.两个长方形B.两个菱形C.两个止五边形D.两个梯形（答案：C）

四、计算题

已知两个相似四边形，相似比为3:4,小四边形最长达9cm,求大四边形最长边长。

解：设大四边形最长边为x,3:4=9:x,x=12cmo答：最长边长12cm。

五、解答题

判断：长2cm、宽1cm的矩形和长4cm、宽2cm的矩形是否相似，说明理由。

解：相似。理由：四个角均为90。，对应角相等；对应边比值2:4二1:2,成比例，故两个矩

形相似。

【课后作业】

1.（变式题）两个相似正六边形，相似比为2:5,若大六边形边长10cm,求小六边形边长。

（答案:4cm）

2.（生活情境题）手机原图尺寸6cmX4cm,放大后尺寸15cmX10cm,判断两张图片是否为相

似图形，说明理由。

答案：相似。四角均为直角，对应角相等；6:15=4:10=2:5,对应边成比例，故相似。

3.（易错题）判断所有菱形是否都相似，说明理由。

答案：不是。菱形四边均成比例，但内角不一定相等，不满足相似多边形条件。

2探索三角形相似的条件

【教材分析】

本节课是本章的核心重点内容，在相似多边形基础上，聚焦三角形相似的判定方法，是几何

推理证明、几何计算的核心依据。教材由浅入深，依次探究两角分别相等、两边成比例且夹角相

等、三边成比例三种三角形相似的判定定理，承接全等三角形判定，是相似几何体系的核心。第

1课时重点讲解“两角分别相等的两个三角形相似”，第2课时讲解两边成比例夹角相等、三边成

比例的判定定理，为后续定理证明、性质应用奠定基础。

【学情分析】

学生已掌握相似多边形定义、全等二角形判定（SSS、SAS.ASA.AAS）,具备类比探究的基础.

但学生初次接触三角形相似的简化判定方法，容易混淆“夹角相等”与“任意角相等”的区别，

对三边成比例的判定计算容易出错，同时难以灵活选择合适的判定定理解题，需要通过分层探究、

3

实景例题、对比辨析突破难点。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握三角形相似的三个判定定理（两角相等、两边成比例夹角相等、三边成

比例）；能根据已知条件灵活选择判定定理判断三角形相似，会进行简单的推理与计算。

2.数学思考：类比全等三角形判定方法，经历猜想、操作、验证、归纳的探究过程，培养类

比推理、几何归纳的数学思维。

3.问题解决：能结合生活、儿何图形情境，运用相似判定定理解决三角形相似证明、边长计

算问题，提升几何应用能力。

4.情感态度：体验几何探究的逻辑性与严谨性，感受类比数学思想的价值，培养主动探究、

严谨解题的学习习惯。

【教学重点】

1.三大三角形相似判定定理的理解与掌握。

2.根据已知条件灵活选用判定定理证明三角形相似。

【教学难点】

1.区分“由边成比例且夹角相等”与“两边成比例任意一角相等”的不同，规避判定误区。

2.三边成比例判定定理的应用与比例计算。

【教学准备】

多媒体课件、直尺、量角器、不同规格三角形纸片、几何画板动态演示课件。

【教学课时】2课时

【教学过程】

第1课时：两角分别相等的两个三角形相似

导入新课

创设实景情境：展示阳光二不同高度的竹竿及其影子，竹竿与地面垂直，所有影子在同一水

平地面。提问：竹竿、影子、光线组成的三角形有什么关系？学生观察发现三角形形状相同，进

而提问：不用测量边长，仅通过角度能否判定三角形相似？引出本节课探究内容。

环节一：猜想两角相等与三角形相似的关系

L教师活动：回顾相似多边形判定，提问：三角形是最简单的多边形，判定三角形相似是否

需要验证所有边角关系？能否简化条件？

2.学生活动：小组猜想，结合全等判定简化条件的经验，尝试简化相似判定条件。

3.预设学生答案：不需要全部边角，可能几个角或几条边满足条件即可。

4.教师活动：提出猜想：若两个三角形有两个角分别相等，两个三角形是否相似？

5.学生活动：自主画图，画两个有两个内角对应相等的三角形，测量边长比例。

6.学生发现：两角相等的三角形，第三角必然相等，且对应边成比例，三角形相似。

［设计意图］通过猜想、实操验证，培养学生自主探究能力，初步感知两角判定定理。

环节二：归纳两角相似判定定理

1.教师活动：结合学生实操结果，结合几何画板动态演示，固定两个内角，缩放三角形大小,

观察图形始终相似。

2.教师总结定理：两角分别相等的两个三角形相似（简称AA）。

，*，

3.教师几何语言规范：VZA=ZA,NB=NB',..AABC^AACo

4.学生活动：记录定理及几何语言，理解“两角相等即可证相似”的简化逻辑。

5.教师追问：直角三角形中，一组锐角相等，两个直角三角形是否相似？

6.预设学生答案：相似，直角相等+一组锐角相等，满足两角相等条件。

［设计意图］规范几何语言，结合特殊三角形深化定理理解，夯实基础。

环节三：定理应用与例题讲解

1.教师活动：出示生活例题：阳光下，高2nl的竹竿影长1.5m,同时一棵树影长6m,求证竹

竿与光线、树与光线组成的二角形相似c

2.学生活动：独立分析图形，找出相等的角，书写证明过程。

3.预设解题答案：两个三角形均有直角，且光线为同一平行光线，对应锐角相等，两角分别

4

相等，故三角形相似。

4.教师活动：点评步骤，强调公共角、对顶角、平行角是常用相等角。

5.学生完善证明过程，总结找等角的常用方法。

6.教师补充常见模型：平行A型、X型相似模型。

［设计意图］结合生活实景应用定理，掌握常见相似模型，提升解题能力。

环节四：课堂小结

1.师生共同梳理：两角相等相似判定定理、儿何语言、适用场景、常见等角来源。

2.学生自主总结易错点：必须是两个三角形的对应角相等。

3.教师布置课堂练习与课后作业。

［设计意图］梳理知识，内化重难点。

【板书设计】

3.2探索三角形相似的条件（1）

判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA）

几何语言：VZA=ZA，,ZB=ZB，•••△ABCSZXA'B'C'

常用等角：公共角、对顶角、平行线同位角/内错角、直角

常见模型：A型、X型相似

【课堂练习】

一、填空题

1.两角的两个三角形相似。（答案：分别相等）

2.两个直角三角形，若一纽锐角相等，则两个三角形o（答案：相似）

二、判断题

L有一个角相等的两个三角形相似。（义）

2.有两个角对应相等的三角形一定相似。（J）

三、选择题

下列条件能判定三角形相似的是（）

A.一个角相等B.两个角对应相等C.一条边成比例D.三条边相等（答案：B）

四、解答题

如图，DE〃BC,求证△ADEs^ABC。

证明：・・・DE〃BC,AZADE=ZABC,ZAED=ZACB,两角分别相等，AAADE^AABCo

【课后作业】

1.（变式题）Z\ABC中，ZA=50°,NB=60°；^DEF中，ZD=50°,ZF=70°,求证两三角

形相似。

答案：△ABC中NC=70°,NA=ND,NONF,两角相等，三角形相似。

2.（生活情境题）测量身高影子，小明身高1.6m,影长1.2m,同一时刻教学楼影长9m,证

明身高影子三角形与教学楼影子三角形相似。

答案：均为直角三角形，太阳光平行，锐角相等，两角对应相等，三角形相似。

第2课时：两边成比例夹角相等、三边成比例

导入新课

创设情境：回顾全等三角形SAS、SSS判定方法，提问：全等可以通过两边夹角、三边相等判

定，类比猜想，三角形相似能否通过两边成比例夹角相等、三边成比例判定？引发学生探究兴趣,

导入新课。

环节一：探究两边成比例且夹角相等的相似判定

1.教师活动：出示两组三角形，第一组两边成比例且夹角相等，第二组两边成比例但夹角不

相等，引导学生画图测量。

2.学生活动：分组画图、测量角度与边长，对比两组二角形是否相似"

3.预设学生答案：两边成比例、夹角相等的三角形相似，夹角不相等则不相似。

4.教师总结定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）o

5

5.教师重点强调：必须是对应夹角相等，非夹角相等不能判定相似。

6.学生记录定理，对比全等SAS与相似SAS的区别。

［设计意图］通过对比实验，突破“夹角”易错难点，精准掌握判定条件。

环节二：探究三边成比例的相似判定

1.教师活动：提出猜想：若两个三角形三边对应成比例，三角形是否相似？出示边长分别为

2、3、4和4、6、8的两个三角形。

2.学生活动：计算边长比例，测量内角角度，验证三角形相似。

3.预设学生答案：三边比例均为1:2,对应角相等，三角形相似。

4.教师总结定理3：三边对应成比例的两个三角形相,以（SSS）o

5.教师规范几何语言，强调边长对应顺序。

6.学生整理定理，区分三种相似判定方法的适用条件。

［设计意图］自主验证猜想，归纳定理，完善三角形相似判定体系。

环节三：定理辨析与综合应用

1.教师活动：出示易错辨析题：两边成比例，其中一边的对角相等，三角形相似吗？

2.学生活动：画图举例验证，得出结论：不相似。

3.教师活动：出示综合例题，根据不同条件选择判定定理。

4.学生独立解题，上台展示解题过程。

5.教师点评，总结判定定理选择技巧：有角优先用AA,有两边夹角用SAS,纯边长用SSS。

6.学生整理解题技巧，强化方法记忆。

［设计意图］辨析易错点，总结解题方法，提升综合应用能力。

环节四：课堂小结

1.师生梳理三大相似判定定理，对比全等判定的异同。

2.总结各定理适用场景与易错点。

3.布置练习与作业。

［设计意图］构建完整知识体系，提升知识整合能力。

【板书设计】

3.2探索三角形相似的条件（2）

1.判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等一相似（重点：夹角）

2.判定定理3（SSS）：三边对应成比例一相似

3.解题技巧：有角用AA、两边夹角用SAS、纯边长用SSS

4.易错点：边边角不能判定相似

【课堂练习】

一、填空题

1.两边成比例且相等的两个三角形相似。（答案：夹角）

2.三边的两个三角形相似。（答案：对应成比例）

二、判断题

L两边成比例、一对对角相等，三角形相似。（X）

2.三边比例均为2:3的两个三角形相似。（J）

三、选择题

三角形边长为3、4、5与6、8、10的关系是（）

A.全等B.相似C.不相似D.无法判断（答案：B）

四、解答题

已知aABC中AB=2,ACM,ZA=60°；△DEF中DE=3,DF=6,ND=60°,求证两三角形相似。

证明：AB/DE=2/3,AC/DF=4/6=2/3,两边成比例，NA=ND为夹角，故△ABCs^DEF。

【课后作业】

1.（变式题）二角形二边为4、6、8,另一二角形二经为6、9、12,判断是否相似.

答案：4/6二6/9二8/12二2/3,三边成比例，三角形相似。

2.（生活情境题）两个三角形支架，支架1两边长5cm、8cm,夹角90°；支架2两边长10cm、

6

16cm,夹角90°,判断支架是否相似。

答案：两边比例1:2,夹角均为直角，满足SAS判定，支架三角形相似。

3相似三角形判定定理的证明

【教材分析】

本节课是对上一节探究得出的三个相似三角形判定定理的严谨逻辑证明，是几何从直观探究

到逻辑推理的升华。教材以平行线分线段成比例为基础，逐步证明AA、SAS、SSS判定定理，培养

学生几何推理的严谨性，是中考儿何证明题的重要理论依据，承接探究性学习，为后续性质证明、

综合几何证明奠定推理基础。

【学情分析】

学生已掌握三个相似判定定理的内容，会简单应用，但对定理的推导逻辑不了解，几何推理

能力较弱，对辅助线的添加思路陌生。九年级学生初步具备逻辑推理能力，但复杂证明过程的连

贯性、严谨性不足，辅助线添加是本节课最大难点。

【教学目标】

1.知识与技能：理解相似三角形三大判定定理的证明过程，掌握证明所需的平行线分线段成

比例依据，学会证明过程中辅助线的添加方法。

2.数学思考：经历定理严谨证明的全过程，体会转化、数形结合的数学思想，提升几何逻辑

推理能力。

3.问题解决：能独立梳理定理证明思路，能模仿完成简单的几何相似证明，规范证明步骤。

4.情感态度：体会几何逻辑的严谨性，养成有理有据、规范推理的学习习惯，提升几何学习

的自信心。

【教学重点】

1.两角相等、两边成比例夹角相等判定定理的证明过程。

2.证明过程中辅助线的添加思路与方法。

【教学难点】

三边成比例相似判定定理的证明逻辑，辅助线的构造与转化思想的应用。

【教学准备】

多媒体课件、几何画板课件、证明步骤思维导图、直尺。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设问题情境：上节课我们通过画图、测量得出了三个三角形相似的判定定理，所有的几何

定理都需要严谨的逻辑证明，才能通用。提问：我们如何用已学的平行线分线段成比例、相似多

边形定义，证明这些判定定理？导入本节课定理证明学习。

环节一：回顾证明依据，铺垫基础

1.教师活动：提问学生：证明三角形相似的终极依据是什么？平行线分线段成比例的内容是

什么？

2.学生活动：回顾知识点，举手回答。

3.预设学生答案：终极依据是相似多边形定义（对应珀相等、对应边成比例）；平行线分线段

成比例：两条直线被--组平行线所微，对应线段成比例。

4.教师活动：梳理本节课证明的核心思路：通过作平行线构造相似，转化为定义证明。

5.学生记录核心证明思路，明确推理基础。

6.教师板书基础依据，为后续证明铺垫。

［设计意图］回顾旧知，搭建新I日知识桥梁，明确证明核心思路，降低推理难度。

环节二：证明两角分别相等的相似判定定理

1.教师活动：出示已知、求证：已知△ABC和△△'B'C中，NA=NA',/B=NB',求证aABC

/△A'B'C'。引导学生思考辅助线添加方法。

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2.学生活动：小组讨论，尝试构思辅助线。

3.教师示范；在AABC中作DE〃BC,构造△ADEsz^ABC,再证明4ADE名B'C',实现转化。

4.师生共同分步书写证明过程，每一步标注依据。

5.学生跟随板书，完整书写证明过程，理解转化思想。

6.教师总结AA定理证明核心：平行构造相似+全等转化。

［设计意图］师生共研，分步突破难点，规范证明步骤，掌握辅助线技巧。

环节三：自主探究两边成比例夹角相等定理证明

1.教师活动：出示已知求证，引导学生类比AA定理的证明方法，自主添加辅助线。

2.学生活动：独立思考，小组合作完成证明过程。

3.教师巡视指导，纠正推理漏洞与步骤错误。

4.选取学生代表展示证明过程，师生共同点评修正。

5.预设学生证明思路：作平行线构造三角形，利用比洌线段、夹角相等证全等，进而证相似。

6.教师梳理规范证明步骤，强调夹角条件的核心作用。

［设计意图］培养学生自主推理、类比迁移的能力，强化规范书写习惯。

环节四：精讲三边成比例定理证明

1.教师活动：针对SSS证明难点，分步拆解思路：作平行线一构造相似三角形一利用边长比

例证全等一推导原三角形相似。

2.学生活动：跟随教师思路，逐步理解每一步推理逻辑。

3.教师重点讲解边长比例转化、等量代换的推理过程。

4.学生完整书写证明过程，标记重难点步骤。

5.教师总结三大定理证明的通用思想：构造、转化、全等过渡。

6.学生整理证明方法与数学思想。

［设计意图］拆解难点，突破学生推理瓶颈，掌握复杂几何证明的思维方法。

环节五：课堂小结

1.师生共同梳理三个定理的证明思路、辅助线方法、核心数学思想。

2.学生总结几何证明的规范要求：有理有据、步骤完整、逻辑清晰。

3.教师布置课堂练习与课后作业。

［设计意图］整合知识，内化推理方法，提升几何素养。

【板书设计】

3.3相似三角形判定定理的证明

1.证明依据：平行线分线段成比例、相似多边形定义、全等判定

2.核心思想：构造相似、全等转化、数形转化

3.辅助线方法：作平行线构造相似三角形

4.三大定理证明核心步骤（简写框架）

【课堂练习】

一、填空题

1.相似三角形判定定理证明的核心辅助线是作o（答案：平行线）

2.证明三角形相似的终极依据是。（答案：相似多边形定义）

二、判断题

1.定理证明过程可以省略推理依据。（X）

2.所有相似判定定理都可以通过构造平行线证明。（J）

三、简答题

简述两角相等相似定理的证明思路。

答案：在三角形内作平行线构造相似三角形，利用角相等证明构造的三角形与原三角形全等,

进而证明两三角形相似。

【课后作业】

L（变式题）完整书写“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明过程。（答案：参

照课堂规范步骤，依据平行线比例、全等判定完成证明）

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2.（思维拓展题）总结三个相似判定定理证明的共同点。

答案：均通过作平行线构造相似二角形，利用全等三角形过渡，结合相似多边形定义完成证

明，核心为转化思想。

4相似三角形的性质

【教材分析】

本节课是相似三角形的核心应用课，在掌握相似判定的基础上，探究相似三角形对应高、对

应中线、对应角平分线、周长、面积的性质，是相似三角形计算、几何综合题的重要考点。教材

由线段性质到周长、面积性质，层层递进，规律清晰，承接判定定理，为几何计算、实际应用提

供理论依据，是本章重难点结合的关键课时。

【学情分析】

学生已掌握相似三角形的判定方法和基本边角性质，具备一定的几何计算和推理能力。但学

生容易混淆相似三角形周长比、面积比与相似比的关系，常出现面积比直接等于相似比的错误，

对对应线段的识别容易出错，需要通过实操验证、对比辨析突破易错点。

【教学目标】

L知识与技能：掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长比等于相似

比；面积比等于相似比的平方，能熟练运用性质进行计算与证明。

2.数学思考：经历猜想、验证、证明相似三角形性质的过程，培养归纳推理、数形结合的数

学思维。

3.问题解决：能利用相似三角形性质解决线段长度、周长、面积的计算问题，解决生活中的

图形缩放计算问题。

4.情感态度：感受几何图形的规律美，体会数形结合思想的实用性，培养严谨的计算与推理

习惯。

【教学重点】

1.相似三角形对应线段、周长、面积的性质定理。

2.利用性质进行几何计算与简单证明。

【教学难点】

理解并区为相似三角形面积比与相似比的平方关系，规避计算易错点。

【教学准备】

多媒体课件、相似三角形教具、直尺、计算器、几何画板动态缩放演示课件。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设生活情境：展示大小两张相似的三角形海报，已知小海报边长是大海报的1/2,提问：

两张海报的高、周长、面积是什么关系？学生直观猜想后，导入本节课相似三角形性质的探究学

习。

环节一：探究相似三角形对应线段的性质

1.教师活动：出示两个相似三角形，相似比为k,引导学生画出对应高、对应中线、对应角

平分线。

2.学生活动：测量对应线段长度，计算线段比值。

3.预设学生答案：所有对应线段的比值都等于相似比k。

4.教师活动：严谨证明对应高的比等于相似比，引导学生类比证明中线、角平分线性质。

5.学生自主完成剩余线段性质的简单推理。

6.师生总结性质1：相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比。

［设计意图］实操验证+推理证明结合，让学生深度理解对应线段性质.

环节二：探究相似三角形周长、面积性质

1.教师活动：提问：相似三角形的周长比与相似比有什么关系？引导学生结合边长比例推导。

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2.学生活动：列式推导，周长为三边之和，比值不变。

3.预设学生结论：周长比等于相似比。

4.教师活动：追问：面积比与相似比的关系？结合三角形面积公式引导推导。

5.学生活动：结合底和高的比例，推导面积比值为相似比的平方二

6.师生总结性质2：周长比二相似比；面积比二相似比的平方。

［设计意图］自主推导公式，从本质理解性质，杜绝死记硬背，突破面积比难点。

环节三：性质辨析与易错突破

1.教师活动：出示易错题型：相似比1:2,周长比？面积比？

2.学生抢答作答，预设答案：周长1:2,面积1:4。

3.教师重点强调：面积比必须是相似比的平方，周长、线段比为相似比。

4.学生整理易错点，做好标记。

5.教师出示变式题，强化对比训练。

6.学生独立解题，巩固性质应用。

［设计意图］针对性突破高频易错点，强化性质记忆与应用。

环节四：综合例题应用

1.教师活动:出示生活例题：两个相似三角形花坛,相似比2:3,小花坛周长活m,面积12

行，求大海坛的周长和面积。引导学生分析解题思路，明确所用性质。

2.学生活动：独立思考，分步列式计算，尝试完整书写解题步骤。

3.预设解题答案：周长比二相似比=2:3,设大海坛周长为x,2/3=16/x,解得x=24m；面积比二

相似比平方=4:9,设大海坛面积为S,4/似比平,解得S=27m）

4.教师活动：点评学生解题过程，强调周长、面积性质的区别，规范比例列式格式。

5.教师追问：若小花坛对应高为4m,大海坛对应高为多少？

6.预设学生答案：对应高的比等于相似比2:3,可求大海坛对应高为6%

［设计意图］结合生活实景综合应用所有性质，串联知识点，提升学生综合计算与解题能力。

环节五：课堂小结

1.教师活动：引导学生自主梳理本节课所有性质知识点，提问：相似三角形有哪些核心性质？

易错点是什么？

2.学生活动：自主总结、发言分享，梳理线段、周长、面积三类性质。

3.师生共同归纳：对应线段比二相似比、周长比二相似比、面积比:相似比的平方。

4.教师重点强调高频易错点：面积比必须平方，切勿遗漏。

5.学生完善知识笔记，构建性质知识体系。

6.教师布置课堂练习与课后作业。

［设计意图］系统梳理知识，强化易错点记忆，帮助学生内化核心知识点。

【板书设计】

3.4相似三角形的性质

1.对应线段性质：高、中线、角平分线的比二相似比（k）

2.周长性质：周长比=相似比（k）

3.面积性质：面积比二相似比的平方（k2）

4.易错核心：面积比必须平方，线段、周长直接比

【课堂练习】

一、填空题

1.相似三角形对应角平分线的比等于。（答案：相似比）

2.相似比为1:3的两个三角形，周长比为，面积比为o（答案：1:3、1:9）

3.两个相似三角形面积比为4:25,则相似比为o（答案：2:5）

二、判断题

1.相似二角形的面积比等于相似比.（X）

2.相似三角形对应中线的比和周长比相等。（J）

3.面积比为1:4的两个三角形，对应高的比为1:2。（J）

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三、选择题

两个相似三角形相似比为3:2,下列说法正确的是（）

A.周长比2:3B.面积比3:2C.对应高比3:2D.面积比9:4（答案：D）

四、计算题

已知两相似三角形相似比为2:5,小三角形周长12cm,求大三角形周长。

解：周长比=2:5,设大周长为x,2/5;解/x,x=30cm,答：大三角形周长30cm。

五、解答题

相似三角形甲乙,相似比3:4,甲面积18cm2,求乙的面积。

解：面积比=9:16,设乙面积为S,9/16=18/8,解得S=32cm2。答：乙面积为32C0?。

【课后作业】

1.（变式题）两相似三角形对应中线比为1:4,若小三角形面积5cm"求大三角形面积。

答案：相似比1:4,面积比1:16,大面积案又相似比in?0

2.（生活情境题）两块相似三角形草坪，相似比2:3,小草坪周长20m,求大草坪周长与面积

倍数关系。

答案：大周长30m,大面积是小面积的9/4倍。

3.（易错题）相似三角形面积比9:16,求对应高的比和周长比。

答案：相似比3:4,对应高比3:4,周长比3:4。

5图形的位似

【教材分析】

本节课是本章图形变换的收尾内容，是特殊的图形相似变换，承接相似图形的所有性质，是

相似知识的升华与实际应用。教材通过生活中的缩放成像、投影图形引入位似图形、位似中心、

位似比的概念，重点讲解位似图形的性质、位似图形的画法、平面直角坐标系中的位似变换，是

中考图形变换、坐标计算的高频考点，完善了初中图形平移、轴对称、旋转、位似四大变换体系。

【学情分析】

学生已熟练掌握图形相似的定义、性质与判定，具备图形缩放的认知基础，也掌握了平面直

角坐标系中点的坐标变换规律。但学生难以区分普通相似与位似的区别，对位似中心的位置判断、

坐标系中位似坐标变化规律容易混淆，手动绘制位似图形容易出现比例、位置错误，需要通过实

景对比、实操绘图突破难点。

【教学目标】

1.知识与技能：理解位似图形、位似中心、位似比的定义；掌握位似图形的性质；能准确判

断位似图形，会手绘位似图形，掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律。

2.数学思考：经历观察、对比、绘图、归纳位似图形特征的过程，培养图形变换的空间观念、

归纳推理能力。

3.问题解决：能利用位似性质解决图形缩放、坐标计算问题，能借助位似知识完成图形放大

与缩小的实操绘图。

4.情感态度：感受位似变换在摄影、投影、图纸缩放中的应用价值，体会几何变换的实用性

与规律性，培养严谨的绘图、计算习惯。

【教学重点】

L位似图策的定义与核心性质。

2.平面直角坐标系中图形位似变换的坐标规律及应用。

【教学难点】

1.区分相似图形与位似图形，准确判断位似中心。

2.不同位置位似中心（图形内外、边上、顶点）的位似图形绘制。

【教学准备】

多媒体课件、投影仪、直尺、圆规、方格纸、几何画板位似动态演示课件。

【教学课时】1课时

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【教学过程】

导入新课

创设生活实景情境：展示投影仪投射课件、相机拍照成像、放大镜放大文字的动态过程，提

问：这些缩放后的图形和原图形是什么关系？和普通相似图形相比，有什么独特的位置特征？学

生观察发现图形对应点连线交于同一点，进而导入本节课位似图形的学习。

环节一：感知位似图形，定义辨析

1.教师活动：展示多组图形：位似三角形、位似四边形、普通相似图形，引导学生对比观察

对应点连线的特征。

2.学生活动：小组观察、连线对比，总结图形位置特点。

3.预设学生答案：位似图形对应点的连线都经过同一个点，普通相似图形没有这个特征。

4.教师总结位似定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互

相平行(或共线)，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比也叫位似比。

5.教师追问：位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？

6.预设学生答案：位似一定相似，相似不一定位似，位似是特殊的相似。

［设计意图］实景对比观察，精准区分相似与位似，建立位似图形的核心概念。

环节二：探究位似图形的性质

1.教师活动：出示标准位似图形，引导学生测量对应点到位似中心的距离，计算距离比值。

2.学生活动：动手测量、计算比值，小组分析规律。

3.预设学生答案：对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

4.师生共同归纳位似性质：①位似图形是相似图形，具备相似所有性质；②对应点连线交十

位似中心；③对应点到位似中心的距离比等于位似比；④对应边平行或共线。

5.教师活动：结合图形演示位似中心的不同位置：图形内部、外部、顶点、边上。

6.学生观察记录不同位似中心的图形特征。

［设计意图］实操探究归纳性质，全面认识位似中心的不同位置，完善知识体系。

环节三：手绘位似图形实操

1.教师活动：示范讲解以三角形外一点为位似中心，将三角形放大为原来2倍的绘图步骤：

定中心、连顶点、取对应点、顺次连线。

2.学生活动：跟随示范，在方格纸动手绘图，教师巡视纠错。

3.教师活动：布置实操任务：以三角形顶点为位似中心，将图形缩小为原来1/2。

4.学生独立完成绘图，小组互相检查纠错。

5.教师总结绘图核心要点：保证对应点连线过中心、距离比等于位似比、对应边平行。

6.学生整理绘图步骤，规范绘图流程。

［设计意图］动手实操，掌握位似图形绘制方法，突破绘图难点，提升实操能力。

环节四：坐标系中位似变换规律探究

1.教师活动：创设坐标情境：平面直角坐标系中,AABC顶点A(l,2)、B(2,1)、C(3,3),以

原点为位似中心，位似比为2放大图形，提问：对应点坐标如何变化？

2.学生活动：猜想坐标变化规律，计算对应点坐标。

3.预设学生答案：横、纵坐标都乘以位似比2。

4.教师总结坐标规律：以原点为位似中心，位似比为k,原坐标(x,y),对应坐标为(kx,ky)

或(-kx,-ky)(正负对应同侧、异侧位似)。

5.教师出示例题，学生独立计算坐标。

6.学生熟练掌握坐标变换规律，完成基础计算。

［设计意图］结合数形结合思想，掌握坐标系位似核心考点，突破坐标计算难点。

环节五：课堂小结

1.师生共同梳理：位似定义、位似与相似的关系、位似性质、绘图步骤、坐标变换规律。

2.学生自主总结易错点：相似不一定位似、坐标变换需乘位似比0

3.教师补充核心考点，布置课堂练习与课后作业。

［设计意图］系统梳理知识，内化重难点，巩固课堂所学。

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【板书设计】

3.5图形的位似

1.定义：相似+对应点连线共点+对应边平行（位似是特殊相似）

2.核心性质：距离比二位似比，具备相似所有性质

3.绘图步骤：定中心一连顶点一取点一连线

4.坐标规律：原点位似,（x,y）f（kx,ky）、（-kx,-ky）

【课堂练习】

一、填空题

1.位似图形一定是图形，相似图形是位似图形。（答案：相似、不一定）

2.位似图形对应点到位似中心的距离之比等于_____o（答案：位似比）

3.点A（2,3）以原点为位似中心，位似比3,对应点坐标为。（答案：（6,9）或（-6,-9））

二、判断题

1.对应边平行的相似图形是位似图形。（J）

2.位似中心一定在图形外部。（X）

3.位似比越大，图形缩放倍数越大。（J）

三、选择题

下列说法正确的是（）

A.相似图形都是位似图形B.位似图形都是相似图形C.位似中心唯一D.位似图形对应边不

平行（答案：B）

四、计算题

点P（4,-2）以原点为位似中心，位似比1/2,求对应点坐标。

解：对应坐标为（2,7）或（-2,1）。

五、解答题

简述相似图形与位似图形的联系与区别。

解：联系：位似图形一定相似，具备相似所有性质；区别：相似仅形状相同，位似除相似外,

对应点连线共点、对应边平行，是特殊的相似。

【课后作业】

1.（变式题）AABC顶点（0,0）、（2,0）、（0,4）,以原点为位似中心，位似比2放大，求新顶

点坐标。

答案：（0,0）、（4,0）、（0,8）。

2.（生活情境题）投影仪投射的画面与原课件画面是什么图形？依据位似性质说明特点。

答案：位似图形；画面相似、对应点连线交于投影仪镜头（位似中心）、对应边平行。

3.（绘图变式）以四边形一个顶点为位似中心，将四边形缩小为原来1/2（自行绘图，依据

位似步骤完成即可）。

☆问题解决活动：利用相似三角形测高

【教材分析】

本节课是本章核心实践活动课，是相似三角形知识的生活化综合应用。教材结合生活中无法

直接测量的物体高度（大树、高楼、旗杆），设计三种经典测量方案：阳光下影子法、标杆测量法、

镜面反射法，将抽象的相似判定、性质转化为实操测量方法，体现数学建模与学以致用的核心思

想，是几何知识与生活实践结合的典型课时，重点培养学生的实践探究与问题解决能力。

【学情分析】

学生己完整掌握相似三角形的判定与性质，具备理论知识基础，也具备基础的动手测量、数

据计算能力。但学生缺乏数学建模思维，无法自主将实际测高问题转化为三角形相似模型，对三

种测量方案的原理、适用场景区分不清，测量误差分析能力薄弱，需要通过实景实操、模型拆解、

原理推导突破难点。

【教学目标】

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1.知识与技能：掌握利用相似三角形测高的三种常用方法，理解每种方法的几何原理；能独

立完成实地测量、数据记录、计算求解，会分析测量误差。

2.数学思考：经历实际问题抽象为几何相似模型的过程，培养数学建模思想、数形结合思维。

3.问题解决：能运用相似知识解决生活中不可直接测量的物体高度问题，掌握实操测量的流

程与方法，提升实践应用能力。

4.情感态度：体会数学源于生活、用于生活，感受几何知识的实用价值，培养小组合作、严

谨求实的探究精神。

【教学重点】

1.三种测高方法的几何原理（相似三角形判定与性质应用）。

2.利用测量数据结合相似公式计算物体高度。

【教学难点】

1.将实际笳高问题抽象为标准的相似三角形几何模型。

2.区分三种测高方法的适用场景，分析实验误差。

【教学准备］

卷尺、标杆、平面镜、记录表格、多媒体课件、户外测量场地、计算器。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设真实生活情境：学校操场有一棵高大的杨树、一根旗杆，无法直接攀爬测量高度。提问:

我们能否利用本节课所学的相似三角形知识，间接测量出它们的高度？引导学生思考间接测量的

思路，导入本节课实践探究课。

环节一：方案一：阳光下影子测高法

1.教师活动：展示影子测高实景图，讲解测量工具与步骤：测量自身身高、自身影长、物体

影长。提问：该方案如何构造相似三角形？依据什么判定定理？

2.学生活动：小组讨论，抽象几何模型，分析角度与边长关系。

3.预设学生答案：人和物体均垂直地面，形成两个直角三角形；太阳光为平行光线，锐珀相

等，两角对应相等（AA）,三角形相似。

4.教师梳理原理：身高/物高二人影长/物影长，利用相似三角形对应边成比例计算。

5.学生活动：小组模拟测量，代入模拟数据计算高度。

6.预设模拟计算：身高1.6m,人影长1.2m,树影长9m,求得树高12m。

［设计意图］从最简单的影子法入手，建立初步建模思维，掌握基础测高原理。

环节二：方案二：标杆测高法

1.教师活动：创设无阳光场景，引入标杆测高方案，济解测量工具：标杆、卷尺，测量数据:

人眼高度、标杆高度、人到标杆距离、人到物体距离。

2.学生活动：画图构造几何模型，寻找相等角、成比例边长。

3.预设学生答案：视线为公共线，竖直方向均垂直地面，两角相等，三角形相似。

4.教师规范原理：利用AA判定相似，通过水平距离、盟直高度比例求解物体高出人眼的高度,

叠加人眼品度为总的度。

5.小组实操模拟计算，验证方案可行性。

6.学生总结标杆法适用场景：无阳光、阴天均可测量。

［设计意图］拓展测高场景，完善测量方案，提升学生模型构建能力。

环节三：方案三：镜面反射测高法

1.教师活动：讲解镜面反射原理，放置平面镜在物体与人之间，调整位置使人眼看到物体顶

端，测量镜面到物体、镜面到人的距离，人身高。

2.学生活动：结合物理反射角等于入射角，推导等角关系，证明三角形相似。

工预设学生答案：反射角二入射角，直角相等，AA判定二角形相似.

4.师生归纳公式：人高/物高二镜面到人距离/镜面到物体距离。

5.学生独立代入数据计算，熟练公式应用。

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6.教师对比三种方案的优缺点与适用场景。

［设计意图］跨学科结合物理知识，丰富探究维度，全面掌握二种测高方法。

环节四：实地实操与误差分析

L教师活动：组织学生分组户外实操，测量校园旗杆高度，记录完整数据。

2.学生活动：小组分工（测量、记录、计算、核对），完成实操测量。

3.小组汇报测量结果，对比分析数据差异。

4.教师引导学生分析误差来源：测量读数误差、光线偏差、地面不平整等。

5.学生总结减小误差的方法：多次测量取平均值、精准读数、平整测量场地。

6.小组完善实验报告，整理实操过程。

［设计意图］落地实践探究，提升小组合作与实操能力，培养严谨的科学探究习惯。

环节五：课堂小结

1.师生共同梳理三种测高方法的原理、公式、适用场景。

2.学生总结建模思路：实际问题一几何模型一相似判定一比例计算一求解答案。

3.教师强调数学建模的核心思想，布置练习与作业。

［设计意图］提炼探究方法与数学思想，升华课堂内容。

【板书设计】

利用相似三角形测高

L影子法（晴天）：AA相似身高/树高二人影/树影

2.标杆法（通用）：AA相似分段计算高度

3.镜面法（无阳光）：反射等角+AA相似人高/物高二人镜距/物镜距

核心思想：实际问题一儿何建模一相似求解

【课堂练习】

一、填空题

1.影子测高法的相似判定依据是。（答案：两角分别相等（AA））

2.镜面测高利用了物理原理结合三角形相似计算。（答案：反射角等于入射角）

二、判断题

1.影子测高法可以在阴天使用。（X）

2.三种测高方法均利用相似三角形对应边成比例求解。（J）

三、解答题

小明身高1.7m,影长2nb同一时刻大树影长10m,求树高。

解:设树高为x,l.7/x=2/10,x=8.解。答：树高8.5米。

【课后作业】（生活实操+变式题，含答案）

L（变式题）用镜面法测楼高，人高1.6m,人到镜面2nb楼到镜面15m,求楼高。

答案：设楼高x,1.6/x=2/15,x=12mo楼高12米。

2.（生活实操）自主选取家中或校园物体，用任意一种方法测量高度，记录数据并计算。（实

操题，方法正确、计算无误即可）

回顾与思考

【教材分析】

本节课是第三章《图形的相似》整章复习课，承担知识梳理、重难点整合、错题纠错、综合

应用的作用。教材系统整合本章所有知识点：相似多边形、三角形相似三大判定、判定定理证明、

相似三角形性质、位似图形、相似测高实践，串联概念、定理、性质、实操应用，构建完整的相

似几何知识体系，是查漏补缺、对接单元测试、中考考点的核心课