垂线（专项练习）-人教七年级数学下册

垂线•专题训练

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（德惠市期末）如图，0A108,若Nl=55°⑹，则N2的度数是（）

2.（陕西）如图，ACLBC,直线经过点C,若Nl=35°,则N2的大小为（）

3.（丛台区校级月考）如果直线ON,直线m直线OMJ_直线小那么OM与ON重合（即

O,M,N三点共线），其理由是（）

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.两点之间，线段最短

4.（孝义市期末）下列各图中，过直线/外的点P画直线/的垂线，三角尺操作正确的是（)

5.（江汉区月考）如图，AQ_LAC交BC的延长线于点D,AE_LBC交BC的延长线于点E,

于点凡则图中能表示点4到直线BC的距离的是（）

A.AO的长度B.AE的长度C.4C的长度D.。尸的长度

6.（河西区期中）如图所示，在△ABC中，AELBD,点A到直线笈。的距离指（）

BED

A.线段AB的长B.线段八。的长C.线段E。的长D.线段4E的长

7.（长安区校级月考）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.（长春期末）如图，ACA-BC,AC=4,点。是线段BC上的动点，则A、。两点之间的距

离不可能是（）

A.3.5B.4.5C.5D.5.5

9.(乐山)如图，E是直线CA上一点，ZFEA=40°,射线E8平分NCERGELEF.则N

GEB=()

B

G

CEA

A.10°B.20°C.30°D.40°

10.（仁寿县期末）如图，。为直线AB上一点，OC_LO。，OE平分NAOC,OG平分NBOC,

0”平分N8。。，下列结论：®ZDOG+ZBOE=]SO°；®ZAOE-ZDOF=45°；③

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（西华县期中）若线段AM,AN分别是AABC的高线和中线，则线段AM,AN的大小关

系是AMAN（用“W”，“2”或“="填空）.

12.（鱼台县期末）如图，村庄A到公路3c的最短距离是AQ的长，其根据是.

村庄产

CDB

13.（绿园区期末）如图，AZ?±Zi,AC1/2,已知A8=4,BC=3,AC=5,则点4到直线八

14.（东城区校级期末）如图，ZC=90°,线段AB=15c〃z,线段AD=12cm,线段AC=9c〃z,

则点4到BC的距离为cm.

BDC

15.（岳阳期末）如图，在三角形ABC中，NA8C=90°,BDA.AC,垂足为点DAB=5,

BC=12,AC=13,下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①N4OB=9（T；

②/A=/DBC；

③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；

④点8到直线AC的距离为:.

16.（顺庆区校级月考）如图所示，NBAC=9（T,AQ_L3C,则下列结论中，正确的为（填

序号）.

①点4到BC的距离是线段AD的长度；

②线段AB的长度是点B到AC的距离；

③点C到AB的垂线段是线段AB.

17.（绿园区期末）如图，直线AB、C。相交于点O,于点。，且NCOE=48°,则

18.（南岗区校级期中）已知，NA08和NB0C互为邻补角，旦N80C：NAO8=4：1,射

线。。平分NA0B,射线。则NB0E=

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于4,8两点，直线。和b分别表示铁路与

河流.

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由;

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

b--------rU-----

20.（孟村县期中）如图，AB、CD、NE相交于点。，。/平分NB。。，NMON=90°,Z

AOC=50°

（1）线段的长度表示点M到NE的距离；

（2）比较MN与MO的大小（用“V”号连接）：,并说明理由：;

（3）求N4ON的度数.

21.（长春期末）如图，直线A8与直线MN相交，交点为O,OC.LAB,04平分NMOD,

若/BON=20°,求NCOO的度数.

D

A

MN

B

22.(海曙区期末)如图，直线A8,CO相交于点O,0D平分/BOE,OF平分/AOE.

(1)证明：OD_LOF.

(2)若NBOD=28°,找出N80Q的补角，并求出的度数.

23.(姜堰区期末)如图，直线AB、C。相交于点O,OMLAB,Z1=Z2.

(1)求NN0。的度数；

(2)若NAOO=3N1,求NAOC和NMO。的度数.

B

2

ND

24.（市中区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点。按如图方式叠放在一起.

（I）如图（1）,若NBOD=35°,则NAOC=；若N4OC=135°,WOZBOD

=；（直接写出结论即可）

（2）如图（2）,若NAOC=140°,则NBOO=;（直接写出结论即可）

（3）猜想NAOC与N8OO的大小关系，并结合图（1）说明理由；

（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的0D边与0A边重合，然后绕点0按顺时针或

逆时针方向任意转动一个角度，当锐角NAO。等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互

相垂直，直接写出NA。。角度所有可能的值，不用说明理由.

垂线-专题训练（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（德惠市期末）如图，0A108,若Nl=55°⑹，则N2的度数是（）

A.35°44'B.34°84'C.34°74,D.34°44'

【分析】直接利用垂线的定义结合度分秒转化得出答案.

【解析】・・・0A_L08,

••・/AO8=9（r,

VZ1=55°16’，

/.Z2=90°-55°16,=34°44,.

故选：D.

2.（陕西）如图，AC.LBC,直线E尸经过点C,若Nl=35°,则N2的大小为（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【分析】由垂线的性质可得NACB=90°,由平角的性质可求解.

【解析】VAC1BC,

/.ZACB=90°,

VZl+ZACB+Z2=180°,

.•.Z2=180°-90°-35°=55°,

故选:B.

3.（丛台区校级月考）如果直线ONJ_直线〃，直线。MJ_直线小那么OM与。"重合（即

O,M,N三点共线），其理由是（）

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.两点之间，线段最短

【分析】利用垂线的性质解答.

【解析】如果直线ON_L直线〃，直线OM_L直线那么0M与ON重合（即0,M,N

三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：C.

4.（孝义市期末）下列各图中，过直线/外的点P画直线/的垂线，三角尺操作正确的是（）

【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与/重合，另一条直角边过点尸后

沿直角边画直线即可.

【解析】用直角二角板的一条直角边与/重合，另一条直角边过点"后沿直角边面直线，

・・・C选项的画法正确，

故选：C.

5.（江汉区月考）如图，AO_LAC交8c的延长线于点D,AE_L8C交。C的延长线于点E,

CF-J_AB于点R则图中能表示点A到直线8C的距离的是（)

，B

叩、、/c

：/E

I/

I.

:✓

'/

k

D

A.A。的长度B.AE的长度C.AC的长度D.CF的长度

【分析】利用点到直线的柜离定义进行解答即可.

【解析】图中能表示点4到直线BC的距离的是AE的长度，

故选：B.

6.（河西区期中）如图所示，在△A3C中，AELBO,点A到直线3。的距离指（）

二

BED

A.线段AB的长B.线段A。的长C.线段E。的长D.线段AE的长

【分析】利用点到直线的距离解答即可.

【解析】点A到直线8力的距离指线段AE的长，

故选：D.

7.（长安区校级月考）下列说法：

①两点之间的所有连线中，线段最短；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可.

【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，说法止确；

②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；

④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误.

故选：B.

8.（长春期末）如图，ACLBC,AC=4,点。是线段BC上的动点，则A、。两点之间的距

离不可能是（）

A.3.5B.4.5C.5D.5.5

【分析】利用垂线段最短得到AO24C,然后对各选项进行判断.

9

【解析】：ACA.BCtAC=4,

：.AD^AC,即

观察选项，只有选项A符今题意.

故选：A.

9.（乐山）如图，E是直线CA上一点，ZFEA=40°,射线E8平分NCERGE1EF.则N

A.10°B.20°C.30°D.40°

【分析】根据平角的定义得到NCEr=180°-ZFE^=180°-40°=140°,由角平分线

的定义可得口口□口=彳口口口口=gx/40。=70。，由GELET7可得NGE/=90°,可得N

CEG=180°-ZAEF-ZGEF=\S0°-40°-90°=50°,由/GEB=NCEB・/CEG

可得结果.

【解析】VZFEA=40°,GEA.EF.

AZCEF=180°-ZFEz4=180°-40°=140°,ZCEG=180°-ZAEF-ZGEF=180°

-40°-90°=50°，

;射线ER平分/CEF.

/.□□□□=^DDDn=；x1400=70。,

:・/GEB=NCEB-/CEG=W-50°=20°,

故选:B.

10.（仁寿县期末）如图，O为直线A6上一点，OC_LOO,0£1平分N4OC,OG平分N8OC,

OF平分NBOD,下列结论：①N。。G+N8。E=180°；②NAOE・N。。/=45°；③

ZEOD+ZCOG=\SO°；④NAOE+NOO尸=90°.其中正确的个数有（）

c

G

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据角平分线的定义可设NAOE=NCOE=a,NBOG=NCOG=B，利用平角等

于180°得出a+0=9O°,/EOG=90°.根据同角的余角相等得出NDOG=NCOE=90°

!

-NCOG=a,KJZBOD=ZDOG-ZBOG=a-p.ZBOF=ZDOF=;(a-f).然后根

据互余、互补的定义分别判断即可.

【解析】YOE平分NAOC,OG平分N8OC,

・•・可设/40E=NC0E=a,/BOG=NCOG=B，

TO为直线A8上一点，

・•.408=180°,

/.2a+2p=180°,

/.a+P=90°,NEOG=90°.

VZDOC=90°,

:・/DOG=/COE=900-NCOG=a,

・・・ZBOD-ZDOG-ZBOG-a-p.

・.・OF平分/BOD,

：.ZBOF=ZDOF=；(a-p).

①・・・/OOG=a=NAOE,ZAOE+ZBOE=\SO0,

・・・NDOG+N8OE=180°,

故本选项结论正确；

②・・・/AOE=a,ZDOF=^(a-p),

/.ZAOE-NDOFi-g(a-[3)=g(a+[3)=45°,

故本选项结论正确；

③・・・/EOO=N£OG+NGOO=90°+a,NCOG=0,

；.NEOANCOG=90°+a+p=180°,

故本选项结论正确；

@v=（a-（5）=1|J--^U=；U-；（900-a）=2a~45°,

・••当a=67.5°时，NAOE+NOO/=90°,

但是题目没有a=67.5°的条件，

故本选项结论错误.

综上所述，正确的有：①②③共3个.

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（西华县期中）若线段AM,4N分别是△ABC的高线和中线，则线段AM,AN的大小关

系是AMWAN（用“<”，"2”或“="填空）.

【分析】利用垂线段最短进行解答即可.

【解析】•・•线段AM,AN分别是△ABC的高线和中线，

・"MWAN,

故答案为：W.

12.（鱼台县期末）如图,村庄人到公路BC的最短距离是4。的长,其根据是垂线段最短.

衬庄y

cDB

【分析】利用垂线段的性质解答即可.

【解析】村庄4到公路的最短距离是4。的长，其根据是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

13.（绿园区期末）如图，ABA.L,ACA.li,已知48=4,BC=3,AC=5,则点4到直线人

【分析】由即可得出答案.

【解析】VAB±/i,

则点A到直线h的距离是AB的长=4；

故答案为：4.

14.（东城区校级期末）如图，ZC=90°,线段4?=15加，线段人。=120〃，线段AC=9c〃z,

则点A到BC的距离为9cm.

【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案.

【解析】因为NC=90°,

所以4C_LBC,

所以4到8c的距离是AC,

因为线段AC=9c〃?，

所以点A到8C的距离为9cm.

故答案为：9.

15.（岳阳期末）如图，在三角形A8C中，NA8C=90°,BD1AC,垂足为点D,AB=5,

BC=12,AC=13,下列结论正确的是一①②④.（写出所有正确结论的序号）

①N4OB=90°；

②/A=/DBC；

③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；

④点8到直线AC的距离为:.

【分析】①根据垂直的定义即可求解；

②根据余角的性质即可求解；

③根据点到直线的距离的定义即可求解；

④根据三角形面积公式即可求解.

【解析】

・・・NAQ8=90°,故①正确；

②・・・NA8O+NA=90°,/4BD+NO8C=90°,

AZA=ZDBC,故②正确；

③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误;

④点B到直线AC的距离为:X5X12X24-13=%故④正确.

2/J

故答案为：①②④.

16.（顺庆区校级月考）如图所示，/84C=90°,AD1BC,则下列结论中，正确的为①②

（填序号）.

①点4到BC的距离是线段AD的长度；

②线段AB的长度是点B到AC的距离；

③点C到AB的垂线段是线段AB.

【分析】利用点到直线的距离定义可得正确答案.

【解析］

・••点A到BC的距离是线段AD的长度，①正确；

VZBAC=90°,

：.ABLAC,

・・・线段A8的长度是点8到AC的距离，②正确

•/A—,

・・・C到A8的垂线段是线段AC,③不正确.

其中正确的为①②，

故答案是：①@.

17.（绿园区期末）如图，直线A8、C。相交于点O,0EJ_48于点。，且NCOE=48°,则

【分析】利用垂线定义可得NBOE=90°,然后可得NC0B的度数，再利用对顶角相等可

得答案.

【解析】vOE±AB,

：.ZBOE=90°,

・・・/COE=48°,

・・・NCOB=900+48°=138°,

・・・乙40。=138°,

故答案为：138。.

18.（南岗区校级期中）已知，NAOB和N80C互为邻补角，且NBOC：NAO8=4：1,射

线OQ平分NAO3,射线OE_LOO,则N5OE=72°或108°.

【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大

小即可.

【解析】..,乙408和N80C互为邻补角，

・・・NAO8+NBOC=180°,

又•：/BOC：NAO8=4：1,

：.ZBOC=\SO°x1=144O,NAO8=180°x（=36°,

•・•射线。。平分N4OB,

AZAOD=ZBOD=^ZAOB=18°,

•・•OE1OD,

:・/DOE=9U0,

如图1,ZBOE=ZDOE-ZBOD=900-18°=72°,

如图2,/BOE=/DOE+NBOD=900+18°=108°,

故答案为：72°或108°.

O

图1

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A,8两点，直线。和b分别表示铁路与

河流.

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由;

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.

b___________

a-B

【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离.依据两点之间线

段最短解答.

（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离.依据垂线段最短解答.

（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离.依据垂线段最短解答.

【解析】如图所示

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿AC走，垂线段最短；

（3）沿3。走，垂线段最短.

20.（孟村县期中）如图，AB.CD、NE相交于点O,0M平分N3。。，NMON=90°,Z

AOC=50°

（1）线段MO的长度表示点M到NE的距离;

（2）比较MN与历。的大小（用“V”号连接）：MO<MN,并说明理由：垂线段

最短；

（3）求NAON的度数.

【分析】（1）根据点到直线的距离解答即可；

（2）根据垂线段最短解答即可；

（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可.

【解析】（1）线段MO的长度表示点M到NZ?的距离；

（2）比较MN与MO的大小为：MOVMN,是因为垂线段最短；

（3）9：ZBOD=ZAOC=50°,OM平分NB。。，

・・・NBOM=25°,

・・・NAON=180°-ZBOM-ZMON=\SO°-25°-90°=65°.

故答案为：MO;MOVMN。,垂线段最短.

21.（长春期末）如图，直线AB与直线MN相交，交点为O,OCA,AB,04平分NM。。,

若/BON=20°,求NCOO的度数.

【分析】利用对顶角相等可得NAOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算

即可.

【解析】•：/BON=20°,

：.ZAOM=20°,

•「O4平分NM。。，

ZAOD=ZMOA=20°,

•「oc

AZAOC=90°,

：.ZCOD=90°-20°=70°.

22.（海曙区期末）如图，直线AB,CO相交于点O,0D平分/BOE,OF斗分4A0E.

（1）证明：。。_1_。尸.

（2）若/"O力=28°,找出/"OQ的补角，并求出/8O"的度数.

【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可；

（2）根据互补的定义和结合图形找到相关角间的和差关系进行解答即可.

【解析】证明：(1)・・,0。平分/80石，O/7平分NAOE

:・/EOF=；/AOE,ZEOD=^ZEOB,

VZAOE+ZEOB=\SO0,

・•・ZFOD=NEO"+N£OO=90°,

・•・OO_LO产；

(2)•・・N8OO=28°,

・・・N4O£>=1800-ZBOD=]SO°-28°=152°,

•：OD平分NBOE,

；./EOD=NB()D,

/.ZCOE=180°-ZEOD=180°-28°=152°,

J/BOD的补角是NCO£和乙40。，

VZFOD=90°,

；.NBOF=NDOF+NBOD=900+28°=118°.

23.(姜堰区期末)如图，直线AB、C。相交于点O,OMLAB,Z1=Z2.

(1)求NNO。的度数；

(2)若NAOO=3N1,求NAOC和NMO。的度数.

【分析】(1)利用垂直的定义得出N2+NAOC=90。，进而得出答案;

(2)根据题意得出N1的度数，即可得出AOC和NMOO的度数.

【解析】证明：(1)VOM.LAB,

：.ZAOM=ZBOM=90°,

・・・N1+NAOC=90°,

VZ1=Z2,

・・・N2+NAOC=90°,

即NCON=90°,

・・・/NOO=1800-NCON=180°-90°=90°；

(2)VZAOE>=3Z1,

・・・NNOO=2NI=90°,

解得：Nl=45°,

AZAOC=ZAOM-Z1=90°-45°=45°；

AZBOD=90°-45°=45°,

NMOD=NBOD+NBOM=450