沪科版八年级数学上册：线段的垂直平分线（分层练习）

15.2线段的垂直平分线分层练习（学生版）

基础过关练

题型一利用线段垂直平分线的性质求线段长

1.如图，垂直平分力3,。为线段上的一点.若4W=4,则“的长可能为（）

A.3B.5C.6D.7

2.如图，在ZU4。中，AB=AC,OE是NC的垂直平分线，△4C0的周长为22,BC=10,则4C的

长度为（）

3.如图，在四边形力3C。中，/O〃8C,点七在8c上且刚好落在力&垂直平分线上，点厂是C。中

4.如图，在四边形力8C。中，AB//CD,E为8。的中点，且力E1DE,延长。E交相的延长线于点

F.若力。=12,CD=5,则48的长为.

5.如图，在MBC中，AB=AC=\2cmf力。的垂直平分线分别交彳8、4c于点D、E,且。。的

周长为22cm,求底边4C的长

A

A

BC

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题型二利用线段垂直平分线的性质求周长

6.如图，在中MP、N。分别垂直平分4;、AC.若8c=20cm,则八42。的周长是（）

C.5cmD.15cm

7.如图，在Rt△月8c中，ZJCfi=90°,。石垂直平分相交BC于点。，若的周长为50cm,则

AC+BC=()

A.25cmB.30cmC.45cmD.50cm

8.如图，在△力8c中，。为8C为上的一点，AC=ADtE为4B边上一点,E/垂直平分BD,若

4B=8,AC=6f则△力QE的周长为（）

A.20B.18C.16D.14

9.如图，在中，£下垂直平分/C,交力C于点R交BC于点、E,4D人BC于点、D,且=若

AF=6fCD=10,则△/8C的周长为.

10.如图，在。中，"'垂直平分力C,交4c于点F,交BC于点E,过点A作彳。垂足

为D,且BD=DE,连接力

BDEC

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(1)求证：AB=EC.

(2)若CQ=8,4C=10,求△力的周长.

题型三利用线段垂直平分线的性质求角度

11.如图在△月4。中，边力8,彳。的垂直平分线交于点P,连结BP,CP,若NA=50°,则N8PC=()

A.100°B.95°C.90°D.50°

12.如图，在菱形”C。中，分别以48为圆心，大于:"的长为半径作弧，两弧交于点E,F,

作直线M；再分别以儿。为圆心，大于g力。的长为半径作弧，两弧交于点G,H,作直线GH,EF

与GH交于点P,连接8八DP.若/儿/。=124。，则N5P。的度数为()

A.100°B.104°C.108°D.112°

13.如图，在菱形"CQ中，Z^D=70°,力8的垂直平分线交对角线4。于点尸，垂足为E,连接。八

则NCO尸=()

A.75°B.70°C.65°D.60°

14.如图，点2为△/8C的外心，若/P/C=20。，ZFCB=30°,则/尸,48的大小为

B

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15.如图所示，线段/3，8。的垂直平分线44相交于点0.若NO石8=58。，则4OC=

题型四由垂直平分线的性质证明

16.如图，在△48C中，AD1BC,即垂直平分/C,交4c于点尸，交BC于点、E,RBD=DE.

⑴求证：』B=EC；

⑵若△45。的周长为21cm,JC=8cm,求OC的长.

17.如图，在反台。中，。点是48的中点，OQ_LX8于。，点。在X。的垂直平分线上,

(1)求证：力。。是等腰三角形；

(2)若N84C=80。，求/8CO的度数.

18.如图，在Rt△/出C中，AC=BC,乙优4=90。，。为4C的中点，DE1AB,垂足为E,过点8

作段■〃力C交OE的延长线于点凡连接W.

(1)求证：AD1.CF-

(2)连接加1试判断的形状，并说明理由.

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19.如图，中，AD1BCt直线所垂直平分力C,交力。于点尸，交BC于点E,且北=”.

(2)若4c=13,AD=5f求△48C的周长.

题型五垂直平分线的判定

20.如图，在中，AB=ACf。为右侧一点，连接力。、CD、BD,AD=CDf/历1C=60。，

求证：“。是/C的垂直平分线.

21.如图，在AXBC中，/历/C〉90。，48的垂直平分线分别交力8,BC于点、E,F,4C的垂直平分

线分别交力。，4c于点忆N,直线EF,MN交于点、P.

(1)求证：点P在线段8c的垂直平分线上;

(2)已知N"N=56。，求/五PN的度数.

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22.如图，在ZU4C中，/是48的垂直平分线，与边力C交于点E,点。在/上，且。8=QC,连接

AD.

（1）求证：点。在边彳。的垂直平分线上；

（2）连接若BDA.CD,求证：BELAC.

题型六作己知线段的垂直平分线

23.如图，有一家四边形儿童活动训练中心初C。，现要在训练中心"C。内部修建一间训练座谈

室。，使得座谈室。到力。边、C。边的距离相等，且座谈室。到点4的距离与座谈室。到点。的

距离相等，请你找出座谈室。的位置.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

24.如图，在MBC中，请用尺规作图法求作一点忆使得/刈=MC,且4M_L8C.（保留作图痕迹,

不写作法）

25.如图，物流超市44在街道〃?和〃之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站

到物流超市48的距离相等，且到街道加和〃的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站0

的具体位置.（不写作法，保留作图痕迹）

n

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能力提升练

题型一利用线段垂直平分线的性质求最值

1.如图，直线也是ZUBC中边的垂直平分线，点2是直线的上的一动点.若48=6,JC=4,BC=7,

则周长的最小值是（）.

2.如图，在△力4c中，4?=8,BC=6,JC=IO,ABLBC,点。、E分别是边”、力。上的动点,

则CQ+QE的最小值为（）

3.如图，在面积为24的中，AB=AC,BC=8,力。工4c于点。，直线所垂直平分”交48

于点E,交8c于点R。为直线跖上一动点，则周长的最小值为.

4.在口△/BC中，乙4=90。，为8=5,AC=\2f8c=13,以垂直平分/坨，点P是以上一动点，过

P作PHLBC,垂足为点〃，连接8P,则8P+尸，的最小值为.

5.如图，〃为菱形力立力的对角线力。上的一定点，。为力。边上的一个动点，在的聿直平分线分

别交/也，AP于点E,G,/。力8=30。，若的长的最小值为3,则/上的长为.

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题型二利用线段垂直平分线的性质探究线段之间的关系

6.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等“，那么不在线段垂直平分

线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？

【自主研究】(1)如图①，直线/是线段力8的垂直平分线，点P在直线/的左侧，经测量，PA<PB.

请证明这个结论；

【迁移研究】(2)如图②，直线/是线段力8的垂直平分线，点C在直线/外，且与点/在直线/

的同测，点。是直线/上的任意一点，连结试判断4。和力D+C。之间的大小关系，并

说明理由.

图①图②

7.(1)如图1,在ZUBC中，若44=5,JC=3,求4c边上的中线4。的取值范围.解决此问题可

以用如下方法：延长力。到点R使。匠二40,再连接跖，这样就把48,AC,集中在“"中，

则中线力。的取值范围是.

(2)如图2,在中，。是边的中点，DE上DF于点D,DE交AB于点E,DF交4c于点F,

连接试判断8E+C尸与£尸之间的大小关系，并说明理由.

(3)如图3,在四边形4?。。中，Z5+ZD=180°,CB=CD,48=160。，以C为顶点作43=80。,

边CE,b分别交4B,A。于点E,F,连接斯.试判断肥，。尸与E尸之间的数量关系，并说明

理由.

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8.如图，“3C中，。是4c的中点，过。点的直线G尸交力。于八交力。的平行线BG于G点,

DE1DF,交A3于点E,连接EG、EF.

(1)求证：AG=C尸；

⑵请你判断8E+B与房的大小关系，并说明理由.

9.如图，AD1BCt。，点。在4E的垂直平分线上

(1)线段48、AC.底三者之间的长度有什么关系？

(2)线段44+8。与。E有怎样的关系呢？

题型三利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系

10.如图，在△力4c中，AI平分NBAC,8/平分//14C,点。是IC、8c的垂直平分线的交点，连

接力。、8。，若NAOB=a,则N4归的大小为()

C.90°-itzD.1800+-a

42

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11.如图1,等边MAC中，过点A在力4边的右侧作射线/乙/初2=研30。＜。＜45。）点B与点£关于

射线NP对称，连接力E,BE,且前交射线4P于点。，过C、E两点的直线交射线4P于点尸，连接麻.

（1）当。=40。时，求的度数;

（2）求证：AF=BF+CFX

⑶如图2,点“为射线”上的一动点，过点“做力于点N,连接当BMaMV的值最小

时，清直接写出乙4/8的大小（用含。的代数式表示）.

12.如图，在等腰直角△力8c中，4C8=90。，尸是线段8C上一动点（与点8,。不重合），连接力产,

延长8C至点。，使得。。=。乙过点、。作QH上4P于点H,交初于点M,过点M作MG_LBC于点G.

（1）若NP4C=a,求N4W。的大小（用含。的式子表示）；

⑵求证：PQ=2MG.

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13.如图，△/出C中/也=/C,△48。和ZViCE分别为等边三角形，AE与CQ相交于点F,连的并延

长交8c于点G.

备用图

⑴求证：8E=CD；

(2)求证：G为8C的中点；

(3)已知N6£=a,求N8OC的大小(用含。的式子表示).

14.如图，CN是等边△48c的外角乙ICA/内部的一条射线，点A关于CN的对称点为。，连接力

BD,CD,其中4。，4。分别交射线CN于点E、P.

(1)依题意补全图形；

(2)若41CN=a,求4OC的大小(用含。的式子表示)；

(3)用等式表示线段依，PC与此之间的数量关系，并证明.

题型四垂直平分线性质与判定综合

15.如图，在RtZ\4?C中，乙4cB=90°,48的垂直平分线交月8于点O,交BC于点、E,连接CQ、AE.

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⑴若ZU8。的周长是14,4。的长是3,求△NEC的周长;

⑵若4=30。，求证：点E在线段CO的垂直平分线上.

16.如图，在四边形48C。中，AD=DCfBA=BC.

(1)求证：AC1BD.

⑵若4Q=/C=6,40=10,求四边形45co的面积.

17.(1)如图1,在△彳8C,AB=AC,O为△力8C内一点，且O8=OC,求证：直线力。垂直平分8C,

以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程.

要证直线力。垂直平分8C,只要证点A、点。都在4c的垂直平分线上，即要证

~，=

(2)如图(2),在△力8c中，HB=AC,点、D、E分别在48、力C上，且8Q=CE,清你只用无刻

度的直尺画出4c边的垂直平分线，并说明理由.

(3)如图3,在五边形川KDE中，AB=AE,BC=DE,4=N£,请你只利用无刻度的直尺画出CO

边的垂直平分线.

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拓展培优练

1.综合与实践

【问题情境】

B

图1图2图3

（1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,在UBC中，若4B=16,AC=10f

求边8c上的中线力。的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长力。至

点使DE=4D,连接6E.容易证得丝△瓦必，再由“三角形的三边关系”可求得4）的取值

范围是.

【初步运用】

（2）如图2,在四边形"CQ中，M是边4c的中点，且AB//CDfAD=5tCO=3,求

线段/出的长.

【拓展延伸】

（3）如图3,△48c和ZUQE为两个等腰直角三角形，其中力。=48,AD=AE,NG4B=NDAE=90°,

产为CO的中点，直接写出线段施与版的数量关系（无需说明理由）.

2.综合与探究

【教材呈现】用全等三角形研究“筝形

研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法.

在八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形"CQ中，

AR=AD.CR=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.

请结合教材内容，解决下面问题:

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15.2线段的垂直平分线分层练习(学生版)

A

⑴【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形4BCD(4B=AD,BC=CD)

的性质进行探究.在①”〃C"；®AC=BD^③/C垂直平分8。；④力C平分4%。和N8C“

⑤/力8C=乙4QC中一定正确的有(填序号).

(2)【性质应用】如图2,在筝形力8。中，4B=BC,AD=CD,点、P是对角线BD上一点,过点P分

别作力。，。。的垂线，垂足分别为点M,N.求证：四边形PMDN是筝形.

⑶【拓展应用】如图3,在中，乙4=80。,/8=40。，点D、E分别是线段"上的动点，

当四边形花为筝形时，请直接写出N8ZM的度数.

3.在等腰△力4c中，AB=AC,48的垂直平分线OE分别交48,4c于D,£两点.

⑴如图1,连接的，若4)=6,△加%?的周长为19,直接写出4c的长；

⑵若"'是MBC的中线.

①如图2,AF交DE于点、O,若〃力。=30。，求证：EC=2OD+OE-

②如图3,历是心的中点，N是射线质上的动点，连接MV,作等边连接"，若/尸=11,

直接写出〃的最小值.

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

基础过关练

题型一利用线段垂直平分线的性质求线段长

1.如图，垂直平分力3,。为线段上的一点.若4W=4,则“的长可能为（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距

离相等.连接根据线段垂直平分线的性质得到=得到8尸<4,判断即可.

垂直平分,

AM=BM,

Z.BPM>/BMP,

BP4BM,

8PV4,

・・・8P的长可能为3.

故选：A.

2.如图，在△力8c中，AB=AC,。七是/1C的垂直平分线，△6CO的周长为22,8c=10,则4C的

长度为（）

A.11B.12C.14D.16

【答案】B

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相

等根据线段垂直平分线的性质可得到nD=C。，再根据△8CQ的周长为22可得力8+80=22,进

而求得4c的长.

【详解】解：•.•祝是/C的垂直平分线，

/.AD=CD,

•••△8CQ的周长为22,

:.BD+CD+BC=22f

;JB+BC=22,

8C=10,

4C=44=22-10=12,

故选：B.

3.如图，在四边形力8C。中，点£在8。上且刚好落在"垂直平分线上，点厂是。。中

点，EFLAF,己知力。=4,BE=7f则CE=.

【答案】3

【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质.

通过延长"构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证△4）「为GCa转化线段力。为CG,结

合EFA.AF及AF=FG,得反垂直平分4G,推出4?=GE,最后计算CE.

【详解】解：连接北，并延长AF交BC延长线于G,

因为4）〃8C,

所以NQ4b=NG,

又尸是CO中点，

即。尸=3,

且ZAFD=ZGFC,

：.AJ£）F^AGCF（AAS）

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

则/1Z）=CG=4,

点E在46垂直平分线上，

故AE=BE=7,

由EFLAF,F是4G中点，

得AE=GE=7,

所以CE=GE-CG=7-4=3.

故答案为：3.

4.如图，在四边形力3C7）中，AB//CD,E为4C的中点，且力EJ.DE,延长。E交48的延长线于点

F.若力。=12,CD=5,则4?的长为.

【答案】7

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角

形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键.由“AAS”可证产且△CE。，可得叮=。£,

BF=CD=5,由线段垂直平分线的性质可得力。=力/=12,进一步求解即可.

【详解】解：为，。的中点，

BE=EC,

•••ABHDC,

NF=NCDE,AFBE=4DCE,

在与中，

NF=NCDE

NFBE=NDCE,

BE=CE

；.ABEF知CED(AAS),

/.EF=DE,BF=CD=5,

AE1DE,

：.AD=AF=\2,

AF=AB+BF=AB+5=12,

AB=1,

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

故答案为:7.

5.如图，在△力8c中，AB=AC=\2cva1力。的垂直平分线分别交4?、4C于点。、E,且△BC。的

周长为22cm,求底边EC的长

【答案】10cm

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由。E垂

直平分4C,可得4）=QC,则可求出△8DC的周长为叱+相，把48的值代入即可求出8C.

【详解】解：•••」垂直平分/C,

/.AD=DCt

:.△BCD的周长为BC+BD+DC=BC+BD+/iD=BC+/iB=22cm,

AB=AC=12cm,

/.BC+12=22,解得8C=10cm,

「•底边8c的长为10cm.

题型二利用线段垂直平分线的性质求周长

6.如图，在△/BC中MP、N。分别垂直平分被、AC.若4c=20cm,则的周长是（）

【答案】A

【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键.由MP、N0分别

垂直平分彳3、AC,得至1］产力=尸8,。力=。。，再由尸。的周长表示出来即可得到答案.

【详解】解：:"尸、N。分别垂直平分48、AC,

PA=PB,QA=QC,

CP^Q=PA+QA+PQ=PB+QA+QC=BC=20cm,

故选：A

7.如图，在RtZ\"C中，乙4cB=90。，OE垂直平分/3交BC于点。，若的周长为50cm,则

AC+BC=()

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

A

A.25cmB.30cmC.45cmD.50cm

【答案】D

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.先根据

线段垂直平分线的性质可得再根据三角形的周长公式可得4C+CQ+4Q=50cm,然后根

据等量代换即可得.

【详解】解：・・・。后垂直平分/6,

AD=BD,

T”CD的周长为50cm,

JC+CD+J£)=50cm,

AC+CD+BD=50cn\,

JC+2?C=50cm,

故选：D.

8.如图，在ZUBC中，。为8C之上的一点，AC=ADfE为边上一点，EF垂直平分BD,若

AB-S,AC-6t贝IJA/IOE的周长为()

A.20B.18C.16D.14

【答案】D

【分析】本题考杳了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得=

结合力E+BE=<3=8,AC=AD,AD+DE+AE=\4,即可作答.

【详解】解：・・・改为线段4。的垂直平分线，

「・ED=BE,

VAB=3

AE+BE=AE+DE=8,

AC=AD,

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

/.AD=6,

贝1」34。£的周长为力。+。£+/1七=6+8=14,

故选：D

9.如图，在"BC中，E/垂直平分4C,交4c于点、F,交BC于点、E,4DJ.BC于点、D,且BD=DE.若

AF=6,CZ)=10,则△/8C的周长为

【答案】32

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.连结

AE,设。E=x,根据线段垂直平分线的性质可逐步求得4C=12,4B=10T,BD=X,再计算

4B+BC+4C,即可求得答案.

【详解】解：连结/小

设。E=x,则60=x,CE=lO-xf

•••斯垂直平分/C,

:.AE=CE,AC=2AF=\2,

vADVBC,BD=DE,

AB=AE,

：.AB=CE=\O-x,

5c的周长为」8+BC+/C=(0T)+Q+10)+12=32.

故答案为：32.

10.如图，在中，川垂直平分ZC,交AC于点尸，交BC于点、E,过点A作垂足

为。，且8。=。石，连接力E.

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

A

⑴求证：AB=EC.

（2）若。。=8,AC=\Of求△月8C的周长.

【答案】⑴见解析

⑵26

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距

离相等.

（1）根据线段垂直平分线的性质得到4石二石C，AE=AB,进而证明48=小；

（2）根据题意求出“8+80=8,再根据三角形周长公式计算，得到答案.

【详解】（1）证明：•.〃尸垂直平分4C,

AE=EC,

vADLBC,BD=DE,

..力。垂直平分4E,

AE=AB,

:.4B=EC；

（2）W：EB=EC,BD=DE,

:.AB+BD=DE+EC=CD=S,

=AB+BC+AC=AB+BD+CD+AC=S+S+IO=26.

题型三利用线段垂直平分线的性质求角度

11.妇图在ZUAC中，边力4,4C的垂直平分线交于点P,连结BP,CP,若2=50°,则NBPC=（）

A.100°B.95°C.90°D.50°

【答案】A

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂

直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

连接力P,延长8P交/。于。，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得48P=/84P,

ZACP=ZCAP,根据三加形外角的性质即可求出NBPC.

【详解】解：连接力P，延长社交力。于。,

:"BPC=ZPDC+ZACP=ABAC+AABP+NACP,

•・,点尸是NA,4C的垂直平分线的交点,

/.PA=PB=PC,

:"ABP=ZBAP,/ACP=NCAP,

NBPC=4PCD+NPDC=/PCD+/PAD+ZAPD=/BAC+/BAP+/CAP=/BAC+NBAC=2ZBAC=2x50°=l00°

故选：A.

12.如图，在菱形48。中，分别以4B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E,F,

作直线跖；再分别以4。为II心，大于:的长为半径作弧，两弧交于点G,H,作直线G〃，EF

与GH交于点P,连接3忆DP.若/历10=124。，则/枕。的度数为（）

A.100°B.104°C.108°D.112°

【答案】D

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据作图过

程和线段垂直平分线的性质得到PB=PA=PD,再根据等腰三角形的性质得到/尸力。=NPQ力，

NPAB=NPBA,然后利用四边形的内角和为360。得到2/历i〃+N6PO=360。，进而求解即可.

【详解】解：由作图过程可得，直线G”,即分别是线段力。、48的垂直平分线，且直线G”，EF与

GH交于点、P,

PB=PA=PD,

：.ZPAD=ZPDA,ZPAB=NPRA,

*：/PDA+NPAD+NPAB+Z.PBA+4BPD=360°,

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

2/BAD+/BPD=360°,

则Z.BPD=360°-2ZBAD=360°-2xl24°=112°,

故选：D.

13.如图，在菱形ABC。中，/BAD=W°，"的垂直平分线交对角线4c于点尸，垂足为E,连接。尸,

则NCD/二()

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】A

【分析】木题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接〃儿

求出NC6*=75。，再证明/仃知QCF(SAS),即可解决问题.

【详解】解：如图，连接所，

在菱形48CO中，AC=^ZBAD=1x70°=35°,/BCF=ZDCF,BC=DC,

44BC=1S00-ZBAD=180o-70°=110°,

•••七少是线段力4的垂直平分线，

"=Bk,/ABF=Z1BAC=35°,

/CBF=ZABC-ZABF=110°-35°=75°,

•.•在和中，

BC=DC

<ZBCF=4DCF,

CF=CF

.qUC”沿ADCF（SAS）,

:"CDF=/CBF=/0,

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

故选:A.

14.如图，点夕为△力8c的外心，若/P/C=20。，NPCB=30。,则NP/48的大小为

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义和三角形的内角和，熟练掌握线段

垂直平分线的性质是解题的关键.

利用线段垂直平分线的性质可得4=PA=PC，从而利用等费三角形的性质可得/P&=/P%C=20。，

4BC=/PCB=30。,NP4B=NPB4,然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答.

【详解】•・•点2为△48C的外心，ZPJC=20°,NPC8=30。，

・••点P为△48C三边垂直平分线的交点，

/.PA=PB=PC,

：.NPCA=APAC=20°,4PBe=NPCB=30°,NPAB=APBA,

•/Z.PCA+ZPAC+NPBC+NPCB+NP4B+Z.PBA=180°,

NPAB=NPBA=40°,

故答案为：40。.

15.如图所示，线段力内，4。的垂直平分线/4相交于点。若NOEB=58。,贝lj4OC=

【答案】64。/64度

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确

作出辅助线.

由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角

之间的运算即可.

【详解】解：如图，连接并延长80,点尸为8。延长线上的一点,

•・•点。在线段AB的垂直平分线4上,

:.OA=OB,

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

NOAB=NOBA

：.4OF=2NOB4,

•・,点。在线段8。的垂直平分线4上，

:.OC=OB,

：.NOCB=NOBC

：,NCOF=2NOBC,

：.UOC=NAOF+/COF=2NOBA+2NOBC=2乙4BC,

1:8,NO破=58。，

・・・Z/J9C=90°-58°=32°,

Z/OC=32x2=64°,

故答案为：64°.

题型四由垂直平分线的性质证明

16.如图，在ZUBC中，AD1BC,石尸垂直平分AC,交4c于点尸，交BC于点、E,且BD=DE.

BDEC

（1）求证：AB=EC；

出若沙8。的周长为22口，4C=8cm,求。。的长.

【答案】（1）见解析

（2）DC=6.5cm

【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得力E=EC，AB=AE,即可证明;

（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可.

【详解】（1）证明：连接力院

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

1

/.AE=ECf

vADIBC,BD=DE,

：.垂直平分8E,

AB=AE,

:.AB=ECx

(2)・.・“蛇的周长为21cm,

/.AB+BC+AC=21cm,

vAC=8cm,

AB+BC=\3cm,

'：AB=EC,BD=DE,

；.4B+BD=EC+DE=；(48+BC)=6.5cm,

/.DC=6.5cm.

17.如图，在ZUBC中，。点是"的中点，于。，点。在力C的垂直平分线上,

(1)求证：力。。是等腰三角形；

(2)若乙%。=80。，求/8CO的度数.

【答案】(1)见解析

(2)/88=10。

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是

熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

(1)先证明0。垂直平分力8,得出。=08,再根据垂直平分线的性质，得出。4="，即可得出

OB=OC,说明"OC是等腰三角形；

(2)OA=OB,OA=OCf得出NO/1〃=NOB4,4)AC=NOCA,ZOAB+ZOAC=ZBAC=80°,得

出NOBA+NOCA=AOAB+ZOAC=80°，木艮据三川形内乱和定理得出NABC+ZACB=\80。-NBAC=100°,

即可得出/。4C+NOCB=100°-8Qo=20。，最后根据等边对等用即可求出结果.

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

【详解】（1）证明：点是”的中点，ODA.AB,

/.垂直平分,

：.OA=OBi

・.・O点在AC的垂直平分线上，

：.OA=OCt

：,OB=OC,

^BOC是等腰三角形.

⑵解：•；O4=OB,OA=OC,

：.NOAB=NOBA,Z.OAC=Z.OCA,

NOAB+NOAC=ZBAC=80°,

AOBA+/OCA=NOAB+Z.OAC=80°,

\・BC+AACB=\80°-C=100°,

AOBA+/OCA+ZOBC+AOCB=100°,

AOBC+Z.OCB=100°-80°=20°,

•：OB=OC,

：.NOBC=NOCB,

Z5C6>=-x20o=10°.

2

18.如图，在Rt△相。中，AC=BC,4CB=90°,。为8c的中点，DE1AB,垂足为E,过点8

作加'〃4。交。E的延长线于点凡连接3.

(1)求证：AD1CF；

(2)连接力尸，试判断的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析

是等腰三角形，理由见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定.

(1)证明ACB/WICQeAS),可得/BCF=NC4D,可证明NO。+NGC4=90。，可得结论：

(2)由(1)可得C/=/。，又因为腿垂直平分。尸，可得—=49,可证明6=力"，可知ZVlC产

为等腰三角形.

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

【详解】（1）证明：I•在Rt△/力。中，AC=BC,4。4=，0。，

NCBA=NC4B=45。.

又「DEA.AB,

/.ZDEB=90°,

.•.N8DE=45。，

又BF//AC,

4CBF=90°,

:./BFD=45。=/BDE,

:.BF=DB,

又••・£）为8c的中点,

CD=DB,

:.BF=CF,

在ACBE和“CO中，

BF=CF

/。”=/力。。=90°,

CB=AC

/.△C5F^AJCZ）（SAS）,

NBCF=/CAD,

又•"8C万+NGC/=90。，

:,ZCAD+ZGCA=90°,

:.AD1CF；

（2）解：△/W是等腰三角形，理由如下：

由（1）知：ACBF义4ACD,

:.CF=AD1

・.•△Q8F是等腰直角三角形，且配是N力斯的平分线，

/.8E垂直平分。尸，

/.AF=AD,

\-CF=AD,

:.CF=AFy

是等腰三角形.

19.如图，△4AC中，AD1BCt直线石产垂直平分4C,交力C于点产，交RC于点、E,且看武=".

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15.2线段的垂直平分线分层练习(解析版)

(2)若4c=13,AD=5f求△/8C的周长.

【答案】(1)见解析

⑵37

【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定以及勾股定理的综合应用.解题

的关犍是利用垂直平分线得到线段相等，进而转化为角的关系，再结合勾股定理计算线段长度.

(1)利用垂直平分线得/£推出NC=N以C,再由/£=/8得/8=/力£8,结合外角性质证

ZB=2C.

(2)在Rt”",中用勾股定理求6,再利用力6=力石=比，BQ=DE得出

月6+BC=HE+(CD+BD)=CE+(CD+ED)=2CD,最后计算周长/18+6C十月C=2C0+可得结果.

【详解】(1)证明：/垂直平分/C,AE=AB

AB=AE=EC

：.ZC=ZCAE,NB=/AEB

ZAEB=ZC+ZCAE=2ZC

/.N4=2/C

(2)解：：AE=AB,ADIBC

:.BD=DE.

在直角三角形力CO中，4QC=90。，AC=13tAD=5

/.CZ)=V132-52=12

VAB=AE=EC.BD=DE

:.AB+BC=CE+CD+BD=CE+CD+DE=2CD=24

:.^ABC的周长=4B+6C+/C=24+13=37.

题型五垂直平分线的判定

20.如图，在中，AB=AC,。为△/仍C右侧一点，连接力。、CD、BD,AD=CD,/比1C=6O。，

求证：8。是力。的垂直平分线.

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

A

【答案】证明见解析

【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边

三角形，可得=进一步解答即可.

【详解】证明：・・・N8/C=60。,AB=AC9

・・・△力8c为等边三角形，

BA=BC,

・•・〃在力C的垂直平分线上，

•/AD=CD,

・・・。在力。的垂直平分线上，

・・・切是力。的垂直平分线.

21.如图，在△力8C中，NBAC>90°,力8的垂直平分线分别交力8,BC于点、E,F,力。的垂直平分

线分别交4C,8c于点N,直线比，MN交于点、P.

（1）求证：点夕在线段8c的垂直平分线上；

⑵已知N&N=56。，求47W的度数.

【答案】（1）见解析

⑵62,

【分析】（1）连接8P,”，PC,根据线段垂直平分线的性质证明P8=4=PC,从而证明结论

即可：

（2）先根据垂直平分线的性质:正明4=必，NA=NC,ZAEP=N4MP=NBEF=NCMN=9伊,再设

/B=x,NC=y,然后根据三角形内角和定理，求出x+J"再根据直角三角形的性质求出N8尸E和

/CNM,再根据对顶角的性质求出NPFN,ZPNF,最后利用三角形内角和定理求出答案即可.

【详蟀】（1）证明：如图所示：连接3P,〃，PC,

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

・••点P在线段BC的垂直平分线上；

(2)解：■/PELAB,PM1AC,

/.EA=EB,NA=NC,ZAEP=乙4Mp=NBEP=NCMN=90°,

/.NB+NBFE=ZC+NMNC=90°,

设4=x,NC=y,

；.NB=NBAE=x,ZC=ZCAN=y,Z5FE=90°-x,NMNC=90。-y,

4PFN=NBFE=90°-x,4PNF=/MNC=90°-y,

­/Zfi+ZC+ZCJ5=180o,/FAN=56。

2x+2y+56°=180°,

・,.x+y=62。，

NPFN+NPNF+NQN=180。，

90°-x+90°-y+/FPN=180°,

NFPN=180°-l80°+(x+y)=62°.

【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，

对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键.

22.如图，在中，/是的垂直平分线，与边力C交于点E,点。在/上，且。B=QC,连接

AD.

（1）求证：点。在边力。的垂直平分线上；

⑵连接8E,若8O_LCO,求证：BELAC.

【答案】（1）见解析

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15.2线段的垂直平分线分层练习（解析版）

（2）见解析

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识.解题

的关犍是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系.

（1）利用垂直平分线性质得。/结合。8=。。推出力进而证明。在4C的垂直平分

线上.

（2）连接力。得到设角并结合8。_LC。求出相关角度，得出乙必七=45。，再利用垂

直平分线性质和角度关系证明的，4C.

【详解】（1）证明：・・•/是43的垂直平分线，点。在/上，

/.DA=DB,

*：DR=DC,

DA=DC.

・••点。在4c的垂直平分线上.

（2）证明：由（1）可知D4=Q8=QC,由“等边对等角”，

设NDAB=/DBA=a,ZDCA=Z.DA