上海市金山区某学校2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷（解析版）

上海市金山区世外学校2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷

一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分）

1.下列不等式的解法中，正确的是（）

A.-x>-5,两边同乘—1,得x25

B.—xV—5,两边同乘—1,得x（5

C.2x2—6,两边同时除以一2,得x03

D.-2x2-6,两边同时除以一2,得x«3

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质，进行求解即可.

【详解】解：A.-x>-5,两边同乘一1,得XV5,故A错误：

B.—xV—5,两边同乘—1,得工25,故B错误：

C.2X之一6,两动同时除以2-2,得x2-3,故C错误：

D.-2x>-6,两边同时除以一2,得x43,故D正确.

2.如图，已知N1=N2,Z3=65°,那么N4的度数是（：

【答案】D

【解析】

【分析】根据N1=N2,可得直线平行，再由直线平行的性质求解即可.

【详解】解：记直线人伍与25,如图,

I

•••/I=N2,

.■.Z4+Z5=18O°,

•••N3=N4,

••.N4=180。-65。=1150.

3.一个底面半径为2cm,高为3cm的圆锥的体积是（）

A.12兀cm'B.4兀cm'C.24兀cm'D.87tcm5

【答案】B

【解^5]

【分析】根据圆锥的体积公式=底面积x高Xg计算即可.

【详解】解：根据题意，该圆锥的体积是兀、2々3、；=4兀（加3）.

4.已知如果两条平行线被第二条直线所截，那么下列说法正确的是（）

A.截得的一对同旁内角相等

B.截得的一对同旁内角的角平分线互相平行

C.截得的一对内错角的角平分线互相平行

D.截得的一对同位角的角平分线互相垂直

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断

是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性.

【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故该选项说法错误，不符合题意；

B、两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90。

角，即互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等；根据内错角相等，两直线平行可判断角平分

线互相平行，故该选项说法正确，符合题意；

D、两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等；根据同位角相等，两直线平行可判断角平分

线互相平行，而不是互相垂直，故该选项说法错误，不符合题意.

5.下列判定两个等腰三角形全等的方法中，一定正确的是（）

A.两角对应相等B.两腰对应相等

C.一边一角对应相等D.一腰和底边对应相等

【答案】D

【解析】

【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.

【详解】解：A、两角对应相等，没有边的参与，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选

项错误，不符合题意；

B、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项错

误；

C、一边一角对应相等，此条件未明确边角关系而不能保证全等。例如，若一个等腰三角形的腰与另一个

等腰三角形的底边对应相等，顶角与另•个的底角对应相等，则无法判定两个等腰三角形全等，故本选项

错误；

D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选

项正确.

6.如图，点尸是48上任意一点，/ABC=/ABD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出

△,4PC丝的是（）

A.AC=ADB.BC=BDC.DACB=DADBD.NCAB=/DAB

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查了全等三角形的判定.根据全等三角形的判定和性质逐个选项进行判断即可.

【详解】解：A、补充=不能推出V/PC丝V4PQ,故此选项符合题意；

B、补充BC=BD,先证出V4BC丝V48。，后能推出V40。丝V4P。，故此选项不符合题意；

C、补充/ACB=NADB,先证出V48C会V48Q,后能推出丫力。。丝丫4。。，故此选项不符合题意；

D、补充/C4B=NDAB,先证出VZBCgVZBO,后能推出V4PC且V4P。，故此选项不符合题意：

故选：A.

7.到三角形三个顶点距离都相等的点是()

A.三角形的三条角平分线的交点

B.三角形的三边垂直平分线的交点

C.三角形的三条高线的交点

D.三角形的三条中线的交点

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直立分线上进行

作答即可.

【详解】解：•・•到三角形三个顶点距离都相等的点，

・•・该点是三角形的三边垂直平分线的交点，

故选：B

8.如图，NB,NC的平分线相交于点。，过点。作交AB于点E,交AC于点F,下列

结论中：①BE=DE;®DF=ED；③N8OC=900+；//；④△/£1/周长=48+彳。，正确的有

()

A.①@B.①②④C.①③④D.®®®®

【答案】C

【解析】

【分析】由V45C中，与NC的平分线交于点。，EF/iBC,易证得V8EQ和△CF。都是等腰三

角形，继而可得EF=BE+CF,又由△/£尸的周长为：

AE+EF+AF=AE+BE+CE+AF=AB+AC；即可得△/£尸的周长等于川？与力。的和.

【详解】解：・・・)〃8C,

/.NEDB=NDBC,NFDC=4DCB,

•.•VZBC中，N8与/。的平分线交于点

:"EBD=4DBC,NFCD=4DCB，

/.ZEBD=ZEDB,ZFCD=ZFDC,

/.BE=DE,CF=DF,故①正确；

与EO不一定相等，故②错误；

•・•在V46C中，和NC的平分线相交于点。，

・♦・乙DBC=-4ABC，乙BCD=-ZACB,

22

:"DBC+4DCB=-Z.ABC+-^ACB=-(^ABC+^ACB\=-(\^Q-^A\=90Q--,

222V72V72

・•.^BDC=180°-(ZMC+ZZ)Ci?)=90°+-Zz4,故③正确；

2

.•.V/川的周长为：

力£+£77+力尸=4七+£<。+。尸+力尸=力后+石8+/。+4/=48+力。，故@正确；

综上，正确的有①③④.

二、填空题(本大题共30题，每小题3分，满分30分)

9.根据题意列不等式：x与V的3倍的和不大于10：.

【答案】x+3yK10

【解析】

【分析】本题考查了列不等式，根据x与V的3倍的和不大于10得出工+3y410,即可作答.

【详解】解：•••》与V的3倍的和不大于1()

/.x+<10.

10.用弧长为8兀dm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为dm.

【答案】4

【解析】

【分析】圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，据此列方程求解即可.

【详解】解：设圆锥底面半径为/dm,

则根据题意得，2勿=8兀，

解得，r=4

.,•圆锥底面半径为44〃，

故答案为：4.

II.如图，。。〃BE,如果乙18E=120。，那么直线48、CO的夹角是度.

【答案】60

【解析】

【分析】设AB与CD交于点F,山CD〃RE,利用“两直线平吁，同旁内角互补”可求出NBFD的度数,

此题得解.

【详解】设AB与CD交于点F,如图，

VCD〃BE,

:.ZABE+ZBFD=180°,

VZABE=120°,

/.ZBFD=180°-ZABE=60°,

【点睛】此题考查平行线的性质，由平行证得同旁内角互补，由此求得夹角的度数.

12.等腰三角形的两边长分别为6c〃z,13。〃，其周长为cm.

【答案】32

【解析】

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和13cm,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨

论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：由题意知，应分两种情况：

①当腰氏为6cm时，三角形三边长为6,6,13,

V6+6<13,

・•・不能构成三角形；

②当腰长为15cm时，三角形三边长为6,13,13,

周长=2x13+6=32,

故答案为32.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形让行解答，这点非常重要，也是解题的关

键.

13.如图，AABC+AB=AC,D是AC上一点且BC=BD,若NCBD=46°,则NA='

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【详解】YBOBD,NCBD=46°,

AZC=ZBDC=y(180°-46°)=67°,

;AC,

/.ZABC=ZC=67°,

/.ZA=46°,

故答案为46.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和

定理，列方程求解.

14.如图，在V/l8c中，DE1是/C的垂直平分线，AE=5cm,△48。的周长是18cm，则V/8C的

周长是cm.

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得力。=CQ,AC=2AE,然后等量代

换得到V48Q的周长为AB+BC,进而可得V/18C的周长.

【详解】解：•••DE是力。的垂直平分线，AE=5cm,

；.AD=CD,AC=2AE=2x5=\0cm,

•~ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=18cm,

:MABC的周长为：48+BC+.4C=18+10=28cm.

15.已知等腰三角形•条腰上的高与另•条腰的夹角为25。，则该等腰三角形的顶角为.

【答案】65。或115。

【解析】

【分析】分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角一:角形时两种情况，分别而图进行讨

论.

【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，

VBDLAC,ZDBA=25°,

:"BAD=65°,

即/BAC=65。.

如图，当等腰三角形为钝角三角形时,

BD上AC,ZDBA=25°,

ABAD=65°,

.•.z5JC=180°-Z^Z)=l15°.

综上，该等腰三角形的顶角为65。或115。.

16.如图，在等边三角形/4C中，点。在边力8上，点£在边4。上，将△JQE折叠，使点力落在8c边

上的点尸处，则

A

/%

/，七

DPC

【答案】120°

【解析】

【分析】由等边三角形的性质证得NADE+NAED=120°,根据折叠性质及平角定义即可得出结论.

【详解】•・•三角形ABC是等边三角形，

・•・ZA=60°,

.,.ZADE+ZAED=180o-60°=120%

由折叠性质得：ZADE=ZEDF,ZAED=ZDEF,

・•・ZBDF+ZCEF=(180°-2/ADE)+(180°-2ZAED)

=360°-2(ZADE+ZAED)

=360°-240°

=120°,

故答案为：120。.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的内角和定理、折叠性质、平角定义，熟练掌握等边三角形

的性质和折叠性质是解答的关键.

17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值上称为这个等腰三角形的“特征值若等腰

V/4C中，ZJ=80°,则它的特征值4=.

Q1

【答案】一或:

54

【解析】

【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数.从而可求解•.

【详解】解：①当/力为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：-I.80=50。

2

.杜一/士,8008

；・特征值上=「二一

505

②当/力为底角时，顶角的度数为：180。-80。-80。=20。

・••特征值%=冬20,=上1

804

Qi

综上所述，特征值人为一或;.

54

Q1

故答案为二或;.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知

N.4的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏.

18.如图，在V/18C中，=20°,乙4=105。，点P在V力8C的三边上运动，当VP/C为等腰三角

形时，顶角的度数是.

【解析】

【分析】作出图形，然后分点户在43上与3C上两种情况讨论求解.

【详解】解：①如图1,

图1

点P在上时，AP=AC,顶角为乙4二105。,

@VZ.B=20°,4=105。,

・•・ZC=180o-20°-105o=55°,

如图2,点P在3C上时，若/IC=PC,

图2

顶角为NC=55。，

如图3,若AC=AP,

图3

则顶角为ZCAP=180°-2ZC=180°-2x55°=70°,

综上所述，顶角为105。或55。或70°.

故答案为：105。或55。或70。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解.

三、简答题(本大题共7题，满分46分)

19.如图，在V/8C中，点。在线段8C上，点E在线段4。延长线上，且EB=EC,

/ABE=/ACE,求证：AD1BC.

解：•；EB=EC,

:.NEBC=NECB(),

•rNABE=Z.ACE,

LABE-/EBC=^ACE-4ECB.

即/ABC=/ACB.

:.AB=AC(),

在YABE和△彳CE中，

AB=AC

•:<EB=EC,

AE=AE

:YABEAACE(SSS).

:"BAD=/CAD(),

•/AB=AC,

AD1BC().

【答案】等边对等角，等角对等边，全等三角形的对应角相等，等腰三角形三线合一

【解析】

【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可解答.

【详解】解：•••f8=EC,

/.ZEBC=ZECB(等边对等角)，

•;N4BE=NACE,

/./ABE-/EBC=ZACE-NECB.

即/ABC=NACB.

:.AB=AC（等角对等边）,

在YABE和△/CE中，

'AB=AC

•・•<EB=EC,

AE=AE

:.VABEAACE（SSS）.

:"BAD=/CAD（全等三角形的对应角相等），

•/AB=AC,

：.ADA.BC（等腰三角形三线合一）.

20.如图，已知线段。、b.求作：V4BC,使=且BC=a,高4D=b.

b

【答案】见解析

【解析】

【分析】作线段8C=。，作线段3c的垂直平分线MN,交BC于点D,在射线。，必上截取线段。力，使

得Q4=b,连接45、AC,即可得出结果.

【详解】解：作线段8C=〃，作线段AC的垂直平分线A/N,交8c于点。，在射线。历上截取线段

DA,使得04=6,连接力8、4C,则V/8C即为所求

21.从底面直径为8dm的圆柱形水桶中取出一块底面积为9.42dm?且完全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出

后水面下降5cm.求该圆锥形钢材的高（兀取3.14）.

【答案】8dm

【解析】

【分析】根据题意，这个圆锥形钢材的体积就是下降5cm的水的体积，由此根据圆柱的体积公式可以求出

这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的高.

【详解】解：5cm=0.5dm

由题意得，3.14x（8+21x0.5+ix9.42j=8dm,

答：该圆锥形钢材的高8dm.

22.小普经营一家服装店，某次进了100件衬衫，花了8000元.销售时先每件加价20元销售，在销售了

若干件以后，剩余部分以每件亏损5元价格售完，现已知小普在此次经营中盈利大于1000元.问：他加

价销售的衬衫至少有多少件？

【答案】至少有61件

【解析】

【分析】先计算单件进价，设加价销伊的衬衫有x件，则剩余降价销售的衬衫为（100-切件，根据“盈利

大于1000元”，总销售额减去总成本大于1000,列不等式求解即可.

【详解】解：•••100件衬衫总进价8000元，

••每件衬衫进价为8000+100=80元，

设加价销售的衬衫有x件，则剩余降价销售的衬衫为（100-切件，

加价销售单件售价为80+20=10。元，亏损销售单件售价为80-5=75元，

根据题意得100x+75（100一x）-8000>1000,

解得x>60,

因为x是衬衫件数，为正整数，

因此x的最小值为61

即他加价销售的衬衫至少有61件.

23.如图，在V4BC中，点。是BC上一点，且把边力8绕着点4顺时针旋转一定角度

得到/比连接。石，交.AB于点F.

（1）若N8=35。，求/C的度数.

⑵若NCAD=NBAE,求证：DA平分NCDE.

【答案】（1）/C=70。

（2）见解析

【《耕斤】

【分析1(1)由等腰三角形的性质/8/。=/8=35。，由外角的性质可求解：

(2)由SAS可证V43CgV4E0,可得=可记/4DE=N/DC,可得结论.

【小问1详解】

解：:AD=BD,ZB=35°,

/BAD=/B=35。,

ZADC=ZB+/BAD=70°,

•.•AD=AC,

NC=NADC=70。；

【小问2详解】

证明：vZCAD=ZBAE,

/CAB=/DAE,

在V/8C和VXE。中，

AC=AD

•/•/CAB=/DAE,

AB=AE

:YAB8VAED(SAS),

/C=/ADE,

•・•/C=NADC,

/ADE=NADC,

:.DA平分/CDE.

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，掌握旋转

的性质是本题的关键.

24.如图，ZMOA=90°,△043是等边三角形，点尸在射线OM上，连接力尸，以力尸为边作等边三角

形,4PC,边力。与边8。相交于点。，连接8c.

(1)求证：ADVBC.

（2）连接。C,当△OBC是等腰三角形时，求NO0C的度数.

【答案】（1）见解析（2）。的度数为75。或90。

【解析】

【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到NP/C=NO/3=60。，AP=AC,力。=力〃，然后证明出

VP4OgVC48（SAS）,即可得到/ABC=NAOP=90°；

（2）首先求出NO3C=//8C-NN8O=30。，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

解：••・△4PC,△。力B是等边三角形，

Z.PAC=ZOAB=60°,AP=AC,AO=AB

:."AO=ZCAB

.•.V"。丝VC48（SAS）

・"ABC=NAOP=90。

:.ABLBCx

【小问2详解】

解：•••△045是等边三角形，

ZABO=60°,AB=OB

vZ^C=90°

:"OBC=ZABC-£ABO=30°

••♦△08C是等腰三角形

①如图，当8O=4C时，

AB=CB

••.NBC4=/B4C=45。

ZODC=ZBCD+4CBD=45°+30°=75°：

②如图，当8。=。。时，

:"OCB=Z.OBC=30°

："COB=180°-ZOCB-ZOBC=120°

•••/COB+404=180。

点。在4。上，即点。和点。重合，不存在NOQC,不符合题意;

③如图，当。。=。8时，

-OA=AB

•••4C垂直平分08

•••NOOC=90。

综上，NODC的度数为75。或90。.

25.如图，在V/8。中，BC=5,高4。、BE相交于点、O,BD=2,且4E=BE.

（备用图1）（备用图2）

（1）请说明的理由：

（2）动点P从点。出发，沿线段。力以每秒1个单位长度的速度向终点/运动，动点。从点8出发沿射线

8。以每秒4个单位长度的速度运动，P、。两点同时出发，当点“到达4点时，P、。两点同时停止运

动.设点户的运动时间为f秒，求当，为何值时，△力。。的面积为3.

(3)在⑵的条件下，点尸是直线力。上的一点且6