2026年高二数学秋季开学学情测试卷（人教A版 必修二）含答案

2026年高二数学秋季开学学情自测卷02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.考试范围：人教A版2019必修二

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.在复平面内，复数z=i-l所对应的点的坐标为（）

A.（1,-1）B.（-M）C.（U）D.（-h-1）

2.己知向量2=（6,1）,^=（1,0）,则向量々在向量加上的投影向最为（）

A.正3B.bc.回D.2b

3

3.小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8,小星投中的概率为0.6.若每人投一

次篮球，则至少有一人投中的概率为（）

A.0.48B.0.3C.0.12D.0.92

4.已知等腰三角形DAB。，AB=\,AO=BO=6,过点。作直线〃A48,则口A8。绕着直线（旋转360。形

成的几何体的体积为（）

A.2nB.兀C.—D.—

612

5.如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约

为（采用四舍五入法精确到I）（）

C.78D.79

6.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取与塔底8在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测

得ZBOC=120。，/BCD=45°，CD=20(G-l)米，在点C处测得塔顶A的仰角为30。，则塔底AA二()

米

A.10x/6B.20x/2

r40x/2n40G

33

7.在口ABC中，A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知q+4=4且lang二.smB若口43。面积为

22-cos8

1,则tanC=()

134

A.2B.—C.-D.一

243

8.如图1,在O4C4中，乙4cB=90。，AC=BC=26,。是线段48的中点.将口ACO沿8所在直线翻

折，得到如图2所示的三棱锥A-BCQ.若47加=120。，则三棱锥A-8C。外接球的表面积为()

D.6K

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.复数4=2+1,Z2=l-2i,复数4,z?在复平面内对应的向量分别为次，而，则下列结论正确的是()

A.OA-OB=0B.—=i

z2

C.匕7=3D.I+Z2对应的点在第二象限

10.点。在口人8。所在的平面内，则下面四个结论正确的是()

A.若|次卜「同=|反则点。是口八8。的外心

B.则点。为口八8。的垂心

[AB_ACI

C.若动点。满足而二次+2悯+同2e（O,+00）,则夕的轨迹一定通过「ABC的内心

D.若E,F,G分别为AB,BC,AC的中点，且AC=8G=2,OAOC=0,则历.赤的最大值为?

4

11.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱

的高相等，这就是“圆柱容球”，是阿基米德最为得意的发现.如图是一个“圆柱容球”，a，。2分别为圆柱下、

上底面的圆心，。为球心，石尸为员的一条直径.若圆柱的母线/=2,则下列说法正确的是（）

A.球。的体积为彳

B.圆柱的表面积为4冗

（4-

C.四面体CQE/的体积的取值范围为。,鼻

D.平面。E尸截得球。的截面面积的最小值为?

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABC。的直观图为梯形A'B'CTT,其中

A:B'1B'C,A*=4,D'C'=2,则原四边形ABC。的面积为.

13.在IZABC中，/84C=120。，AB=4,AC=6,点。在边8c上，且NCAO=3/84。，则4。=.

14.在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则在所有符合上述要求

的选法中，选中方格中的4个数之和为110的概率为.

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

在复平面内，。是原点，向量(崩对应的复数是Z1=l+i,向量对应的复数是Z2=〃?+2i,

(1)若五是纯虚数，求加;

(2)若方，丽的夹角为锐角，求〃?的取值范围.

16.(15分)

如图，在三棱锥P—A8C中，P4_L平面ABC,AB_LAC,。、E、尸分别是棱尸A、PB、PC的中点，连接

DE,DF,EF.

⑴求证:平面DEF//平面ABC；

(2)若P4=8C=2,当三棱锥ABC的体积取最大值时，求二面角A-所-。的平面角的余弦值.

17.（15分）

某校举办党史知识比赛，比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）

中，随机调查了100位同学的测试成绩，按［50,60）、［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100）分组，并绘制

出了如图所示的频率分布直方图.

（1）若规定成绩排名前25%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？

（2）若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：s；：

〃，y,.记总的样本平均数为卬，方差为一.证明：S2=----$；+（无-w）~］+一E

⑶已知随机调查的100位同学的测试成绩落在（70,80］内的平均成绩是77分，方差是4分，落在［80,90）内

的平均成绩是84分，方差是6分，两组成绩合并后的平均数为：，方差为求一

18.（17分）

在△48C中，内角A,从C的对边分别是mb,c,且告=sin's吗.

a-bsinA-sinC

⑴求角B的大小；

（2）若点。满足而二3友，口“。=3,求A44C面积的最大值.

19.(17分)

如图，在四棱锥P-A8CO中，底面ABC。为平行四边形，且人6=3,AO=4,ZDAB=^,M为8c的中

点，点P在平面ABCD内的射影为点H,且44_LOM.

(2)当口尸4B为等边三角形时，求点H到平面PBC的距离；

⑶若PA=〃?(〃?>V21),NPAH=8,记三棱锥P-ABH的外接球表面积为，当函数取最小值时,

二面角3-PC-。的大小为g-6,求实数〃7的值.

2026年高二数学秋季开学学情自测卷

数学.答案及评分参考

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

12345678

RCDCCRCA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

910II

ABACDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分.

12.127213.—14.—

212

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

【答案】⑴加=—2；(2)(—2,2)U(2,*O)

r港初1,1、zi__++_(m+2)+(m-2)i

[J(1)—~—24—2A-2A-

z2加+2inr+4nr+4ni+4

in+2(m-2)i

=~~~7+—;~~~

in+4nr+4

由于五是纯虚数，所以与a=0,〃?=-2.

z2m'+4

(2)由向量次对应的复数是马=l+i,向量而对应的复数是Z2="?+2i可得

04=(1,1),砺=(m,2),

若殖，1月的夹角为锐角，则"i/7〉oH.次，07的夹角不为o,那么

m+2>0

<,解得m>-2,且/"w2,

〃[工2

所以，〃，的取值范围(-2,2)=(2,+8).

16.(15分)

【答案】（1）见详解；（2）冷

【详解】（1）;。、E分别是棱以、尸8的中点，

DE是口口48的中位线，

7.DE//AB,

•/DEN平面ABC,ABu平面ABC,

。石//平面48。，

同理。尸"平面ABC,

•••。£：0。尸=。,。七匚平面。£/，。尸U平面。后厂，

平面。EF//平面ABC.

（2）由已知B4JL平面ABC,4C_LAB,PA=BC=2,

AB2+AC2=BC2=422A8AC，则/WAC42,

V=-PAS.=-X2X-ACAB=-ACAB<-,

3ABRCC3233

当且仅当AB=AC=42时取等号.即三楂锥尸-48C的体积取最大值,

作DG1E/7,垂足为G,连接AG,

•••PAJ.平面A8C,平面ABC7/平面。石尸，

.•.PA_L平面DE7,

•.•E/u平面。£尸，/.PALEF.

・.•DG。PA=。，EF_L平面4OG,AGu平面ADG,

7

EFlAGf.•.乙46。是二面角八-£7-£）的平面角

22

由题可知06=!它尸=!4。=1，DA=^-PA=\fAG=jDA+DG=—，

24222

£

cosZ.AGD==—

AG415,

T

17.（15分）

【答案】（1）87.5；（2）见详解；⑶？=竿

【详解】（1）由题意可知，进入投赛的同学成绩的分数线为样本数据的第75百分位数,

设样本数据的第75百分位数为，,

由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得（O.OO5+O.Ol+O.O15+O.O3+a）xlO=l,

解得a=0.04,

前三个矩形的面积之和为(0.005+0.01+0.03)x10=0.45,

前四个矩形的面积之和为0.45+0.04x10=0.85,所以，«80,90）,

由百分位数的定义可得0.45+(-80)x0.04=0.75,解得t=87.5,

故进入决赛的同学成绩应不低于87.5分.

(2)s-y-），+y-可一,

=7)-+2S(x,-x)(x-H-)+^(x-vv)_.

M/-Ir-l

又X+%2+。•

=2(x-+再+…+*,“一wxj

二2(x-w)[mx-〃[x]

=0.

又£卜一卬）=加卜一卬）

w

同理-y+y-wj=+〃(J-w),

所以八£ms；+〃？(k-卬)+ns；+〃()'-w)]

，i

所以./=_丝s；+R-引+----s；+(E].

m+n.m+n

（3）由题意可知，成绩落在［70,80）的频率为0.03x10=0.3,

成绩落在［80,90）的频率为0.04x10=0.4,

0.304

所以,z=-----------x77+——x84=81,

0.3+0.40.3+0.4

=1X[(77-81)2+4]+^X[(84-81)r：+6120

7

18.（17分）

【答案】（1）8=^：（2）46

.....csinA+sinB叱“ca+b

【详解】（1）因为一——，所以一r=——，

a-bsinA-sinCa-ba-c

整理得«2+c2-b2=ac，则cosB==—=^,

2aclac2

因为（）＜6＜兀，所以"一1.

（2）以点8为起点，记而=》,前=1贝l」B|=c，M|=4,

’.——ac

且由5=60。，有“•i，=〃ccos60=万，

因为而=3武，所以而=：丽+=前=：仅+3q,

444

由8。=3,得9=而『=为+3评，

解得9=*2+%/+6『0）=也卜2+9/+3农.）

即9a2+3cic+c2=144>则144—3ac=9a2+c2>2y9<rxc2=6ac，即acW16,

当且仅当9/=/,即。=3,c=4＞5时取等号,

则S诋=’acsin8=—ac<—x!6=46,

尔收244

故AABC面积的最大值为4G.

【答案】（1）见详解；（2）述；（3）2"

6

【详解】（1）因为J•平面/WCO,OMu平面ABCO,则P/7_LQM,

且A〃_LQM,PHcAH=H,2”,人〃<=平面"〃，

可得。M_L平面，

且PAu平面PAH,

所以PA_LOM.

（2）作〃E_LA8,”“_LBC,垂足分别为反尸，连接P£,P",

若DPA8为等边三角形，则上为AB中点，

因为P”_L平面A8CO,8。匚平面48。。，则PH18C,

且PHcHF=H,〃厂u平面p”产，

可得8cd.平面尸，尸，

且P/u平面P”尸，所以BC1P/7.

对「平行四边形ABC。，建立平面直角坐标系，如图所示,

则A（0.0）,8（3,0）,C（5,2鸟O（2,2@.M（4,G）W，0

设，（内），则而二（内）,丽=（2,-百），

______2

若可得丽・丽=2）-岛=0,即y=

v3

|,则）,3即百）

因为七为A3中点，可知：x=

由8（3.0）,。（5,273）可知直线BC:），=G（x-3）,且前二（2,2#「

设尸但£（4-3））,则赤=04扃-4百）

由HF_L8C可得-8C=2a—3-6。-24=0，

解得〃=?，即而二155斤

~8f

O

则A〃=@，"尸=上叵，

24

可知三棱锥P-HBC的高=JPA2-AH2=晅

2

在DP8c中，边BC的高PF=而¥7而=亚~,

4

设点H到平面PBC的距离为d,

由匕，8c-—-^―-X—'<—x4=-Jx—Xx4,解得d,

32243246

所以点〃到平面PBC的距离为迫.

6

(3)由题意可知：PH=ms\nO,AH=mcosO,

2

由(2)可知：点”在直线丁=耳大上,

3

结合（2）中数据可得：sinZ/ME=—j==—j=,coaZHAE==-j=

FF

在匚中，由