2027年高考数学一轮复习（压轴题）-数列的奇偶项问题与子数列问题（原卷+解析）

数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型

子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的

重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

A题型01数列中相邻两项和或积的问题

技法指导

递推公式为4〃+1+□”=/(〃)或。”+「即=/(〃)的形式，求通项公式或数列求和的方法

(1)求通项公式：由4”+]+。”=/(〃)与上式作差可得隔项递推公式4”+2—。”=/5+1)—/(〃)；对于后一种可!

由小+25+|=/(〃+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解.

(2)求前〃项和S”：求出通项公式，则S=S奇+S偶：或者利用〃”+i+a”=y(〃),可直接并项求和.\

,■・■■•・■■■•・■■■■・■■■•♦■•■■・(■■■・・••・・■・■・•・・・♦•・・・■・■■・・♦••・■■■■■*•♦•・•・・•■・■•・■♦•■•■■・・■•••♦・•■■■■■・・••♦•・■・(■■・・•・・•■■・・一・・・・♦•••・・((・■•••・・・•・■■・・・・♦•・・・■・■■■・・・•••・・・・・••・♦♦・•・・・・■«・♦•・■■・■・・・••♦・・■■■■■•J■•

1.[2025•广东清远•二模)已知数列｛%｝的前〃项和为S,r=1+4〃(〃eN.).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列仁｝满足+c.=%,且不等式g+2/2。对任意的“wN,都成立，求G的取值范围.

2.12026•广东•一模)在数列｛。"｝中，q=2,%=8,且对任意的〃eN*,都有凡+2=4勺川-4%.

(1)证明：｛见+「2凡｝是等比数列，并求出｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S”.

A题型02a」/(〃)，〃为奇数型

"1g(〃),〃为偶数

技法指导

1.当〃为偶数时，S”=m+42+。3H--a,n其中奇数项、偶数项各有]项，可直接分组求和，即S”；

=(。1+〃3+…+。”-3+d)+(。2+。4+…+。〃-2+。").

2.当〃为奇数时，S”=m+a2+a3+—+q〃-i+a〃=S"=S〃_i+a”，其中S〃_i可利用上述结论代入，然后再

快速求解S〃=S”i+。”.

I

3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

i从而求出其通项公式.

3.(2023•新课标II卷T18)己知㈤｝为等差数列，:数，记J，7；分别为数列忆｝,也｝的

2/,〃为偶数

前〃项和，§4=32,1=16.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时,Tn>Sn.

4.12025•辽宁大连・模拟)若数列应｝和｛“｝满足：6=1,瓦=1,且「：：一4”

/T4-Infl

⑴设证明：｛q｝是等比数列；

⑵设4=源T试求⑷的前"项和5,•

A典型03含有(-1)n类型

技法指导

对〃分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.:

------------------------------------------------------------------------------------------J

5.(2025•河南郑州•二模)已知数列｛%｝的各项均为正数，前〃项和为S”，且4=1,£=是1-S”与SN的

等差中项.

(I)证明：数列｛底｝是等差数列；

(2)设〃=(-1)"('+凡),求数列也｝的前2〃项和凡.

cq1

6.(2026•河北保定•一模)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,鼠二.

〃+1n2

⑴求S”

⑵若”=(-1)”即2,求数列也｝的前〃项和.

—+i

A题型04两数列的公共项

1技法指导

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是:

等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.j

--------------------------------------------------------------------------------------------------J

7.(2026・重庆万州二模)已知数列应｝的前〃项和3=现产，也｝为等比数列，公比为2,且4,4+1,

&为等差数列.

⑴求｛%｝与｛"｝的通项公式;

（2）壬数列｛4｝和｛"｝的公共项由小到大排成的数列记为｛%｝,求数列｛%｝的前〃项和Z,.

8.12025•山东青岛•二模）已知等差数列应｝满足%-％=8,且%-1是q和%+1的等比中项，数列出｝的

前"项和为S”，且满足％=3,2s“=%L3.

（1）求数列｛%｝和也｝的通项公式；

（2）将数列｛%｝和也｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列｛Q｝,keN,，令4=log3/,

求数列的前攵项和。.

A题型05数列有关增减项问题

技法指导

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项

!（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.

9.（2025•陕西咸阳二模）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S,,且%M=2S.+2（〃€N*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式.

（2）在巴与之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3

项乙，4,dp,（其中〃?，七夕成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明

理由.

1（）.（2025•安徽黄山一模）已知数列也｝为等比数列，正项数列也｝满足4%=4-4-4,且q=2,4=1,

a、=瓦.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式;

（2）若从｛4｝中去掉与数列也｝中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列&｝,设

400=。1+。2+。3^。100，求工00.

延

1.（2025•福建福州•期中）在数列｛%｝中，已知％=1,%•%”=（］,记S”为｛叫的前〃项和，"=。2n+%”T，

/?eN,.

（1）判断数列｛4｝是否为等比数列，并写出其通项公式;

⑵求数列｛"”｝的通项公式.

%+1,〃为奇数,

2.12（）21•全国・新高考1卷T17）已知数列卜，“｝满足％=1,

4+2,〃为偶数

（1）记“=出”，写出4,4,并求数列帆｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前20项和.

3.12025•河北秦皇岛•二模）已知数列｛%｝是公差大于2的等差数列，其前〃项和为S“，的=$，且4+1，

出+1,2成等比数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）令a=（-1严;：；；,求数列也｝的前n项和TN.

4.12025•黑龙江哈尔滨•二模）已知数列｛%｝满足q=5,24=3"（〃eN）,记"=4-3".

⑴求证：也｝是等比数列；

（2）设c“二等L数列｛%｝的前〃项和为S”.若不等式（T）"/US”+£对一切*N•恒成立,求实数义的

取值范围.

5.（2025・河北廊坊联考）已知数列也｝的前〃项和S“满足2S”-%=〃，〃eM,且生=3.

然卜，?A2）是常数歹IJ：

（1）求证:数列

（2）求数列｛《,｝的通项公式.若数列｛"｝通项公式4=3〃-2,将数列｛为｝与也,｝的公共项按从小到大的顺

序排列得到数列仁｝，求｛cH｝的前〃项和.

4〃+2,〃为奇数,

6.：2025•陕西西安•二模）已知数列｛%｝满足3=1，%

2勺,曾为偶数,

（1）记4=〃2.+2,求”,k并证明数列｛4｝是等比数列；

⑵记C”=a2tl+3,求满足q+。2+七+…+c“<10（）的所有正整数”的值.

7.12025•福建芾田•二模）记S.为等差数列｛%｝的前〃项和.已知2%=%+14H=15.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）记集合/I=1卜二%,〃c=卜卜=2"+eN*｝,将4U8中的元素从小到大依次排列，得到新数列

也｝,求也｝的前20项和.

8.[2025•山东滨州•二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把

这样的操作称为该数列的一次“积扩充如：数列2,3经过第一次“积扩充”后得到数列2,6,3；第二次“积

扩充”后得到数列2,12,6,18,3；....设数列1,2,4经过第〃次“积扩充”后所得数列的项数记为4，

所有项的积记为2.

⑴求4和2；

⑵求4,和2.

(3)求数列｛2｝的前〃项积q.

9.(2026•内蒙古鄂尔多斯一模)已知等差数列｛4｝满足《+?=6,=3.数列｛0｝的各项均为正数，々=2,

且战-她川+2"-%=0.

(1)求数列｛吗,也｝的通项公式;

”,〃为奇数

⑵设c”=，求数列匕,｝的前2〃项和

一'一，〃为偶数

%

10.(2026•河南南阳•模拟预测)记数列｛为｝的前〃项和为S”，己知《=1,｛2%-邑｝为常数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵在知与。川之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为力的等差数列，求数列'十，的前〃项和a

11.(2026•河北保定•一模)已知等差数列｛4｝满足4+%川=方+1.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)设数列也｝满足“=(-1)"刀；+2”,求也｝的前2〃项和数及其最小值.

12.(25-26高二上•广东广州・期末)记邑为等比数列｛对｝的前〃项和，已知3S,,+4+1=l.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设a=(一1广吗，求数歹IJ｛〃,｝的前〃项和T„.

13.(2026•宁夏银川•模拟预测)设函数/(x)=Gsin2@x+cos2o+13>0),且/(力的图象相邻两条对

称轴的距离为三.

2

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)求/(x)在xe(0,皆)上的值域；

⑶洛/(“所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列卜.｝，求数列的前3()项和.

14.(2026•云南昭通・模拟预测)已知各项递增的等比数列｛%｝,等差数列也｝其前〃项和分别为S.，Tn,

满足S2=q=6,54=30,4=20.

⑴求｛%｝，｛"｝的通项公式；

(2)洛数列｛4｝与也｝中的项按从小到大依次排列构成一个新数列｛，｝,求数列匕,｝的前50项和do.

15.(2026•四川攀枝花•一模)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，a,>0,eN.),且4,4+1,S”成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若”=(-1严•士一，记数列匐的前2〃项和为证明："

",4+13

16.(2026・陕西咸阳•二模)已知数列｛4｝,也｝满足a.+%=2%也+i=32+2,〃eN•，且a=%=%+2=2.

⑴求｛%｝，｛a｝的通项公式：

⑵求数列｛。也｝的前〃项和S.；

(3)在数列｛4｝的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列｛4｝中的项的概率.

数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型

子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的

重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.

A题型01数列中相邻两项和或积的问题

技法指导

递推公式为4〃+1+0”=/(〃)或的+厂。“=/(〃)的形式，求通项公式或数列求和的方法

(1)求通项公式：由a”+i+a”=/(〃)与上式作差可得隔项递推公式4”+2—/(〃)：对于后一种可

由%+2“+|=/(〃+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解「

12)术前〃项和S”：求出通项公式，则S”=S*+S偶：或者利用品+|+扇=/5),可近接并项求和.

1.12025•广东清远・二模)已知数列｛可｝的前〃项和为S”=〃2+4〃(〃eN)

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝满足cn+1+%=%,且不等式c.+2/N0对任意的〃wN.都成立，求q的取值范围.

【解题指导】(1)求〃一►由%=5.一S-i求通项

u\

(2)确定数列｛%J为等差数列一＞分奇偶求数列的通项公式一＞分奇偶分别转化恒成立.求解/的取值范围.

【解】(1)由题意得，

①当〃=1时，％=£=5：

22

②当〃22时，an=Sn-Sn_^=n+4/7-(/?-1)-4(w-1)=2z?+3.

当〃=1时，q=2+3=5,

【易错提醒】注意验证〃=1的情况

:.an=2/7+3.

(2)由(I)知c”+]+c”=2〃+36eN*),Q)

当〃=1时，c2+cx=5：

当〃之2时，C0+%=2(〃-1)+3,②

①-②得-*=2(〃22),

【技巧】构造隔项等差数列：a”+i+a”=p〃+q(p,尸0)=4”.2+。”44=P(〃+1)+夕=两式相减得="〃+2—4”=〃

•・•数列｛。2.｝是以。2为首项，公差为2的等差数歹U，

数列｛c.」｝是以G为首项，公差为2的等差数列.

当〃为偶数时，C.=Q+2Xg-1卜〃+3-不

IZ2

当N为奇数时，c“=G+2x节匚1)=〃-1+/,

n-\+c.,n=2k

_q=|«“>AeN.

〃+3-q,〃=2k

又对任意的〃eN*都有/+2/N0成立，

2

(i)当〃为奇数时n>l,qr+2/=〃_1+q+In>0恒成立,

即-c,42/+〃-1对〃为奇数时恒成立.

【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值

当八二1时，(2/+〃-1%=2,

...-C]42,即q>-2；

2

(ii)当〃为偶数时〃>2tcn+2n=〃+3-q+2/20恒成立，

即q42/+〃+3对〃为偶数时恒成立.

当〃=2时，(2〃2+〃+3)mm=13,AC,<13.

【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时〃为偶数，且AN2

综上所述，G的取值范围是

2.12026•广东•一模)在数列｛%｝中，4=2,%=8,且对任意的〃eN,，都有q.2=4勺厂包.

⑴证明：｛。川-2凡｝是等比数列，并求出｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前〃项和S..

【解】(1)因为。1=2,。2=8,所以“2-2q=8-2x2=4.

因为%+2=4。,用一4%,所以an+2-2az=2向一2an),

又02-2%=4*0,则有%「2a产0(〃wN+),所以’2,

--2atl

所以｛/+「2aJ是以4为首项，2为公比的等比数列.

所以2%=4x2-'=27所以爵喙=1，

又+=1，所以"4是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以故=l+(〃T)xl=〃，所以％=〃2.

(2)设S”=1・2+22+3・23+…+〃2,

贝I]2s>7=1.22+2.23+--+(〃-1).2"+〃-2"+1,

两式相减得-S“=2+22+…+2"-〃・2"“=二一小2"”=(一〃2网-2,

"1-21,

则5.=(〃-1)-21+2.

A题型02a』/(〃)，〃为奇数型

"鼠(初〃为偶数

;技法指导

I

1.当〃为偶数时，S〃=ai+a2+a3+…+a”_i+。"，其中奇数项、偶数项各有]项，可直接分组求和，即S,

=(。1+。3+…+。”-3+。"-1)+(02+04+…+。”_2+。〃)•

2.当〃为奇数时，S"=m+a)+ai+…+q"_i+a”=S"=S”_i+。”，其中S”-i可利用上述结论代入，然后再

快速求解S〃=S〃_i+a,,.

3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，j

从而求出其通项公式.

4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，

从而求出其通项公式.

3J2023•新深标II卷T18)已知｛(｝为等差数列，勿」?一6学工数，记邑，。分别为数列｛%｝,也｝的

2。八〃为偶数

前“项和，$4=32,7；=16.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时，Tn>Sn.

【思维探究】

看到什么想到什么

｛%｝为等差数列联想等差数列的通项公式

-6,“为奇数求出数列｛%｝的通项公式，表示出“

"12%,〃为偶数

$4=32,4=16.用q,d表示S4及7；,联立方程组求解

｛叫的通项公式把心”代入｛勺｝的通项公式

当〃〉5时，Tn>Sn利用奇偶分组讨论的方法将4,表示出

来，对于数列的比较大小可以用作差法

/、a-6,n=2k—\

【解】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,而，=；n，“£N,,

，〃一2K

则4=q-6也=2a2=2q+2d,b3=/-6=q+2d-6,

f5=4a,+6d=32

于是〈4，解得q=5,d=2,4=q+(〃-l)d=2〃+3,

4=4q+4d—12=16

所以数列｛勺｝的通项公式是勺一筋+3.

J2/7-3,//=2k-l

(2)由(1)知，s,=〃(5+；〃+3)=〃2+4〃,b=-火eN・，

"n4〃+6,〃=2%

当N为偶数时,%+"=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

,13+(6/Z+1)〃3,7

“2222

371

22

当〃>5时,Tn-Sn=(-n+-n)-(n+4n)=-n(n-1)>0,因此7；>S”,

【技法】作差法比较两个实数大小

3735

22

当,为奇数时，7；,=7；I+1-^+1=-(W+1)+-(/7+1)-[4(«+1)+6]=-A/+-«-5,

351

22

当"5时，Tn-Sn=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此7；>S”,

所以当〃>5时，Tn>Sn.

【解后反思】当〃为偶数时：S“=q+%+%+…+%T+4,其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分

组求和S.=(6+%+.一+牝-3+勺-1)+(°2+44+,一+4-2+4”)；

"ab2a

4.12025・辽宁大连・模拟)若数列｛3｝和也｝满足：q=l,4=7,且(向二：1；

⑴设c""i，证明：｛%｝是等比数列；

(2)设dn=7'*鬻，试求⑷的前〃项和n■

[4。“一",〃为偶数

【解】(1)-b“_2a“，bn+l=3bn-4%,

%-加="-2an-3b“+4a”=2(q-b“)，

c,+1=2cn,又C]=q-b]=-6w0

二•｛%｝构成以-6为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)可知c“=-62“=-3-2",

.•.%-2=-32.认=%+3.2"

:・％+]=%+32,-2%=—/+32',

二.%-2向7a「2"）

又4-21=-1W0，｛%-2"｝构成以T为首项，-1为公比的等比数列

...2"=-1.1尸=（-1/4=2"+（-If,

"=2"+（—1）"+3・2"=2-2+（T）”

.[-3・2”,〃为奇数

“"[3,〃为偶数

,nn+,

・•・当〃为偶数时，Sn=-3x（2+2-+.--2-'）+3x^=-2+|«+2

当，为奇数时，,=，川一4川=一2".2+7]（〃+1）+2-3=—?+51

一2"+2+3〃+,,〃为奇数

所以5=:2

一2.+士〃+2,〃为偶数

2

A题型03含有（-1片类型

技法指导

对〃分奇、偶进行讨论，转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解.

5.（2025•河南郑州•二模）已知数列｛%｝的各项均为正数，前〃项和为S”，且6=1,匹是1-5”与Sz的

等差中项.

（1）让明：数列｛四｝是等差数列；

（2）设a=（一1）".（邑+凡），求数列也｝的前2〃项和心.

【解题指导】（1）等差中项列式-完全平方公式计算化简一＞由定义得出等差数列；

（2）等差数列的通项公式一＞求出S”一借助（-1）”正负分组一公式求和得出勺

【解】（1）因为瓦是1-S〃与S”.1的等差中项，所以2师=1-工+，“，

所以s.=1+s向一亦;=（宿q,

因为数列｛凡｝的各项均为正数，所以S.＞0,

所以y[^n~』Sn+i-1»所以JS”+[-#7=1»

所以数列｛疯｝是公差为1,首项为何=口=1的等差数列：

（2）因为数列｛庖｝是公差为1,首项为6=1的等差数列，

所以后=l+（〃-l）xl=〃,

所以S”="2,当〃=1时，%=I,

当心2时，an=Sn-S,i=/_(〃_球=2〃_1,

所以=2〃一1,

所以2=(-l)".(S“+qJ,

【技巧】求和时通过(一1)”实现正负交替，要注意符号的变换

凡=一$-。]+S?+&一$3-%+S$+%+••+$2。+a2n

=(S2-Sl)+(54-S3)+---+(S2n-S2zf.1)-(a1-a2+a2n)

=%+%+…+%”_(%一一一,”)

=_(4|+%+..•+42”-|)+2(%+%+-'+42”)

〃(~%+r%”)

/?(1+4/?-3))〃(3+4〃-1)

22

=-〃(2〃-1)+〃(4〃+2)=2〃。+3〃

【解后反思】通项中含有(一1)”的情形

(I)等差数列的通项公式乘以(一1)1用并项求和法求数列前〃项的和，

如诙=(一1)"(2〃-1),前20项的和

〃|+。2+…+。2。=(-1+3)+(-5+7)+…+(—37+39).

(2)等比数列的通项公式中含有(一1尸，其前〃项和可写成分段的形式，可求最值，

如等比数列｛知｝的通项公式为。“=(-1)门•：”，则其前〃项和5,=1-(-3”，求〃=£一：的取值范围时，〃

分奇偶讨论，求7“的最值.

S"\_

6.(2026•河北保定一模)已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且q=l,

2

⑴求S”

(2)若2=(-1)”2,求数列也｝的前〃项和.

anan+l

CC1

【解】(1)因为且4=1,

n+1n2

可知数列是以首项为多=1,公差为5的等差数列,

(WJ12

riS”,1/W+l+

则在=+](〃一)二〒，所以S,=:'

(2)由(1)可知：s"="(〃+l),

”2

当於2时，则见得「九二山»-粤L，,

z2

且。=1符合上式,所以4二〃，

,/八”2〃+1/,▽2〃+1,v>n1

可得"=(—1)——=-1)z—

%%+】〃优+1)5〃+1

设数列｛2｝的前〃项和为。，

则北=“+9+6+5-《+)+小-『emj=T端，

所以数列出｝的前〃项和为—1+H1-.

71+1

A题型04两数列的公共项

技法指导

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是

等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.

♦••・・・・・((・・・・・•・・・・・・・・・•••・・・・・・・・・•••・・・•・・・・・・・・・•・・・・・••・一・・・・・・・・・・•・・・・・・・••・・・・•・・・•・・••・・■・・・・・・・•■•・・・・・・・•・・・・•・・・・・■・・・・・■・・・・・・・・・・・・■・・・・・・♦・・・・・・・・•••・・・・・・・・・・・・・・•・・・・・・•・・・■・■■・・・・•・•・••・

7.(2026・重庆万州二模)已知数列m｝的前〃项和斗=电/，｛a｝为等比数列，公比为2,且*4+1,

4为等差数列.

(1)求应｝与也｝的通项公式;

⑵壬数列｛%｝和帆｝的公共项由小到大排成的数列记为忆｝,求数列｛%｝的前〃项和Z,.

【解】(1)由s“二即二心得，

2

当〃=1时，q=£=2,

当心2时，%n=sn「sz”l-l/即2包-曳匚a2(匕1)=人］,

当〃=1时，上式也成立，所以凡=3〃-1.

依题意,4+&一2(3+1),々+々々2-2(4.2+1),

解得％=2,所以"=2".

(2)数列｛%｝和山｝的公共项从小到大依次为小2，2，27，一，

所以2、23，展，27,…，构成首项为2,公比为4的等比数列，所以q=2x4”l

则…+—华富中

8J2025•山东青岛•二模)已知等差数列｛%｝满足/-%=8,H.%-1是《和%+1的等比中项，数列｛a｝的

前〃项和为s”，且满足4=3,2S.=%「3.

（1）求数列｛%｝和的｝的通项公式;

（2）将数列｛q｝和也｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列｛/｝,kwZ,令&=log3G，

求数列的前左项和

【解】(1)va3-at=8,.*.2d==4,

11.(a2-1)'=«]-(i73+1),即(q+3r=q•(《+9),«)=3,

an=3+(〃-1)x4=4〃-1,

•・・2S“=%-3,〃22时，2S—,两式相减得,2bH，

即加=3々，(n>2),且也=2耳+3=纥+3=9,.•.4二3[,

数列｛4｝是首项为3,公比为3的等比数列，.•也=3"；

（2）数列｛叫中的项有｛3,7,11,15,14,23,27,...｝,数列｛2｝中的顶有｛3,9,27,81,243,...｝,

观察规律发现，当”中的第1,3,5,…，项在｛%｝中有相等的数，即公共项｛%｝=｛3,27,243,…,3"-：..｝,

即q=32i为通项，〃WN・，・・.4=log332i=24-l,

1_11(11]

44T—(及-1)啰+1)―八呆-12k+\)

d/J44..…dJi21ddkAJ2Va+)

-x----------------,故T=--------

22k+\2k+1k42k+l

A题型05数列有关增减项问题

技法指导

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项i

（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.;

9.（2025・陕西咸阳二模）已知等比数列｛?｝的前〃项和为S,,且％讨=2，+2（〃€"*）.

（1）求数列血｝的通项公式.

（2）在仆与之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3

项（，&.，dp,（其中加，k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明

理由.

【解】（1）由题意知：

当力=1时：。闻=2%+2①

当〃=2时：a、q'=2(q+qg)+2②

联立①②，解得q=2应=3.

所以数列｛%｝的通项公式/=2x3"，

(2)由(1)知勺=2x3"，%+I=2X3".

所以勺+[=an+(n+2-\)d.

设数列｛4｝中存在3项4，4,dp,(其中加，〃，p成等差数列)成等比数列.

则&2乜・0,

12ro+p2

3/4x3*7丫4x3)4X3「Tllrlf4x3^Y4x3-

所以------=----------------,即------=-------------

k+\)w+1p+1k+\)(〃z+l)(p+l)

乂因为〃?，k,p成等差数列，

所以2k=m+p

所以(％+l)2=(〃7+l)(p+l)

化简得k2+24=mp+m+p,所以A二=mp

又2k=m+p,所以攵=m=p与已知矛盾.

所以在数列｛4｝中不存在3项4,,dk,%成等比数列.

10.(2025・安徽黄山•模)已知数列｛"｝为等比数列，正项数列｛%｝满足4%=/“一4-4,且%=2,伪=1,

%=4.

(1)求应｝和0｝的通项公式;

(2)若从｛4｝中去掉与数列｛4｝中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列｛%｝,设

Too=°1+。2+03+,,,+0100,求Too•

【解】⑴因为4。“=4-/-4,

所以。3=他”+2))又4>0，

所以。川=4+2.

即。用一%=2,又4=2,

所以数列｛凡｝是首项为2,公差为2的等差数列.

所以=q+(〃-l)x2=2〃，即。“二2〃，

设也｝的公比为心又4=4=8,4=1,

所以g3=8,解得2,

所以4=2"，

综上，数列｛4｝和也｝的通项公式分别为%=2","=2"，

(2)由(1)知々=1,4=2=卬，4=4=。2，4=8=包，4=16=%,

"=32=66，&=64=/2，&=128=,bg=256=a128.

所以400=G+G+。3+…+。100=3+生+%+…+々07)

-也+4+…+a).

107(2+214)2(l-f)

=------------------=11JU2.

21-2

1.（2025•福建福州•期中）在数列｛%｝中，已知4=1,a“q”=（g），记S”为｛%｝的前〃项和，"=~+』T，

（1）判断数列出｝是否为等比数列，并写出其通项公式；

（2）求数列｛%｝的通项公式.

【解】⑴因为勺•—=（；）”，所以一•八=（；,，

所以吐=；，〃>2="，

外22

又％=l,q%=!，所以4,二!，

因为"=。匕+。2”.1，

1J

所以““一〃2”+2+〃2“+1—产”+2的1二1,

“。2”+。2”7生”+。212

所以｛4｝是以4-%十6-；为首项，公比为y的等比数列，

（2）由⑴知%+2=；。”，所以《，%9,…是以4=1为首项，g为公比的等比数列;

。2,4，。6,…是以为首项，公比为g的等比数列，

，〃为奇数

所以凡

为偶数

2.（2021・全国・新高考1卷T17）已知数列｛%｝满足4=1,〃2鬻

4+2,〃为偶数.

（1）记”=%,写出“，”，并求数列也｝的通项公式：

（2）求｛/｝的前20项和.

【解】⑴显然2〃为偶数，则%向="+2M2/2=%的+1，

所以。2.+2=。2n+3,即%=2+3,且々=%=6+1=2，

所以｛4｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是白=2也=5也=3〃-1.

由题意知6=1,々2=2,%=4，所以A-。2=2也一%=%+1=5.

由%+「勺=1（〃为奇数）及。向-％=2（〃为偶数）可知，

数列从第一项起，

若丹为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若升为偶数，则其后一项减去该项的差为2.

所以4+2一%=3（〃wN'）,则"="+（〃—1卜3=新一1.

(法二)由题意知数列｛%｝满足।耳)：(〃eN').

所以b.=a^=a.+—+-——=1+1=2>

12122

3(-1?3

b2=ci4=a3+——=a3+1=a24-^+(+1=%+2+1=2+3=5,

=aa+aa++aa+a

则以二出”(2n~2n-\')(2n-\~2n-2')'"(2-\)｝=1+2+1+2+•••+2+1+

=/jxl+2(w-1)+1=3/7-1.

所以。=2也=5,数列｛〃｝的通项公式"=3〃-1.

(2)S20=«!+«2+«3+■••+«,()=(a(-t-a3+a5+---a19)+(a,+a4+a6+---+a20)

=(P|-i+仇—i+“-i+…+狐―1)+4+“+”+…+a。

=2x立也1W-10=300.

2

3.12025•河北秦皇岛•二模）已知数列｛%｝是公差大于2的等差数列，其前〃项和为S“，的=5,且4+1,

生+1,%-2成等比数列.

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令bn=(-1严,求数列也｝的前〃项和刀,.

【解】(1)设等差数列｛%｝的公差为"(d>2),贝ljq=〃2-d=5—",牝=%+3d=5+3",

由4+1,a2+\,%—2成等比数列，得(6-d)(3+3d)=62,而d>2,解得+=3,

所以数歹|J｛为｝的通项公式为%=&+(〃-2M=3〃-1.

(2)由(1)得“=(-1严;(：d=(-1严(占占，

当场为偶数时，kiJV+tM+t)弋

、!/”—回mT/1、，11、/I1、/I1\11、/11、11

当"为奇数时，T=(-+-)-(-+-)+(-+-4-(,-+刀+•,一z(13Th「■>+(=h2—,—丁，

n255881111143〃Y3〃T3〃T3〃4223〃垃

1

〃为偶数

所以q=:73〃+2'

1

—+，〃为奇数

123〃+2

4.12025•黑龙江哈尔滨•二模)已知数列｛%｝满足q=5,。川-2a“=3"("wN"),记"=。“-3”.

⑴求证：也｝是等比数列；

(2)设。“二誓人，数列｛j｝的前〃项和为S”.若不等式(—1)晨＜，+£对一切〃恒成立，求实数力的

42

取值范围.

【解】⑴山已知，•・•q+「2a”=3",

；小=3"+2…-3川=3〃+巩-3x3”=4-2x3-=2&-3")=^，

1

乂,.,q=5,/.bj=ax-3=5-3=2,

••.数列也｝中任意一项不为0,导=2,

nn

.••数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，bn=2x2-'=2.

(2)由第(I)问知，b„=T,

则c”=竽，设数列｛。｝的前.〃项和为S”,

”一仁3572〃+1工

所以Sn=5+手■+»+…+—^—①,

1r3572/i+i

2S"=尹+尹+干+…+2"+i②,

所以①•②可得:

43"+八+二2i+1

22232,2Hl

2

Z[、〃

所以S,=5-(2〃+5)-.

12,

In

由（T）“）＜S“+券,得(-1)“/1<5-(2〃+5)-

2+产'

化简得(7)*5.

J

当"为奇数时,有一义＜5,即-5

f1Y15R

而5xR-5=5x--5=--,所以4>一；；

/4乙

max

当"为偶数时，有人＜5

，所以认*

5.（2025•河北廊坊联考）已知数列口｝的前〃项和S”满足2s“一%=〃，〃wN",且%=3.

（1）求证：数列籍心）是常数列;

（2）求数列｛凡｝的通项公式.若数列｛"｝通项公式a=3〃-2,将数列｛q｝与｛4｝的公共项按从小到大的顺

序排列得到数列£｝,求排.｝的前〃项和.

【解】（1）证明：由2S”—，？=〃，得2心「（〃+1）1=〃+1,

将上述两式相减,得2。”+1-（〃+1）“+叫=1,即“一（〃-1）（“=1.

“竺彳（〃之2）,

M-1

则=0(/?>2),

/?-]«-1

n

•・•数列是常数列;

（2）由（1）可知，当〃之2时，生?=今?=2,

〃一12-1

「♦4=2〃-1(〃22),检验当〃=1时，(=2〃-1也适用,

%=2/7-I(/?eN*),

••・数列｛为｝是以1为首项，以2为公差的等差数列,

又数列｛4｝是以1为首项，以3为公差的等差数列,

・••这两个数列的公共项所构成的新数列｛。｝是以1为首项，以6为公差的等差数歹U，

K｝的前〃项和为〃xl+皿——x6=3/i2-2/1.

2

%+2,”为奇数,

6.：2025•陕西西安•二模）已知数列｛4｝满足％=1,。向

2%,〃为偶数，

⑴记”=%+2,求4，4，并证明数列也｝是等比数列；

⑵记C”=+3,求满足。+。2+q+…<10°的所有正整数〃的值.

【解】(1)由题意，%=3,%=6,%=8,所以4=5,4=10,

乂II力“3+2_(4,川+2)+2_22”+4=2

4%+2/+2仁+2'

所以数列出｝是首项为5,公比为2的等比数列；

(2)由(1)知二=5x2，,所以。“=5乂2小+1,

所以q+C2+q+…+C“=5X(20+T+-.+2"T)+〃=5X2"+〃-5,

因为J+G+。3+…+G单调递增，

且q+G+q+C4=79<100<q+c2+c3+cA+c5=160,

所以正整数〃的所有取值为I,2,3,4.

7.（2025•福建莆田•二模）记S”为等差数列｛%｝的前〃项和.已知2（=%+14应=15.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记集合力=卜卜=%,〃£<｝,8=*|r=2"+l、〃wN'｝,将4U6中的元素从小到大依次排列，得到新数列

也｝,求也｝的前20项和.

【解】(1)设公差为d,

由题意得2%+6d=%+2d+l4,S3=3q+3"=15,

解得"=3,%=2,

故%=q+-1"=2+3(〃-1)=3〃-1；

(2)力=｛2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,3