幂指对函数（10年汇编）（上海专用）解析版

专题04幕指对函数

10年真题1年模拟

考点分类上海考情（2017•如26）命题规律

基础题聚焦指数函数单调性、基本运算

2017-2026年连续考查，题型覆盖单选与方程求解，难度较低；近年变化显著：

题、填空题、解答题;2020、2023、2026大量结合分段函数、不等式、二次函数

考点01指数函数

年均有解答题，2025年考查逻辑推理综合考查，解答题侧重分类句•论与最值

型单选求解，2025年创新考查指数单调性的逻

辑反向推导，对推理能力要求提升

基础题考查定义域、单调性与不等式求

2017-2026年高频考查，题型以填空解；核心变化为2025年首次结合新定

题、解答题为主;2022、2024、2025年义“对称集”，融合偶函数、充要条件、

考点02对数函数

均有解答题，2025年出现3问压轴解导数单调性综合考查，解答题从基础计

答题算转向逻辑证明与多知识点融合，压轴

题难度大幅提升

题型稳定，难度偏低，核心考查反函数

2017-2021年连续考查，题型以单选

的定义、存在性判断、解析式求解与反

考点03反函数题、填空题为主；2017-2020年年年有

函数性质应用，无复杂综合考查，命题

填空，2021年考查单选判断

规律无显著变化，为基础送分类考点

2018、2022、2025年均有考查，题型题型稳定，难度极低，核心考查察函数

为单选题、填空题；2025年考杳单选，的定义、单调性、奇偶性与定义域求解，

考点04幕函数

2022年考查定义域判断，2018年考查无综合拓展考查，命题规律无显著变化，

性质应用为基础必拿分考点

®考点01指数函数

1.（2026・上海•高考真题）〃为不为1的任意实数，则4跖=（）.

【答案】B

【详解】由则〃.柘=内於=/="•

2.（2（）25.上海・高考真题）设。>O,seR.下列各项中，能推出a'〉a的一项是（）

A.且s>0B.a>\»且svO

C.0<a<l,且s>0D.0<a<l,且svO

【答案】D

【分析】利用指数函数的性质分类讨论。与1的关系即可判定选项.

【详解】・・・a>0d>a,Aas-l>\=a\

当。£（0,1）时，y=/定义域上严格单调递减，

此时若s-lvO,则一■定有a'T>l=a°成立，故D正确，C错误：

当。«1,讨）时，y=/定义域上严格单调递增，要满足a~〉l=a°,需s>l,即A、B错误.

故选：D

3.（2018•上海•高考真题）已知常数a>0,函数/（幻=一一的图像经过点P（p［）、Q0-3,若2匹=36Pq,

2+ax55

则《=________

【答案】6

【分析】将点P,Q代入函数/（x）并相加可得—+--=1,化简后可得*+g=/pq,从而可求解.

2'+ap2V+aq

P2g

【详解】根据题意，/（〃）+/⑷46v1印，即七2一十/一=1,

552P+ap+aq

去分母化简得2i=//闻=36/闻，所以"=36,因为。>0,中以a=6.

故答案位：6.

4.（2023・上海•高考真题）已知=则/（x）的值域是;

【答案】口，+8）

【分析】分段讨论了（X）的范围即可.

【详解】当x>0时，根据指数函数的图象与性质知人幻=2，>1,

当x<0时，fM=\.

综上:y=fW的值域为［l,+oo）.

故答案为：口，+8）.

5.（2023・上海・高考真题）已知函数/（幻=2'1,且Mx）"?》：*"'："。，则方程g（"）=2的解为

2

【答案】x=3

【分析】分类讨论x2（）和xvO,解方程g（x）=2的解，即可得出答案.

【详解】当xNO时,^（x）=log2（x+l）=2,解得：%=3,

当工<0时，5（x）=/（-x）=2v+l=2,解得：x=0（舍去），

所以方程g（x）=2的解为工=3.

故答案为：x=3.

80

xe（0,801,且』。。-1358,心（0,4。）

6.（2020•上海•高考真题）已知：v=^

X

-k（x-40）+85”［40,80］伏>0）

（I）若妙>95,求x的取值范围;

（2）己知x=80时，妙=50,求戈为多少时，4可以取得最大值，并求出该最大值.

【答案】⑴x*削；⑵户竿时，晒=聋”

QA

【分析】（1）当“£似40）时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到%>3,进而解得；当

X

不«40,80］时，利用不等式的基本性质可得三85<95.此时代95无解.

（2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得攵的值，进而分段讨论，当天«0,40）时可利用不等式的基本

性质得到"100%<400,当％w［40,80］时利用..次函数的性质求得q2=詈上>400,从而得到答案.

8080

（1）当不£（。，40）时，100T35仕］'>95»gPf-1,<—=3>3,/.0<x<^；

【详解】

⑴⑴27⑴x3

当了«40,80］时，攵>0,.”=-4（工-40）+85三85<95、此时丫>95无解.

综上所述，XW0,—；

7

（2）当x=80时，^=一女（80—40）+85=50,解得左=^,

O

丝

当了e（0,40）时，（/=100X-135A-<100x<4000t

77

当x440,80］时，q-一一（x-40）^+85.r=——x2+120x,

88

当户等时“取得最大值”号弊卜⑵、竿二竿>4000.

综上所述当X=一7时4取得最大值，qinax=^—.

【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指

数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当x<0,40）

时，“关于x的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当工440,80］时的最值，这样可以避免对复杂函

数的单调性的分析.

簪考点02对数函数

1.（2024・上海•高考真题）函数）,=1唱工的定义域为.

【答案】（0,+8）

【分析】由对数函数性质即可得.

【详解】由题意可得;V>（），即y-log2X的定义域为（。，+8）.

故答案为：（0,+8）.

2.（2025•上海・高考真题）已知函数y=的定义域是对于，£。，定义集合Sf（,）={x|〃x）N/。）}.

⑴〃x）=log2X,求％6）;

（2）对于集合A,若对任意xeA都有-xeA,则称4是对称集.若。是对称集，证明：“函数是偶

函数”的充要条件是“对任意teD,Sf（l）是对称集”；

（3）若xeR,f（x）=ex-^mx2.求，〃的取值范围，使得对于任意乙<G。，都有帝⑹qS“）.

【答案】⑴{巾之16}

（2）证明见详解

⑶［。,同

【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；

（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；

（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于。恒成立即可求解.

【详解】⑴由定义得，5/（16）={x\f（x）/（16）|={x|log2xlog216}={x|x>16}.

（2）证明:

4

必要性：因为函数y=/(x)是偶函数，所以对任怠xw"/(£I=/(T),

对任意fW。，若xeS如np/(A)>/(/),则/(T)=/(X)之〃r),

所以rw%,),所以对任意fw。，S/s是对称集.

充分性：若对任意f€。，S,⑺是对称集，

因为对任意，e。，所以TWS加即f(T)”(/)①，

又TCS/S),所以rwS,(T),即/⑺“(T)②.

由①②得，对任意f£。，/(r)=/(-r),

所以函数y=f(x)是偶函数.

综上，"函数y=〃司是偶函数”的充要条件是“对任意re。，S刖是对称集“，得证.

(3)因为对于任意6<4e。，都有S/&)qS/⑹，

所以若xwS,⑷,则…⑹,即若〃“)”』)，则f(x)”«),

所以/也)”&),所以/(X)在R上单调不减,

所以对任意xeR,/'(6=/-皿20恒成立.

当工=0时，显然成立，meR；

当了>0时，〃?4上恒成立，令g(x)=J，>

XXx~

所以g(力在(0,1)单调递减,(1,内)单调递增，所以mwg(x)而n=g6=e；

当“<0时，?恒成立，此时g[x)=("；)e<0

因为g(x)在(-co,。)上单调递减,当xtf时,g(x)f0,g(»<0,

x<0,x-0时，^(x)->-co,

所以〃220；

综上，〃?e[0，e].

【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于。恒成立.

3.(2024・上海・高考真题)已知函数〃力=logR〃>0,"l).

(1)若函数>=/(力的图象经过点(4,2),求解不等式〃2%-2)</6)；

(2)若存在肛使得/(x+1)、/(⑪)、-工+2)依次成等差数列，求。的取值范围.

【答案】⑴(1,2)

⑵U，+oo)

【分析】(1)代入点坐标计算求出/(力二】隰不，根据定义域和单调性即可求出了(Nv-2)〈〃力的解集：

(2)根据/(x)=log3的定义域将问题转化为x>0时，得出f(x+l)+/'(x+2)=2/(ar)有解，再结合分离

常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.

【详解】(1)Y/(4)=2,则1。&4=2,

a2=4,a>0,：.a=2,

.,./(x)=10g2x,定义域为(0,+<»),

要解不等式/(2x-2)</(x),则X,2X—2«0,+8),.”£(1,+8).

又“X)=10g2X在定义域内是严格熠函数，

由『(2工-2)</(工)，则2x—2<x,解得工<2.

综上所述，不等式/(2x-2)</3的解集为(1,2).

(2)/(X)的定义域为(0,m),存在x,使得f(x+l)、/(ax),/(x+2)依次成等差数列,

.v+l>0

则在方程2/(冰)=f(x+l)+/(x+2)中，应满足Y+2>。，

ax>0

由”0,解得4>0,问题转化为x>0时，方程〃x+l)+/(x+2)=2/(aT)有实数解.

乂f(x)=log/,则log,(x+1)+log”(x+2)=210g“奴，

22

即log(1(6/x)=log0+31+2).

•••/(中为严格单调函数，

/.a2x2=f+3x+2,

oa

VAX),两边同除以/得，«2=4+-+i.

XX

令/=L,rtlx>0,贝Ijze(0,+oo),

.1

.•.，=2r+3/+l在，＞0有解.

6

又y=2〃+3/+l=2J在(O,T8)上是严格增函数,

8

y=2r+3r+le(l,-H»),g|Ja2e(l,+co),

又a〉0,则aw(l,+8).

4.(2022•上海•高考真题)/(x)=log3(«+x)+log3(6-x)

⑴若将函数/(x)图像向下移〃K〃00)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数小〃?的值.

(2)若。>一3且。工0,求解不等式/(x)Kf(6-x).

【答案】(1)。=-2,m=1

(2)答案见解析.

篇log式[a++53))+l+og/,(66-3.)-/5?zi=0W解方程即可得答案;

【分析】(1)由题知。>-6,再根据题意得

2ax>6a

(2)根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为一。<上<6的解集，再分类讨论求解即可.

0<x<A+6

X+a>0\x>-a

【详解】(1)解：函数/*)的定义域满足(八，即於，

6-x>0[x<6

所以，要使函数的定义域非空，则-々<6,即a>-6.

若将函数/3)图像向下移加机>0)后得到的解析式为：

g(x)=f(x)-m=log3(a+x)+log3(6-x)-m,xe(-a,6).

log(a+3)+log(6-3)-m=0

所以(3,0),(5,0)在函数g(x)的图像上,即<33

loga(a+5)+log,(6=0

解得：a=-2,7n=l,

所以,a=-2,m=l

(2)解：由题知a«—3,())(0,4oo),

f(x)=logi(a+x)+log3(6-x)=log3[(a+x)(6-x)],Xe(-a,6)

/(6-x)=log3(fz+6-^)+log3^=log3[x(f/+6-x)],xe(0,6/4-6)

因为函数y=log3，t在(。,内)上单调递增,

所以八幻&.〃6-刈等价于(a+x)(6-x)&Ma+6-x)，展开整埋得：2axN6a.

[2ax>6a

所以，不等式的解集为一〃<x<6的解，

0<x<a+6

所以，当。€(-3,0)时，不等式的解为F<XW3；

当。«0,”)时，不等式的解为34x<6.

综上，当〃«-3,0)时，不等式的解为何-〃<443｝；当ae(O,y)时，不等式的解为｛小W6｝.

5.(2022・上海•高考真题)已知函数/*),甲变化:JXx)-f(x-t).乙变化:l/(x+/)-/(x)|,/>0.

(1)若f=l,/(x)=2\/(x)经甲变化得到g@),求方程g*)=2的解；

⑵若/(A)=x2,/(x)经乙变化得到〃(幻，求不等式〃。)<f。)的解集；

(3)若/(X)在(-0)上单调递增，将/(%)先进行甲变化得到〃@),再将“(X)进行乙变化得到％@)；将/(*)

先进行乙变化得到Xv)，再将攻幻进行甲变化得到外(幻，若对任意〉0,总存在似幻=也(幻成立，求证:

/(幻在R上单调递增.

【答案】(l)x=2；

(2)(-«),(l-V2)r].[(i+x/2)r,+oo)：

(3)证明见解析.

【分析】(1)由题设可得g(x)=2i=2,求解即可.

(2)由题设有42工+小工2,讨论工<一9、分别求解即可.

(3)将题设化为对于任意"0存在1"(4+。一/(初一"⑴一/。一，)]1=1/(4+/)-/(切一"⑴一"tT)l,

即可证结论.

【详解】(1)由题设,甲变化为〃幻一/(%-1),则8(")=2'-21=22,

・・・g(x)==2,解得x=2.

(2)由题设,h(x)=\(x+t)2-x2\=t\2x+t\,又h(x)Sf(x),

:./12x+r|<x2,

当2x+f<0,即时，则/+2a+/="+力2之0,恒成立；

8

当2x+，2。，即X2一：时，则炉一2a+〃=。一/)222产，解得：xW(l-a)f或x2(l+0)r.

综上,不等式解集为(YO,(1-五)”」(1+夜",+00).

(3)由题设，u(x)=f(x)-f(x-t),IjliJ(x)=|u(x+0-u(x)\=\f(x+t)-2f(x)+

Mx)=|f(x+t)-f(x)|,则%(x)=vM-v(x-t)=\/(x+0-

・・•当似x)=4(x)成立，/*)在(F,0)上单调递增，

A11/(X+/)-/(%)]-1/(x)-/(x-o1M/(X+r)-/(x)|-1/(x)-/(x-/)|,

，对于任意r＞0总存在＜成立,

・・.f（x）在R上单调递增,得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意，＞0存在/4。）=用（”），判

断函数在实数域上单调性.

®考点03反函数

1.（2021・上海・高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（）

A.x2B.sinxC.2XD.y=1

【答案】C

【分析】根据反函数的定义判断.

【详解】在定义域内，

,y=X2中可能有两个不同的X对应同一个y,不存在反函数;

y=siru•是周期函数，多个x对应同一个＞,不存在反函数;

,y=r对值域内每一个）'值在定义域内都只有唯一的X与之对应，存在反函数，

y=i是所有x对应同一个了,它不存在反函数.

故选：C.

2.（2022.上海.高考真题）已知函数/（x）=V的反函数为y=/T（x）,则/T（27）=

【答案】3

【分析】求出函数/（x）=V的反函数的解析式，进而可求得结果.

【详解】由y=/可得x=6,故尸（"=取，因此，广（27）=炳=3.

故答案为；3.

3.（2020•上海•高考真题）已知=丁，则尸（力=

【答案】4

【分析】先反解出达再交换-y的位置即可得到.

【详解】），=e=x=m即其反函数是尸（6=次.

故答案为：尸（力=以

【点晴】本题考查求己知函数的反函数问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

4.（2019•上海•高考真题）函数〃*）=*2（入>0）的反函数为

【答案】y=4x,x>0

【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果.

【详解】当时，x2>0,即f（x）>0

又“"（%）=>y=>Jx

二反函数为：y=6,x>0

【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域.

5.（2018•上海•高考真题）设常数”R,函数/V）=log2（x+a）,若『3的反函数的图像经过点（3,1）,则，=

【答案】7

【分析】根据反函数的概念，代值计算即可.

【详解】根据题意，/0）=3,即log2（l+〃）=3,・・・。=7.

故答案为：7

6.（2017•上海•高考真题）定义在（0,+co）上的函数），=/（★）的反函数为、=/（一）,若

为奇函数，则广（"=2的解为.

【答案w

【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，广1（力=2的解就是求原函数/（2）的值，根据分段函数的解析

式，结合奇偶性求出以-2）,从而可得结果.

【详解】由反函数与原函数的互逆关系知，

10

f|（x）=2的解就是求原函数f（2）的值,

又f（2）=g（2）,且g（x）为奇函数，

^（2）=-g（-2）=-（3-2-1）=1-3-2=1,

Q

・•・/⑵、，即为尸卜）=2的解,

故答案为

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应

用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.

®考点04塞函数

1.（2025・上海・高考真题）基函数），=/在（0,+co）上是严格减函数，且经过则。的值可能是（）.

211

A.—B.—C.-D.3

333

【答案】B

【分析】根据显函数的单调性可排除C和D；根据基函数过点可排除A.

【详解】因为无函数y=x“在（0,招＞）上是严格减函数，所以。＜0,故C错误，D错误；

对于A,若。=［，则当工=一1时，尸㈠尸=京=首歹=1，

所以凝函数过点故A错误；

对于B,若。=一：，则1,，当工=一1时，）'=（"）

所以基函数y="T过点（-1,-1）,故B正确.

故选：B.

2.（2022・上海・高考真题）下列函数定义域为R的是（）

A•45B.y=x'C.y=x^

【答案】C

【详解】化分数指数辕为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

【解答】y=/2=-L,定义域为卜枚＞0},

y=x'=^-,定义域为｛x|xwo｝,

),=)=6，定义域为R，

),=%=«，定义域为｛小之。｝.

故选：C.

3.(2018•上海•高考真题)已知一一2,-1,-；,打2,3｝,若辕函数/*)=x"为奇函数，且在(。m)上递减,

则"______

【答案】-1

【分析】由基函数/(力=/在(0,+00)上递减得。<0,又由某函数/(%)=/为奇函数，验证即可求解.

【详解】因为显函数/(1)=/在(0,+o。)上递减，所以

又零函数/(x)=x"为奇函数，所以。=一1.

故答案为：—1

一、单选题

1.(2026•上海•三模)已知(>1,则等比数歹lla+k>g2%、a+log水、a+log#的公比为()

A.—2B-3C。-4D—g

【答案】B

【分析】令log24=f>0,进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，=4,再代入计算公比即可.

【详解】因为。+32A、a+log水、a+log*为等比数列,

所以(a+log4%)~=(67+logs^)(«+log2Ar),

因为a+logj=a+—logJ,a+logs攵=a+-log,2,

23

令Iog2%=r:>0,则(a+J•/=fa+-/(a+f)，整理得-四二L,

I2JI3Jv7312

=a+xa

所以r=Ta,a+log2A：=-4a+a=-3a,a+log4Zc~^=~»

a+iog.k-a1

所以,该数列的公比为内厂-3。3.

12

2.（2026・上海徐汇・二模）已知贝『'Ina>ln〃”是“广人>1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】A

【详解】Ina>h协等价于a>b>0,ea~h>1等价\a>b,

a>0>0可以推出。>人，但无法推出因为还存在0>。>匕这种可能性，所以“ln4>h仍”是

的充分不必要条件.

3.（2026•上海•三模）已知aAcwR,则下列结论中不正确的是（）

A.若a>〃,cv0,则a+cvO+cB.若则

C.若々°2>权。，贝！D.若，?<〃，则a

【答案】A

【详解】对于A,因为a>人由不等式的性质，不等式两边同时加匕•个数，不等式方向不变，

故A错.

对于B,因为函数y=V在R上单调递增，/>〃，所以从故B正确

对FC,已知比2>庆2且/NO,说明cwO,那么c2>o,不等式两边同除以°2,不等式方向不变，所以

故C正确.

对于D,己知&<石，所以〃20/2。，因为函数y=五在［0,+oQ）I：单调递增，所以故D正确.

二、填空题

4.（2026・上海•三模）已知函数尸卜『-3）"是指数函数，则函数的图象过定点

【答案】（0,-1）

【详解】由题意得，〃2_3=l,a>0,得a=2,则函数-29>1）的图象过定点（0,-1）.

5.（2026•上海杨浦•二模）若幕函数y=x"的图像经过点（634），则实数。=.

【答案】3

【详解】代入（拓，36）,即36=（6）“，解得a=3.

6.（2026.上海闵行•二模）已知"x）=（〃?—1）/，若）=/（x）是幕函数，且/⑶=27,则/（〃?）=.

【答案】8

【分析】先根据岳函数的定义求出参数〃］，再利用已知函数值求出幕指数a得到完整解析式，最后代入计

算得到/(M的值.

【详解】已知f(x)=(m-l)/,且y=f(x)是幕函数:

根据疑函数的定义，可得m-1=1,解得〃7=2；

将条件"3)=27代入得3a=27=3',解得a=3,即函数解析式为/。)=/；

将加=2代入解析式得/(m)=/(2)=23=8.

7.(2026・上海金山•二模)将＞0)化成有理数指数昂的形式为.

【答案】)

【分析】由根式与指数累换算求解.

-

【详解】Y_a4.

故答案为：j

8.(2026・上海徐汇•二模)若哥函数)，=/在区间(0,+8)上是严格减函数，则实数。的取值范用是.

【答案】3,0)

【分析】由塞函数的性质进行求解即可.

【详解】因为呆函数y=丁在区间(0,xo)上是严格减函数，

所以。＜0,

故答案为：(y),0)

三、解答题

9.(2026•上海虹口三模)设〃x)=lru.

(1)解不等式：

⑵若/(e")+V＞/(力恒成立，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)(—*0)

【分析】(1)先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式.

(2)先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题.

14

【详解】(1)/(x)-lnx的定义域为(0,+oo)且在(0,")单调递墙

，解得x<0.

故不等式/匕<〃1)的解集为(一%。).

(2)f(x)=Inx,/(c</r)=Ineuv=ax.

.・J(e'")+f>/(x)恒成立等价于以+f*以恒成立，工>0,二二)侬.

X

令晨］)=11三二，...g，(x)=匕空二±

XX

2V

令Mx)=l—Inx—/，W|j/f(x)=_l_2x=---<0,.•・力(彳)在(0,+<功单调递减.

XX

又力⑴=l-lnl-l2=0,.-.XG((),I)时，力(x)>0,即g'(x)>0,g(x)在(o,1)单调递增，X£(l,+oo)时,h(x)<0,

即g'(x)<0.在(l,+oo)单调递减.

••・8@)2=以1)=-1,.•”>一1,即。的取值范围是(一l,xo)

10.(2026•上海,三模)己知f(x)=log2(ar+l)(tzeR).

(1)当。=1时，求不等式〃4x-2)<0的解集；

⑵若函数g")=/(2x)+log2X有且只有一个零点，求实数。的取值范围.

【答案】⑴公牛；'

⑵［。收)

O

【分析】(1)根据对数函数的单调性可求不等式的解：

(2)将对数型方程转化为2”2+、-1=0只有一个正根，就"0M=0，"。结合判别式的符号分类讨论后

可得实数。的取值范围.

【详解】⑴当a=l时，/(x)=log2(x+l),因为/(4x-2)<0,

ylog2(4x-1)<log2l,即0<4x-l<l,

解得;<x<；,所以所求解集为TU

42142/

(2)因为g(x)=/(2x)+log2x=log2(2ax~+x),

由g(i)=0,得%/+公］=0只有一个正根，

若a=0,满足题意；

当"0时，

若A=l+8a=0,解是”-：，

O

此时方程仅有一个实根为x=2,满足题意：

若△>(),即此时方程的两根之积为一上，所以方程两根只能异号，

82a

所以可得〃>()，此时方程只有一个正根，满足题意；

2a

综上，“20或。=-)，

O

11

所以实数。的取值范围是：--U[0,+o>).

O

11.(2026•上海长宁•二模)已知/(x)=log/(其中〃>0,.

(1)若函数尸的图象过点(2,-1),求不等式“2x-l)>〃x+l)的解集；

(2)若恰有两个不同的实数x,使得/(",f(x-m),”4)成等差数列，求实数，〃的取值范围.

【答案】2：

⑵㈠⑼

【分析】(I)代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；

⑵先根据等差数列得方程丁-(2〃7+4)1+/=。有两个不同的实数根，且两根都大「max{(V*进而对

加讨论，结合二次函数根的分布理论可得.

【详解】(1)将(2,-1)代入f(x)=log/,可得log〃2=-l,得。=g,

故f(x)=logq,该对数函数为定义在包内)上的减函数，

故由/(2x-l)>/(x+l)可得0<2r_l<x+l,解得gvx<2,

故不等式/(21)>小+1)的解集为你2、

I巳/

(2)由已知可得2/(x—M=/(/)+/(4),

HP21ogu(x-m)=logax+logu4,fcx>max{0,w},

整理可得log“(x=log/4x),故=4%,得x2-(2，〃+4)x+"/=0,

由题意可知方程犬-(2m+4卜+〃『二0有两个不同的实数根，且两根都大于max{(),〃?},

16

设g(x)=Y-(2"?+4)x+W,

当〃区0时，max{0,〃7}=0,即函数g(x)在区间(0,+8)上有两人零点,

(2W+4)2-4W2>0

故笥匕>0,解得

|g(0)=〃?2>0

当加>0时，max{0,/〃}="?,即函数g(x)在区间(〃[,+oo)上有两个零点,

(2W+4)2-4W2>0

故驾1>机,不等式无解，

।g(〃?)=in?-m(2m+4)+m?>0

综上可得实数小的取值范围为(-1，。)

12.(2026•上海杨浦・二模)设函数，=〃x)的定义域为。，值域Aq[-15.若且满足

/(%)+/(w)=/(占+与)，则称内与超构成“函数y=f(x)的线性对”.

⑴若〃x)=cosx,判断]与兀是否构成函数k/(x)的线性对，并说明理由；

⑵若/(x)=2'-g,。=(-00,0).若对于任意司£(—,〃)(常数”40),都存在±w。，使得%与4构成函

数？=/(1)的线性对，求。的取值范围；

(3)函数y=/("是定义在R上的奇函数，且满足：若为与£构成函数y=的线性对，则为与一%也构成

函数产〃x)的线性对.求证：对任意xwR,/(x)=0.

【答案】(1)是，理由:

E“/兀、\7c111/兀)4711

因为/W+/(兀)=COSQ+COS兀=5-1=_不，f-+71=COS—=

所以/(1)+/(兀)=/(1+，

,满足值域Aq且/(X,)+f(x2)=/(x,+x2),

即:与冗是构成函数y=/(x)的线性对;

⑶

由f(x)是R上的奇函数，可得/(。)=0,/(-x)=-/U)；

则f*)+/(-x)=/(x+(-x))，即x，-x是线性对，

由孙工2是线性对，则X，-七也是线性对，可得乂1也是线性对，

所以有/(x)+/(x)=/(x+x)=>2f(x)=/(2x),

因为/(力定义在R上，所以通过迭代可得：2VU)=2w-'/(2x)=2ft~2f(22x)=-=f(Tx),

又由题设大前提，f。)的值域1』，

若值域内存在正数。，必存在〃£N,使得2%>1,

此时2"/(x)>l,而/(2匕)«—1』，显然2"/(x)w/(27)，

即值域内不存在正数。；

若值域内存在负数。，必存在〃wN,使得2%<-1,

此时而/(2"x)e[—l』].显然2"/(工)//(2\),

即值域不存在负数。，

因此对任意xeR,/*)=0,问题得证.

【分析】利用赋值即可求证；

利用分离变量求值域，即可求得参数范围；

利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证.

【详解】(1)略

(2)由题意，Ne(Yo,a),天£(田,0),需满足/(N)+/*2)=/(N+/)，

I/、/、

代入/(X)=2r--整理得：(2马_]+(2H_]=2Xi+X2--=>2V2(1-2V,)=--2r,=>2必=—____,

，k2){2)2v721-2V'

因为£<0，所以要求0<2必<1,

又看<〃皿故2%(。/).由等式可得：0<三<|『_2…=2%'%<--

l-2r,221

对任意芭£(7。,。)都存在满足条件的/，故〃WT，

所以。的取值范围(e，T；

(3)略

13.(2026•上海金山•二模)已知函数y=/(x),其中〃x)=lnx.

18

(1)若/(1—"7)-/(3-〃/)<。，求实数州的取值范围；

⑵若g(x)=ax」-a+l-(a+l)/(x),其中a>0,若存在Z?vO,使得直线y=8与函数y=g(x)的图像有

X

3个不同的交点，求实数〃的取值范围.

【答案】⑴(-1,1)

⑵。1)

【分析】(1)根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可；

(2)求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解.

【详解】(1)由/(1一〃。一/(3-加?)<0可得/(1一〃。</(3-，/),

又f(x)=hu为严格单调递增函数，且x>0,

1-m>0

所以3/«2>0,解得Tv/"1,

1-w?<3-m1

所以实数用的取值范围为(一口).

(2)因为g(x)=aL，-a+l-(c+l)lnx,

X

、14+1ax2-(a+l)x+l(A-1)(ar-l)、八、

所以g'(x)=a+r-----=--------------=----------->，(x>0),

XXXX

由g'(x)=。可得％=[，W=1，〃>。，

当。=1时，g，(x)=⑻2Uo,g(x)在(0,心)上单调递增，不合题意；

厂

当4>1时，-<1,故当0<x<，或x>l时，g'(x)>0,

aa

当Lxvl时，g'(x)<0,

g(x)在(03)(L+8)上单调递增，在(fl)上单调递减，所以g(x)的极小值g(l)=0，

此时，不存在匕<0,使得直线y=〃与函数y=g(x)的图像有3个不同的交点；

当0<4<1时，—>1,故当0Vx<1或x>一时，g'(x)>0,

当■时，g'(x)<0,

a

雇同在(0」),(j+8)上单调递增，在(1[)上单调递减，所以晨”)的极大值晨1)二(),

故g(x)的极小值g[，<g⑴=0，又当Xf。时，g(X)TYO,

所以存在bvo,使得直线y=b与函数y=g(x)的图像有3个不同的交点.

综上，实数。的取值范围(0,1).

14.(2026・上海•三模)一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲

(r_x\

线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰•伯努利等得到“悬链线”方程ce—e’，其

)'二一----------

2

中C为参数.当c=l时，就是双曲余