高考数学一轮复习-常用逻辑用语

1.2常用逻辑用语

考向1充分条件与必要条件令

知识点1充分条件与必要条件的概念

1.命题:用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.

2.“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

3.充分条件与必要条件的概念

“若p，则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q,

记作pnq,并且说，〃是q的充分条件，q是p的必要条件.

注意：要判断“若p，贝］q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有

“pnq”，即“若p，则q”是否为真命题.

4.充分必要条件的概念

将命题“若〃，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若〃，则〃”，

称这个命题为原命题的逆命题.应时，p既是q的充分条件也是q的必要条件,我们说〃是q的

充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果poq，那么p与q互为充要条件.

例1（2023•新高考1）记S.为数列｛q｝的前n项和,设甲：｛4｝为等差数列；乙：《包•卜为

等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

知识点2条件关系总结

充分条件与必要条件和集合的联系

设p:xeAyq.xeB则

题型〃是乡的充分条件pnq

p是q的必要条件qnpA^B

p是q的充要条件pnq且qnpA=B

p是q的充分不必要条件p=q且九〃A/

p是q的必要不充分条件PGq且qnp,A

p是q的既不充分也不必要条件p*q且q手pA0B且4

2

例2设p:\x-a\<3yq:2x+x-\<0，若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是

A.——,2B.——2^C.—2,—D.—2,-1

L2」2）L2」I2）

题型1充分必要条件的判断

例3（2025北京）已知函数八”的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R"是“对任意

MGR，存在xoeD，使得|/（x0）|>M"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例4（2023・天津）己知a,bwR,则"a2=h2"是"a1+b2=2ab”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例5（2024•北京）设ayb是向量，则"（2+可・（£一可=0"是"a=-b或a=h"的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例6（2025河南模拟）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》。意思是:当

政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，

虽下命令，大家也不会服从遵守.根据上述材料，“身正”是“令行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例7（2026•达州校级模拟）设a,beR，则“a4=b4M是“卜吗，?“=log34b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例8（2026•聊城一模）"a+b<-2,且"是"a<-\,且。<一1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型2充分必要条件的选择

例9（2025•杨浦区校级模拟）设实数，则不等式卜+b闫4+例的等号成立的一个充分不

必要条件为（）

A.ab>0B.ab<0C.ab>0D.ab<0

例10（多选，2026•马鞍山模拟）已知x,yeR,条件c/:x+y<2,则q成立的充分不必要

条件有（）

A.x=y=0B.国+'|<2C.x2+y2=2D.InxvO且lny<0

例11（多选•2026•福建一模）已知，若max{”S},min,涉}分别表示a.b中的较大

者和较小者，则下列选项中，是命题“ab*b”的充要条件的有■）

A./+〃2>max{/,/}B.crb2>0

C.----}——D.m\n{a,b}~>0

min{a/}

题型3充分必要条件的应用

例12（2025•北京卷）已知函数/（x）的定义域为D,则“函数/（x）的值域为R”是“对

任意MGR,存在xoeD，使得|/（x0）|>M”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例13（2026•龙文区校级模拟）已知集合P={x|-2<x<4），e={x|3^-2<x<5/n+2,^GR},

若P的充分条件为Q，则实数，〃的取值范围为一.

例14（2026•石景山区一模）数列{〃”}为各项均为正数的等比数列，k,I,s,i为正整数，

则"火+/>$+〃是“”的（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例15（2025•天津卷）设xsR，则“x=0”是“sin2A=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例16（2026北京校级模拟）对于函数“X）,定义集合M={%ER|x（—3,Xo）J（x）<〃Xo）}，

“函数/（x）在（一8,1）上单调递增”是“M”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例17（2026•宁波模拟）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数"O（x）={L'£°,

已知a.beR，则“abwQ”是“£>（«）+£>（/?）=2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

考向2全称量词和存在量词《

知识点全称量词命题、存在量词命题

1.全称量词与存在量词的概念

短语“所有的”“任意一•个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些等3

2.全称命题与特称命题的概念

含有全称后•词的命题，叫做全称量词命题.

含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

命题名称命题结构命题表示

全称命题对M中任意一个x，有p（x）成立

特称命题存在M中一个％,有p（x）成立丸£M，P（X（））

3.全称量词命题和存在量词命题的否定

命题命题的否定

Vr〃（丫）飞（=

*£〃，〃（天））

4.命题的真假

用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p入q.

当p、q都是真命题时，是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p/\q

是假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p^q.

当p>q两个命题中有一个命题是真命题时，q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时,

q是假命题.

对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作「p.若P是真命题，则必是假命题；若p

是假命题，则-p必是真命题.

5.真值表

Pq「pp或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

6.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有（72-1）个

小于不小「至多有n个至少有（〃+1）个

对所有X，成立存在某X，不成立〃或“且F

对任何X，不成立存在某X，成立p且q-/