2027七年级数学上册（人教）有理数的乘法与除法（讲义）（试题版）

有理数的乘法与除法

考点1有理数的乘法

知识点1有理数乘法法则

1.正数乘正数，积为正数:正数乘负数，积为负数;负数乘正数，积为负数;负数乘负数，积为正数.积

的绝对值等于各乘数的绝对值的积.

2.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得。

3.有理数乘法法则也可以表示如下：

设〃，6为正有理数，。为任意有理数，则

(+Q)x(+力)=Qxb,(—a)x(―b)=axb；

(-a)x(+b)=-(axb),(+a)x(-b)=-(ax/J)；

cx0=0>0xc=0.

知识点2倒数的概念与求法

1.倒数的概念：乘积是J_的两个数互为倒数.即若“与人互为倒数，则QXb=l.

2.倒数的求法

类型方法

真、假分数的倒数将分子分母交换位置

非0整数的倒数整数作分母，1作分子

对于可以除尽的数的倒数，可以用1除

以这个数求倒数

小数的倒数

对于除不尽的数，转换为分数，再按照

真、假分数求倒数的方法来进行

先把出分数化为假分数,然后将分子分

带分数的倒数

母调换位置

知识点3有理数的乘法运算律

运算律文字叙述用字母表示

乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置,积不变ab=ba

三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把

乘法结合律(a/?)c=a(bc')

后两个数相乘,积不变

一个数与两人数的和相乘，等于把这个数

乘法分配率a(b+c)=ab+ac

分别与这两人数相乘,再把积相加

知识点4多个有理数相乘的符号法则

1.几个不为o的数相乘，负的乘数的个数是｛髅柒我盘第

2.几个数相乘，如果其中有乘数为0,那么积为。.

【题型1有理数乘法的基本运算】

【例1】（25-26七年级上•福建漳州•期末）如图，小林有5张标有数字的卡片，从中取出2张，则卡片上两

数乘积的最大值为.

司同同IMIF*

【变式1-1］计算式3）x（一4）的结果是（）

A.12B.-12C.-7D.7

【变式1-2］（25-26七年级上•黑龙江哈尔滨•期末）如图所示为一个正方体的侧面展开图，则原正方体相对

两个面的数字积最小的是（）

B.-6C.-9D.-15

【变式1・3】（25-26七年级上•江苏常州•月考）若两个整数的乘积是6,则这两个整数的和的最小值是

【题型2有理数的乘法中的符题判断】

【例2】下列说法正确的是（）

A.两数之枳为正，这两数同为正B.三数相乘，积为负，这三个数都是负数

C.两数之积为负，这两数为异号D.几个数相乘，枳的符号由因数的个数决定

【变式2-1】下列乘积的结果，符号为正的是（)

A.0X(-3)x(-4)x(-5)B.(-6)x(-15)x(-1)x|

C.-2x(-12)x(+2)D.—1x(—5)x(—3)

【变式2-21（24-25六年级上•山东烟台•期中）若有理数4c满足abc=10,a+b+c=0,则a,b,c中负数

的个数是.

【变式2-3]（2S-26七年级上•江苏南京•期中）S个非零有理数两两相乘，若所有乘积中恰好有4个负数,

则这5个数中负数的个数为.

【题型3有理数的乘法的应用】

【例3】（25-26七年级上•河南平顶山•期末）人体的血液的质量约占人体的7%至8%之间.已知小红的体重

为35kg,则她体内的血液质后可能为（）

A.2kgB.2.4kgC.2.7kgD.3.1kg

【变式3-1]（25-26七年级上•北京海淀•期末）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动：七年级共有

3

32。名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的小则少数民族学生人数为（）

A.120B.160C.200D.240

【变式3-2]（25-26七年级上•贵州黔东南•期末）某地居民电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如

下表：

年用电量（度）对应电价（元/度）

3000度及以下0.46

超过3000度但不超过4700度的部分0.5

超过4700度的部分0.76

若该地某家在2025年累计年用电量为5000度，则他家应缴电费元.

【变式3・3】（2024・山东烟台・中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一

道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一

个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布，最后一天仅

织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

【题型4求一个数的倒数】

【例4】（25-26九年级上•重庆・期中）2026的倒数是（）

D・2026

A.-2026B.2026一2026

【变式4-1]（25-26六年级上•上海期末）-5%勺倒数是

【变式4-2]（25-26七年级上•河北邢台・期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面

上的数互为倒数，则ab=（）

I品

―1圄厂一

131

A.-4B.-6U5D.2

【变式4-3]（25-26七年级上•河南开封•期中）a是最大的负整数，b的倒数是它本身，c是绝对值最小的有

理数，则Q+b-C=()

A.-1B.1C.0或一1D.0或一2

【题型5根据倒数的性质求值】

【例5】(2025七年级上•全国•专题练习)若“，人互为倒数，则一2025+3M的值为.

【变式5-1](25-26七年级上•广东东莞•月考)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,则cd+5」+匕)的值为

【变式5-2](25-26七年级上•山东临沂•期末)若a与b互为相反数,c与d互为倒数，则2025a+20266+cda

的值是.

【变式5-3](25-26七年级上•全国•期末)已知m和n互为相反数，p和号互为倒数，Q是绝对值最小的有理数，

b是最小的正整数，求-号口-pq-a”的值.

【题型6有理数的乘法的简便计算】

【例6】(2025七年级上•全国•专题练习)用简便方法计算：

(1)(+2给x(-l|)x(+2^)x(-41)；

⑵长+(♦)-(-副*(-60)；

(3)9^X(-7).

【变式6-1](25-26六年级上•山东淄博・期末)计算(-4)x8x(-0.25)时，将式子变形为[(-4)x(-0.25)]x8

进行简便运算，这样做的依据是运用了.

【变式6-2](25-26七年级上•山西临汾•期末)在简便运算时，把21x(-9乡变形成最合适的形式是()

A.21X(-10+1)B.21X(-9-1)

C.21x(—10—y)D.21x(-9+9

【变式6-3】学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算71Kx(-8),看谁算得又对又

快.

卜而是两位同学给出的不同解法.

小强：原式=-*x8-鬻=-575：

小莉：原式=(71+蒋)X(—8)=71X(-8)+得X(—8)=-568—y=-575?.

⑴以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？

⑵你还有其他解法吗？如果有，请你写出解答过程：

⑶你能用简便方法计算-9瑞x198吗？如果能，请你写出解答过程.

【题型7有理数的乘法与绝对值、倒数的综合】

【例7】(24-25七年级上•河北廊坊•月考)已知Q与h互为倒数，m与n互为相反数，》的绝对值等于1,则

2022(m+n)-2023|x|+2024ab的值为.

【变式7-1】下列说法:

①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数

②若m满足|m|+m=0则m<0

③有理数Z的倒数是E

④若三个有理数a.b,C满足*+黑+*=-1,则整+2+尸=-1

其中正确的是有()个

A.0B.1C.2D.3

【变式7-2](24-25七年级上•河北石家庄•月考・)解答下列问题：

(1)已知Ml=7,\b\=3,

①若tzb>0,求Q+2?的值.

②若|a+b|=Q+与，求Q-b的值.

⑵已知Q力互为倒数，c,d互为相反数(c,d不为0),|刈=3,根据已知条件请回答：

@ab=,c+d=,m=,工=.

②求偿+ab+需+涵值.

【变式7-3](25-26七年级上•河南许昌•期中)(1)若“与b互为相反数，c和4互为倒数，•是最大的负

整数，数轴上〃对应的点到一3对应的点的距离是7,求4伍+匕-2)+5cd—nm的值；

(2)已知|%1=4,\y\=9,且xy<0,求2x-y的值.

考点2有理数的除法

知识点5有理数的除法

1.有理数除法法则

（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即Q+匕=。3（力00）.

（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的面.若ab>

0,则1>0；若ab<0,则£<0.

（3）0除以任何一个不等于0的数，都得。.

2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用

（1）对「除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较

简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便.

（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则

（1）进行计算.

知识点6有理数乘除混合运算

有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法,然后按照乘法法则，确定积的符号,最后求出结果.

【题型8有理数除法的基本运算】

【例8】（25-26六年级下•黑龙江绥化•月考）小溪在计算a+（-9）时，除号变乘号时，忘记把-9改成它的

倒数，结果是54,贝必士（-9）的正确结果是.

【变式8-1］（25-26七年级上•河北邢台•期末）计算（-7）+14的结果是（）

C11

A.-2B.2C.—zD.7

【变式8-2］（25-26六年级上•上海・期末）乐乐在计算（-15）+加时，误将“+〃看成“+〃，所得的结果是

-12,那么（-15）+m的正确结果应是.

【变式8-31（25-26七年级上•河北衡水・期末）如图1,点儿B,C是数轴上从左到右排列的三点,分别对

应的数为-2,小，4.某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的1.2cm对齐数轴上的点力，发现点8对齐

刻度尺2.6cm处，点。对齐刻度尺5.4cm处.那么，数轴上点〃所对应的数〃7为.

想图强

JJ士今

菇

a

【题型9有理数的除法在实际生活中的应用】

4

【例9】（25-26六年级上•黑龙江哈尔滨•期末）彳升的牛奶能平均装在4个瓶子里，则每个瓶子装升.

【变式9・1】（25-26七年级上•黑龙江哈尔滨•期末）将2025转换为八进制数为.

【变式9-2]（24-25七年级上•浙江金华・月考）一列“动车组〃高速列车和一列普通列车的车身长分别为80

米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在庙速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6

秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（：）

A.7.5秒B.4.8秒C.5秒D.4秒

【变式9-3]（25-26七年级下♦山东泰安•期中）我国古代人们根据《孙子算经》“物不知数〃问通改编的灯谜:

大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，七七数时刚刚好，八八数时还缺

三、大体意思是：大年三十挂彩灯，彩灯数量满足以下条件：

3个3个地数，正好数完（没有剩余）；

5个5个地数，最后剩1盏：

7个7个地数，正好数完；

8个8个地数，还差3盏（也就是数到最后一组差3盏不到8盏）

请问：这些彩灯最少有盏？

【题型10有理数的乘除混合运算的基本计算】

232

【例10】（25-26七年级上•山东日照•期中）已知：ax§=bxlM=c+],且小b,c都均为正数，贝lj小

4c中最小的数是（）

A.aB.bC.cD.无法确定

【变式10-1](25-26七年级上•山西长治•期末)*X2+(-3X2=()

A.2B.-1C.1D.4

【变式10-2]（25-26七年级上•山西太原•阶段检测）已知a是自理数，⑷表示不超过。的最大整数，如:

[3.2]=3,[T.5]=—2,则[5.4]+[-3]X[-5.2]二

48

【变式10-3]（24-25七年级上•河南南阳•月考）下列各式中，与5+亍+,的运算结果相同的是（）

A.5+&号)5+GX?

B.

C.5+停+乡-78

D.5XiX7

【题型11有理数的乘除混合运算的实际应用】

【例11】（25-26六年级上•黑龙江哈尔滨•期末）已知平均每个水龙头一天漏水约0.06t,如果1个人1年用

30t水，那么按照这个漏水速度，100个水龙头1年（365天）的漏水量可供人用1年.

【变式（24-25七年级上•湖南怀化•开学考试）买2千克葡萄和3千克芒果，共付款40元.已知2千克

前萄的价钱等于1千克芒果的价钱，那么葡萄每千克（）元，芒果每千克（）元.

【变式11-2］（24-25六年级下•黑龙江绥化•期中）一根木头，裾成3段需要6分钟，照这样计算，锯成6段要

（）分钟.

【变式11-3］（24-25六年级下•上海•期中）在长16厘米，宽10厘米的长方形上剪半径为2厘米的小圆，

最多可以剪个圆.

考点3有理数的加减乘除混合运算

知识点7」^理数的四则运算

有理数的四则运算：先算乘除,后算加减,有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），

同级运算，按照从左往右的顺序进行计算.

【题型12有理数的加减乘除混合运算】

【例12】（25-26七年级下•河南新乡•期末）若要使16口（5-8»4的结果为负整数，则“口〃里应填（）

A.+B.-C.XD.4-

【变式12・1］（25-26七年级上•福建漳州•期末）要使算式2+|-5口3|的结果最大，则“口”内应填入的运算符

号为（）

A.+B.-C.XD.+

【变式12-21某学校把WIFI密码按照如下规律设置，根据提供的信息可以推断该校的WIFI密码是

账号：xuexiao

1*2㊉3=030609

4*5㊉6=243054

9*2㊉5=451055

4*6©8=密码

【变式12-3](25-26七年级上•河北衡水・期末)小华同学在黑板上列出了算式-12x(|-'…j-2,其中

厂…"是被擦去的部分.

⑴如果被擦去的部分是：，求这个算式的结果；

⑵如果这个算式的结果是2,求被擦去部分的值.

【题型13有理数的加减乘除混合运算中的简便计算】

【例13】(25-26六年级上♦黑龙江绥化•期末)计算.

(瑶+3+^+3

(2)Q+；+34

9

(3)137X京(用简便算法)

(4^x0.375^-1

【变式13-1](25-26七年级上•全国•寒假作业)用简便方法计算：

(1)(-7)X(一豹+19+(-/)-5x(-y)；

(2)(-0x(-15)x(-1)x1.

【变式13-2](25-26六年级上•全国•期末)脱式计算，能简便的用简便方法计算.

(1)40+60X14-21：

(2)16X1.5+得；

1411

⑶32.6-三+17.4-w

(4)12.5x2.4x25：

3

(5)43x75%+58x4-0.75；

(6)16.4-[Q+3.75)+37.5%].

【变式13-3](25-26七年级上•湖南湘潭•月考)计算下列各题，能简算的要简算.

75

(1)8.37-T-7+1.63

(2)65x-+0.8x135

(3在[(鸿)*2

【题型14有理数的加减乘除混合运算的实际应用】

【例14】（25-26七年级上•黑龙江大庆•期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过180度，

每度0.5元；超