初二【数学(北京版)】基本作图(2) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初二年级学期第一学期课题基本作图（2）教科书书名：数学八年级上册出版社：北京出版社出版日期：2014年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1、会用尺规作角平分线，作线段的垂直平分线；2、尝试探索作角平分线和作线段垂直平分线的方法，；3、运用角平分线和线段垂直平分线的相关内容解决简单问题4、通过探索角平分线的两种基本作图的画法并证明其合理性，养成独立思考的习惯,发展空间想象能力和推理能力，培养严谨求实的科学态度。教学重点：两个基本作图的方法，四个定理的简单应用教学难点：对作图方法合理性的探究，运用定理解决问题教学过程5分15秒7分10秒9分23秒13分02秒15分46秒19分10秒21分20秒引入作图探究定理探究定理应用作图探究定理探究定理应用引入这节课我们来接着研究基本作图，在美丽的大千世界中，尺规还能帮我们画出什么呢？角的平分线能帮我们解决很多问题，这节课我们就先来探究如何作一个角的平分线。已知：∠AOB,求作：射线OC，使它平分∠AOB。二、新课（一）基本作图：作角的平分线已知：.求作：射线OC，使它平分.学生思考该如何作图，并说出作图依据。预设：学生作出的等角，即随后探究：OA作为的平分线是怎么构造出来的。通过探究发现：要得到OA，我们需要在∠COB的内部构造出一对三边对应相等的全等三角形。第一对构造OC=OE,我们可以以O点为圆心，任意长为半径画弧,分别与角的两边交于C、E两点，就得到了OC=OE。下面构造CD=ED，分别以C、E两点为圆心，以足够长为半径画弧，两弧的交点就是D点。足够长到底要多长呢？用数学语言怎么刻画？这个长度只要大于的长，两弧就会有交点了。教师用图形展示：为什么半径小于或等于不可以。所以我们分别以C、E两点为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧的交点就是D点。这样做我们就得到了CD=ED，还得到了OD这组公共边,根据边边边定理，我们能得到,所以,连接OD并延长，得到的射线OA就是的平分线了。由此，就可以得到作任意一个已知角的平分线的方法了。下面请学生和教师一起完成画图。我们先以O点为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；（2）再分别以D、E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC.OC就是所求作的射线.小结：做一个角的平分线，就是在这个角的内部构造一对三边对应相等的全等三角形，因为这三对边中有一对公共边，所以我们构造两对等边就够了。明白了这个原理，相信同学们已经掌握了做角平分线的方法。（二）角平分线定理1下面我们还要对它进行深入的研究。看看角平分线上的点有什么特点呢？如图所示，如果OC是任意一个∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系呢？学生猜想：PM=PN教师分析：由OC平分∠AOB，可以得到∠1=∠2，由PM⊥OA，PN⊥OB，得到∠3=∠4，因为OP=OP，根据角角边，∆MOP≌∆NOP。所以PM=PN。教师引导：请同学们用你智慧的大脑来想想：PM,PN分别是什么？说对了，是点P到角两边的距离。当点P在OC上运动时，这个结论仍然成立。所以我们把它总结成一个定理，来说明角平分线上的点具有的性质。你能试着用自己的语言叙述这个定理吗？角平分线的定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等。教师提醒：符号语言中别忘了条件PM⊥OA，PN⊥OB.（三）角平分线定理2如果把定理的结论作为已知，又能得到什么呢？也就是说，在角的内部，到角两边距离相等的点都会落在哪呢？我们把它写成数学语言。如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P会落什么位置呢？教师引导学生分析出△MOP≌△NOP，从而得出点P在角的平分线上。角平分线定理2：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。提醒学生在写符号语言的时候，同样要注意PM⊥OA，PN⊥OB的条件。（四）例题解析例已知：如图，Rt∆ABC中，∠C=90°CA=CB，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：DC=BE.教师分析：由∠C=90度，CA=CB，得到∆ABC是个等腰直角三角形。∠B就是45度，又因为DE⊥AB，所以∆DEB也是个等腰直角三角形。DE就等于BE.又因为AD平分∠BAC，CD⊥AC，加上DE⊥AB，我们看到D就是∠CAB平分线上一点，而DC,DE就是点D到这个角两边的距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，我们就可以得到DC=DE.等量代换，我们就得到了DC=BE.小结：这道题让我们体验到，由角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以直接得到线段相等，不必再去证全等，大大简化了推理过程。基本作图：作线段的垂直平分线请思考：把前边作∠AOB平分线时的图形拿过来，并把它调整一下位置，连接DE,大家来观察一下，角平分线OC与线段DE有什么关系呢？教师分析：由作法可知OD=OE，所以∆ODE是一个等腰三角形，因为OC是顶角AOB的角平分线，根据等腰三角形三线合一定理,知道OC垂直且平分底边DE。设OC与DE交于点P。显然P是线段DE的中点，延长CO得到直线CF，直线CF经过线段DE的中点P，并且与DE垂直，我们就把直线CF叫做线段DE的垂直平分线，线段的垂直平分线也称作中垂线。作法探究：由此想到做一条线段的垂直平分线的方法。要看OC相对于线段DE是怎么构造出来的。我们知道C点是分别以D,E为圆心，以大于1/2DE的同样长为半径画弧得到的交点,因为OD=OE，所以我们用构造点C的方法去构造点O，由两点确定一条直线，我们就可以得到DE的垂直平分线OC了。为了作图更便捷，我们可以在画弧时把半径取得一样长。依据探究：我们分别连接AC，AD，BC，BD，根据画法，我们知道AC=BC，AD=BD。又因为CD=CD。根据边边边，我们可以得到∆ACD全等于∆BCD，所以∠1=∠2，又因为∆ACB是等腰三角形，由三线合一定理，CD平分了顶角，也就垂直平分底边AB了，所以说直线CD是线段AB的垂直平分线。一起做图：已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.（1）我们先分别以A，B为圆心，大于二分之一AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C，D；（2）作直线CD.直线CD就是所求作的直线。（六）线段垂直平分线定理1下面继续我们的思考之旅。我们来看看线段垂直平分线上的点有什么特点。如图，CD是线段AB的垂直平分线，P是CD上任意一点，联结PA，PB，PA和PB有什么样的数量关系呢？学生猜想PA=PB。一起证明：因为CD是线段AB的垂直平分线所以∠1=∠2=90度，OA=OB因为OP=OP所以∆POA≌∆POB所以PA=PB。线段垂直平分线定理1：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。教师展示符号语言（七）线段垂直平分线定理2我们再把这个定理的结论当成已知，也就是如果点到线段两端点的距离都相等，那这样的点都会落在哪里？如图，PA=PB，那P点会落在什么位置呢？预设：学生想到作PC垂直AB于C。或作PC平分顶角，或作底边上的中线PC.一起分析：由PA=PB和PC⊥AB，可以得到PC平分AB，因为等腰三角形底边上的高也是底边的中线，所以P点在线段AB的垂直平分线上。线段垂直平分线定理2：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。教师展示符号语言小结：线段垂直平分线的两个定理可以在垂直平分关系和线段相等之间进行转化。例已知：如图，AC=AD，BC=BD，E是AB上任意一点。求证：EC=ED.一起分析：由AC=AD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以得到点A在线段CD的垂直平分线上，同理，由BC=BD,可以得到点B在线段CD的垂直平分线上，因为两点确定一条直线，所以AB是线段CD的垂直平分线。因为E是CD垂直平分线上一点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，就得到了EC=ED。教师展示证明过程小结：解决这道题时，我们同时应用了线段垂直平分线的两个定理。利用线段等得到垂直平分关系，再由垂直平分关系得到线段等，这样比起证全等要简便的多。22分15秒22分21秒本课小结本节课我们学习了两个基本作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，要注意保留作图痕迹，写清结论。我们利用做角平分线的图形来探究做线段的垂直平分线，在这个过程中我们体会到学习时要多观察，勤动手，观察和实验的方法可以引导我们深入思考，帮我们发现新的宝藏。我们还可以借着线段垂直平分线的画法进一步探索，如何过直线上一点作已知直线的垂线？*根据线段垂直平分线的作法，我们只需以O为中点构造线段AB，再做AB的垂直平分线即可。那过直线外一点做直线的垂线呢？还请同学们课后思考。此外，我们还学习了4个定理，分别是角平分线的两个定理和线段垂直平分线的两个定理。这两个定理可以类比着学习。角平分线的两个定理可以完成角等与线段等的转化，线段垂直平分线的两个定理可以完成垂直平分关系与线段等的转化。今后我们可以把这四个定理作为推理的依据直接使用，不必再证全等了。另外，以角平分线的两个定理为例，大家能试着体会一下它们之间有什么关系吗？通过下节课的学习，同学们会有更清晰的认识。在定理应用这部分，我们通过两道例题体会了两个证明线段相等的新方法：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。是不是比起证全等要简单的多呢？在本节课的学习中，我们经历了观察、实验、猜想、证明的