二次函数的概念（讲义）-人教版九年级数学上册（解析版）

二次函数的概念

考点1

知识点1二次函数的概念

1.一般地，形如y=ar2+b%+c（°,A,c是常数，存0）的函数,叫做二次函数.其中，工是自变量，二次函

数的二次项系数、一次项系数分别是她，常数项是小自变量的取值范围是全体实数.

y=ax£-+bx+cC1必须化为一般形式,

方可判断各项的系数

二次项系数

2.二次函数必须同时满足三个条件；（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3）

二次项系数不为0.

3,二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中日变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量

的取值范围还需使实际问题有意义.

【题型1二次函数的识别】

［例I］（25-26八年级下•山东东营•期中）下列各式中，y是X的二次函数的是（）

A.y=2x—3B.y—x2—5x+13

221

C.y=ax+bx+cD.y=x-~+2

【答案】B

【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可.

【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如y=Q，+b%+c（a,b,c是常数，aHO）的函数，叫做

二次函数.

•选项A中y=2%-3是一次函数，

••.A不符合题意；

•.・选项B中y=/一5%+13,符合二次函数的定义，

••.B符合题意：

•.•选项C中旷=a—+b%+前未说明aH0,当Q=0时不是二次函数，

••.C不符合题意：

•.•选项D中y=--：+2里，:是分式，不是整式，不符合二次函数定义，

••.D不符合题意.

【变式1-1]（25-26九年级上•上海虹口•月考）函数y=x（2Ll）二次函数.（填“是”或者“不是”）

【答案】是

【分析】本题主要考查了二次函数的识别，解题的关键是掌握二次函数的定义.

通过将函数表达式化为一般形式，判断其是否符合二次函数的定义.

【详解】解：函数y=x（2x-l）可展开为y=该形式为y=Q/+以+c,其中。二200,因此是二

次函数.

故答案为：是.

2

【变式1-2]（24-25九年级上•黑龙江大庆•期中）给出下列函数：①y=,2%2_i；@y=x-x（l+x）；

③y=/+1@y=x（l-x）.其中是二次函数的有.

【答案】④

【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关犍.根据二次函数的一般

形式：形如y=a/+bx+c（a,b,c为常数且QWO）,逐一判断即可解答.

【详解】解：①y=[2/-1不是二次函数:

②y=/一直1+不）=一无是一次函数，不是二次函数；

③y=/+3不是二次函数；

@y=x（l-x）=/一%是二次函数；

综上，是二次函数的有④，

故答案为：④.

【变式1-3］（25-26九年级上•安微安庆・期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能,

其满足关系£二某一，则下列说法正确的是（）

A.当m一定时，E与〃满足一次函数关系

B.当m一定时，£与U满足二次函数关系

C.当"一定时，E与m不满足函数关系

D.当u-定时，E与m满足二次函数关系

【答案】B

【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键.

根据一次函数，二次函数的定义，即可判断.

【详解】解：•.・一次函数的形式为y=履+b（k工0,k、b为常数），二次函数的形式为y=Q/+"+C

（aHO,a>b>c为常数）

①当m一定时，令k=»（k为常数且kHU）,则占=加，符合一次函数的形式，.•山与u满足一次函数关

系，故A不符合题意，B符合题意；

②当“一定时，令卜=泞（k为常数且kHO）,则£=忆小，符合一次函数的形式，与血满足一次函数关

系，故C、。不符合题意..

故选:B.

【题型2根据二次函数的定义求参数】

【例2】如果函数丫=（攵-3）/2-3火+2+履+1是关于》的二次函数，则女=.

【答案】0

【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0,且x的最高次数为2,据此列方程与不等式求解即可

得到女的值.

（k-3丰0

【详解】解；根据二次函数的定义，得限2―3/0+2=2,

解方程产―3々+2=2,解得k=0或k=3.

由A-3*0得k*3,

因此k=0.

【变式2・1】（25-26九年级上•江苏盐城•期末）若函数'="巾-1一%+2是二次函数，那么血的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可.

【详解】•.了=/时】一万+2是二次函数，

.••TH—1=2

解得m=3

此时函数为y=--%+2,满足二次函数的定义.

故选：D.

【变式2-2］（25-26九年级上•河北保定•期末）已知二次函数丫=口/+X+3的开口向下，则口可能是（）

A.-2x2B.-2C.-3xD.5

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键.

二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数.

【详解】解：A、代入后函数变为y=（-2F）/+无+3=一2/+无+3,不是二次函数，故选项不符合题

息;

B、代入后。=一2V0,开口向下，故选项符合题意：

C、代入后丫=（-3%），+%+3=-3/+%+3,不是二次函数，故选项不符合题意；

D、代入后Q=5>0,开口向上，故选项不符合题意；

故选：B.

【变式2-3］（25-26九年级上•广东江门•期中）若函数、=（加—3）%问-1+2%-1是关于％的二次函数，则7n的

值为.

【答案】

-3

【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足%的最高次数为2,且二次项系数不为0,

据此进行求解即可.

【详解】解：•・•、=0-3)*1+2工一1是关于N的二次函数，

|m|-1=2,且m—3+0,

m=-3.

【题型3二次函数的一般形式】

【例3】把二次函数y=-4(1+2x)(x—3)化为一般形式为：.

【答案】y=-8x2+20x+12

【分析】先利用整式的乘法得到y=-4(x-3+2x2-6x),然后去括号合并即可得到二次函数的一般式.

［详解］y=-4(l+2x)(x-3)=-4(x-3+2x2-6x)=-8x2+20x+12,

故答案为y=-8x2+20x+12.

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.

【变式3-1］(24-25九年级上•吉林,月考)将二次函数y=1)+3%化为一般形式后，正确的是()

A.y=X2-x4-3B.y=x2—2x+3

C.y=X2-2XD.y=x2+2x

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可.

【详解】y=x(x-l)+3x=x2-x4-3x=x2+2x,

故选：D.

【变式3・2】已知二次函数y=3Q-l)2+2.

⑴将二次函数化为一般形式，并指出相应的a,b,c的值；

(2)当％=6时，求y的值.

【答案】⑴y=3%2-6%+5；a=3,b=—6,c=5

⑵y=77

【分析】(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a,b,c的值即可；

(2)把x=6代入函数解析式求出y的值即可.

【详解】(1)解：•”=30-1)2+2

=3(/-2%+1)+2

=3X2—6X+3+2

=3%2—6%+5,

•••a=3,b=—6»c=5；

(2)解：把％=6代入函数解析式y=3(x—I)?+2得：

y=3x(6-1)2+2=77.

【点睛】本题主要考查了二次函数的•般形式，求二次函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数性质，准

确计算.

【变式3・3】(24-25九年级上•宁夏固原・月考)如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将这个矩

形的长与宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加yen?.

4cmxcm

3cm

⑴求y与x之间的函数关系式：(整理成•般形式)

(2)计算当增加面积为8时，x的值是多少.

【答案】(l)y=/+7x(xN0)

(2)1

【分析】本题考查的是二次函数的应用，解一元二次方程以及二次函数的定义，熟知一般地，形如y=

+bx+c(八b、c•是常数，QHO)的函数，叫做二次函数是解题的关键.

(1)根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式：

(2)结合(1)得到的函数关系式，令y=8,解方程，取符合实际的值即可.

【详解】(1)解：•••矩形的长为4cm,宽为3cm,

矩形的面积=4x3=12(cm2).

•••矩形的长与宽都增加xcmQ>0),

•••增加后矩形的面积=(4+x)(3+x)cm2,

•"-y=(4+x)(3+%)—12,即y=/+7x,

故y与x之间的函数关系式为y=/+7x(x>0)；

(2)解：根据题意，令y=，+74=8,即/+7%-8=0,

.•.(%+8)(x—1)=0,

解得：x=-8(舍去)或％=1,

・・.x的值是1.

【题型4二次函数的各项系数】

【例4】（2025九年级•全国•专题练习）已知二次函数y=2—+4x-l,它的二次项系数为a,一次项系数为

b,常数项为c,则y=cx2-ax+b为.

【答案】y=-x2-2x+4

【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答.

根据二次困数的解析式得出a,b,。的值，再代入丫=（:/一办+6即可.

【详解】解：由题意知，Q=2,b=4,c=-1,

22

•••y=ex-ax+b=-x-2x+4,

故答案为：y=-x2-2x+4.

【变式4-1】指出卜.列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

函数解析式二次项系数一次项系数常数项

(1)y=-0.9x2+2x-3

(2)y=-2X2-7

(3)y=-X+%

(4)y=(x+l)(x-l)+1

【答案】见解析

【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理.

【详解】解：

函数解析式二次项系数一次项系数常数项

(1)y=-0.9x2

-0.92-3

+2X-3

(2)y=-2X2-7-20-7

(3)y=-x2+x-110

(4)y=(x+1)

100

(x-1)+1

【点睛】本题考杳二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键.

【变式4-2］（25-26八年级上•安激淮南•月考）二次函数y=2/-3的二次项系数、一次项系数、常数项的

和为（）

A.-1B.1C.5D.-5

【答案】A

【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏

掉符号.

根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可.

【详解】解：二次函数、=2/一3的二次项系数是2,一次项系数是0,常数项是一3,

•••二次项系数、一次项系数、常数项的和为2+0+（-3）=-1,

故选：A.

【变式4-3］（25-26九年级上•山东德州•月考）已知函数y=（m?+Jzm-i+（m-3）x+血2-11是关

于工的二次函数.

⑴求刑的值;

（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项.

［答案］（l）m=3

⑵二次项系数是12,一次项系数是0,常数项是一2

【分析】本题主要考杳二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键.

（1）根据二次函数的定义，即、=。/+以+。（。中0）列式求解即可；

（2）根据二次函数一般式判定即可.

【详解】（1）解：根据二次函数的定义得｛嚏鬻Li2,

由血一得血

2-2m1=21=-1,m2=3,

2

由机4-m=0得m*—1且mH0»

•••m=3.

（2）解：由（1）得：二次函数解析式为y=12/一2,

故二次项系数是12,一次项系数是0,常数项为-2.

考点2列二次函数关系式

知识点1列二次函数关系式

1.理解题意:找出实际问题中的已知量和变量（自变量,因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；

2.分析关系:找到已知量和变显之间的旁系，列出等量关系式；

3.列函数表达式:设出表示变最的字母，把等量关系式用含字母的式子替换,将表达式写成用自变后表示的

函数的形式.

【题型5列二次函数关系式-面积类】

【例5】一个正方形的边长为5,如果边长增加-那么面积增加y与x之间的函数表达式是：.

【答案】y=x2+10x

【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系.

根据正方形的面积公式列出函数表达式即可.

【详解】解：根据题意得，y=（x+5）2-52=x2+10x,

故答案为：y=x2+10x.

【变式5-1]（25-26九年级上•河北沧州•期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设4B为“

（单位：米），则窗框的透光面积y（单位：0?）,关于t（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽

略不计）（）

2

A.y=-x+4xB.y=-3x2+8x

328

C.y=一产+4%D.y=-x2+/

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得力。〒米，进而根据矩形的面积公式解答即可求

解，正确识图是解题的关键.

8-3x

【详解】解：由题意得，==W一米，

8-3x3

.••y=AB-AD="F-=_；x2+4x,

故选：c.

【变式5-2】等边三角形的周长为C,面积为S,则面积S关于周长C的函数解析式为.

【答案】S=[c2

【分析】直接利用等边三角形的性质得出4。的长，再利用三角形面积求法得出答案.

【详解】解：如图所示：过点力作4018。于点£>.

••,等边三角形的周长为C,%。=5，二4。/)2—)之:春。，，S=；婚Cx^=^C，

故答案为S琛C?.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键.

【变式5-3]如图，正方形4BCD的边长是10cm,E是AB上一点,尸是4。延长线上的一点，BE=DF.四边

形MGF是矩形，矩形力EG尸的面积'(cm?)与BE的长xcm(0V%41。)的函数关系是.

ADF

E——lG

BC

【答案】y=-x2+100/y=100-x2

【分析】由已知图形可以分析得到矩形4EG尸的长力尸为(10+x)cm,宽4E为(10r)cm,由面积公式即可计

算得到正确答案.

【详解】解：•.•正方形/18C0的边长是10cm,且BE=DF

矩形4EGF的长4r的长为(10+x)cm,宽4E的长为(10r)cm

矩形AEGF的面积为：y=AF-AE=(10+x)(10-x)=-x24-100

故答案为：y=-x2+100

【点睛】本题考杳变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点.数形结合列式计算是解此

类题的关键.

【题型6列二次函数关系式-利润类】

【例6】(25-26九年级上•安徽安庆・月考)某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天

能卖出40个，若俏售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个.设该商品的销售单价为％元/个，每天的

利润为y元，贝物与X之间的函数关系式为()

A.y=(x-30)(40-(40-x)]B.y=(%-40)(40-(%-40)]

C.y=(10+x)(40+x)D.y=(x-30)|40-(x-40)]

【答案】D

【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润=(售价-进价)x销量列函数关系式即可.

【详解】解：设该商品的销售单价为冗元/个，

则每个某商品的利润为：(%-30)元，销量为：[40-。-40)],

则每天的利润y=(x-30)[40-(x-40)],

故选：D.

【变式6-1](25-26九年级上•安徽合肥•月考)某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在

不超过进价20%的情况下可以自行定价.若每件商品售价为x元，可卖出(350-10外件商品，则商店所得利

润y(元)与售价x(元)的函数关系式是,自变量x的取值范围为.

【答案】y=-10x2+560x-735021<x<25.2

【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量"是解题的关

键.由题意分析出每件商品的盈利为：(》-21)元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，

再化简，进一步求解x的范围即可.

【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：(%-21)元，

所以：

y=(x-21)(350-10x)

=-10x24-210%+350%-7350

=-10x2+560%-7350,

•:x<21x(1+20%)=25.2且%>21,

.,.21<x<25.2.

故答案为：y=-10x2+560x-7350,21<x<25.2

【变式6-2】某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，

且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件.在确俣盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每

天售出服装的利润为y元，则y与弟勺函数关系式为（）

1712

A.y=—^x+10x+1200（0<x<60）B.y=-10A+1250（0<x<60）

1o17

C.y=-2X+10x+1250（0<%<60）D.y=—2x+10x+1250（x<60）

【答案】A

【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为（210-3-150）元，每天可卖出（20+1x9件，利用每天

售出服装的利润=每件的销售利润x日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售

量为整数，即可得出工的取值范闱.

【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为（210-%-150）元，每天可卖出（20+1x3件，每天售出

服装的利润为y元，由题意得：

y=（210—150—;0（20+%

乂••・要确保盈利，且日销售量为整数，

••.0<x<60,且x为偶数，

“关于x的函数解析式为y=-32+10x+120U（0VXV60,x为偶数）.

故选:A.

【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出》关于x的函数关系式

是解题的关键.

【变式6-31某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关

系如下表.

X（元/件）15182022•・・

J，（件）250220200180・・・

按照这样的规律可得，日销售利涧卬（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是

【答案】w=-IO%24-500X-4000

【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键.

根据表中数据确定销售量J，与销售单价X成一次函数关系，再利用利润公式建立W与X的二次函数关系即

可.

【详解】解：由表可知，销售量少与销售单价x满足一次函数关系，设y=kX+b,

将点(15,250)和(18,220)代入,

fl5k+b=250

得ll8k+b=220，

解得｛£=400，

•,•y=-10x+400,

二日销售利润w=销售收入一总成本=x•y-10y

=y(x-10)

=(-10%+400)(x-10)

=-10/+100%+400x-4000

=-10x2+500x-4000.

故答案为：u/=-10x2+500x-4000.

【题型7列二次函数关系式-增长率类】

【例7】(25-26九年级上•江苏徐州•期末)某化肥厂10月份生产某种化肥200t,如果11、12月的月平均增

长率为x,则12月份化肥的产量y(t)与x之间的函数关系式为.

【答案】y=200(1+¥)2

【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为200(1+%),12月份产量为

200(1+%)2,从而得到函数关系式.

【详解】解：依题意，月平均增长率为％,则11月份化肥产量为200(1+'),12月份化肥产量为200(1+、)

(14-%)=200(1+x)2,

故)，=200(1+%)2,

故答案为:y=200(1+©2.

【变式7-1](24-25九年级上•浙江温州•月考)某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场

经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x,则10月份楼盘出售均价y元与平均

每月降价的百分率x之间的函数关系式.

【答案】y=20000(l-x)2

【分析1本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x,则9月份的楼盘出售均价为

20000(1-%)元，则10月份的楼盘出售均价为20000(1-%)2元，据此可得答案.

【详解】解：由题意得，y=20000(l-%)2,

故答案为：y=20000(1-%猿.

【变式7・2】(24-25九年级上湖南长沙•阶段检测)某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均

每月的增长率为，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与％满足的函数关系式是()

A.y=50(1+%)2B.y=50+50(1+x)

C.y=50(1+x)+50(1+x)zD.y=50+50(1+x)+50(1+%)2

【答案】D

【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式.设该厂第三季度平均每月的增长率为x,则八月份生

产零件50(1+乃万个，九月份生产零件50(1+工)2万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出y与x之

间的函数关系式.

【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件50(1I%)万个，九月份生产零件

50(1+©2万个,根据题意得:

y与工满足的函数关系式是

y=50+50(1+%)+50(1+x)2.

故选：D

【变式7-3](24-25九年级上•辽宁鞍山•月考)某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产

品的研发资金与上个月相比增长率都是居则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金•(万元)关于x

的函数关系式为()

A.w=8(1+x)2B.w=84-8(1+x)+8(1+x)2

C.iv=8(l+x)+8(l+x)2D.iv=8(l+x)3

【答案】C

【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万

元，则十一月份的新产品的研发资金为8(1+%),十二月份新产品的研发资金的为8(1+")2,即可求解.

【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为8

(1+工)，十二月份新产品的研发资金的为8(1+%)2,

•••该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金卬(万元)关于x的函数关系式为