高一数学暑假提升：集合的基本运算【八大题型】（解析版）

集合的基本运算【八大题型】

【知识点1并集与交集】

1.并集的概念及表示

自然语言符号语言图形语言

由所有属于集合A或属于集合B

的元素组成的集合，称为集合4AUB={x|.reA,

与B的并集，记作AU8（读作“A或B}

型”）透

2.交集的概念及表示

自然语言符号语言图形语言

由展王集合A且属于集合8的所

Ane={Mx£A,

有元素组成的集合，称为A与8

且B}

的交集，记作人八8（读作"A交B"）

【注】（1）两个集合的并集、交集还是一个集合.

（2）对于4UB,不能认为是由A的所有元素和8的所有元素所组成的集合.因为A与8可能有公共元

素，每一个公共元素只能算一个元素.

（37「山是由A与4的所有公共元素组成，而升部分元素组成.

【题型1并集的运算】

[例1](2023・高一单元测试)已知集合4=[3,7),8=(4,8],则4UB=()

A.[3,8]B.[4,7]C.(3,8)D.(4,7)

【解题思路】直接利用并集的定义求解.

【解答过程】因为集合4=[3,7),8=(4,8],

所以4UB=[3,8].

故选:A.

【变式1-11(2023春・河北邯郸•高二统考期末)已知集合力={-1,04},B={%|/-3%+2=0},则4U8=

()

A.{1}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【解题思路】先求出集合8,再由并集的定义求出AU8.

【解答过程】由0=5I尤2-3工+2=0}={1,2},又4=[-1,0,1),

可知AUB={-1,04,2).

故选：D.

【变式1・2】(2023.辽宁大连•统考三模)已知集合M,N,满足M=MUN,则()

A.MGNB.NGMC.NEMD.MEN

【解题思路】由集合的包含关系判定即可.

【解答过程】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而M=MUN说明N中元

素都在集合M中，故NGM.

故选：B.

【变式1-3](2023•四川绵阳•模拟预测)已知集合4={1,357},B={x|-l<x<2,x€N*}-则AuB中

的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】应用并运算求4U8,即可得元素个数.

【解答过程】由题设8={1},所以/1U8={1,357},故其中元素共有4个.

故选:B.

【题型2根据并集结果求集合或参数】

【例2】(2023・湖北荆门•校考模拟预测)已知集合4={。,5-&4},B={3,2a+1},AUB={2,3,4,5},则

Q=()

A.IB.2C.3D.4

【解题思路】根据并集的结果，分类讨论当2a+l=2、2a+l=5时集合A、3的情况，即可求解.

【解答过程】A=（a,5-a,4],B={3,2a+1},AU8={2,3,4,5},

当2a+1=2即a=；时，A={；/,4},B={3,2},不符合题意；

当2Q+1=5即Q=2时,A={2,3,4},B={3,5},此时AU8={2,3,4,5}.

所以Q=2.

故选：B.

【变式2-1]（2023・江苏•高一假期作业）设集合4={R1V》V3},B={x\2<x<a]t若力UB=

{x|l<X<4},则Q=（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】利用集合的并集运算求解.

【解答过程】因为集合力={01<%<3},B={x|2WxWa},且AuB={x|l<%W4},

所以a=4.

故选：D.

【变式2-2]（2023・北京•校考模拟预测）已知集合4=若4UB={-1,0,1,2,3},则集合B可以是

（）

A.0B.{-1,0,1}C.[2,3,4}D.{1,2,3）

【解题思路】根据并集定义计算，选出正确答案.

【解答过程】{一1,O,1}U0={-1,O,1},A错误；

{—1,0,1}U{-1,0,1}={-1,0,1},B错误；

{-1,0,1}U{2,3,4}={-1,0,1,2,3,4},C错误；

{-1,0,1}U{1,2,3}={-1,04,2,3},D正确.

故选:D.

【变式2-3]（2023春・江西景德镇•高二校考期中）设集合M={无|一3Vx<7},/V={x|2-t<x<2t+

LtER},若MUN=M,则实数由勺取值范围为（）

A.t转B.|<t<3C.t<3D-t>3

【解题思路】根据MUN=M,可得NcM,再分N=。和N=?两种情况讨论即可.

【解答过程】因为MUN=M,所以NGM,

当2-tZ2t+l,即时，/V=0cM,符合题意;

J

当NH。时，

2t+l<71

则，2-t>-3,解得

(2t+l>2-t

综上所述实数t的取值范围为t<3.

故选：C.

【题型3交集的运算】

【例3】(2023春・广东深圳•高二统考期末)已知集合力={-1,0,1,2},8={%|0<%<3},则4nB=()

A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

【解题思路】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.

【解答过程】由集合A={-1,0,1,2},8={x|0<x<3},

根据集合交集的概念与运算，可得4n8={1,2}.

故选:B.

【变式3-1](2023春•陕西西安•高二统考期末)已知集合M=[x\x+2>0),/V={x\x-l<0},则MCN=

()

A.{x|-2<x<1]B.{x|-2<x<1}

C.{x\x>—2}D.{x\x<1}

【解题思路】先化简集合MN,然后根据交集的定义计算.

【解答过程】由题意,M=[x\x+2>0)=(x\x>-2},N=(x\x-1<0}=(x\x<1},

根据交集的运算可知，MdN={x\-2<x<1].

故选:A.

【变式3-2](2023秋・江苏宿迁•高一统考期末)已知集合力={0,1,2,4},B={x\x<2},则An8的子集的

个数为()

A.IB.2C.4D.8

【解题思路】根据交集的运算可得.

【解答过程】由集合力={04,2,4},B=(x\x<2}得力nB={0,1},故子集的个数为22=4,

故选:C.

【变式3-3](2023・山东济宁•统考三模)若集合A={(x,y)|x+y=4,xeN,yeN},B={(x,y)|y>x],

则集合4co中的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

【解题思路】用列举法表示集合4再根据交集的定义求出4n8,即可判断.

【解答过程】因为a={(x,y)|x+y=4,%GN,yGN}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},

又8={(x,y)|y>%},

所以AAB={(0,4),(1,3)},即集合AAB中含有2个元素.

故选：C.

【题型4根据交集结果求集合或参数】

[例4](2023・云南•校联考模拟预测)已知集合4={-1,0,1},B={a,a2一3Q+2},若4n8={0},则a=

()

A.0或1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【解题思路】根据集合的并集的结果分类讨论求参数.

【解答过程】由于AC3={O},WOeD.

若a=0,则a?—3Q+2=2,此时B={0,2}符合题意.

若。2-3。+2=0,则。=1或2,

a=l时,B={0,1},此时In8={0,1}不合题意;

Q=2时，8={0,2}符合题意，

因此a=0或2,

故选:C.

【变式4-1](2023春.陕西宝鸡.高二统考期末)已知集合4={3,4,2a-4},B=⑷,若ARB手0,ffla=

()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】根据交集结果得到Q=3,口=4或。=2。-4,检验后得到答案.

【解答过程】因为力cB丰所以a=3,a=4或a=2a-4,

当a=3时，2a-4=2,满足集合元素的互异性，满足要求；

当a=4时，2。-4=4,与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当a=2a-4时，a=4,2a-4=4,与集合元素的互异性矛盾，舍去.

故选：A.

【变式4-2](2023•广东•高三专题练习)已知集合4={1,2,3},B={x\x2-2x+m=0},若AnB={3},

则B=()

A.{3,1}B.{3,4}C.{2,3}D.{3,-1}

【解题思路】由AnB={3}求得m=-3,即可求B.

【解答过程】由题意可知，3W8,即32-2x3+771=0,所以加=一3,

所以8={x\x2-2x-3=0}={3,-1}.

故选：D.

【变式4-3](2023春•山西•高三校联考阶段练习)已知集合4={x|V7=Tw2,xWZ},8=3xWa},若

ACB=A,则实数a的取值范围是()

A.[5,+oo)B.(—co,5]C.[0,4-00)D.(-oo,0]

【解题思路】化简集合4由条件可得力根据集合关系列不等式求a的取值范围.

【解答过程】因为77=1<2,xeZ,

所以%e{1,234,5},即A={1,2,34,5},

因为Ac3=力，所以A工3,又3={%|xWa},

所以a>5,

故实数Q的取值范围是[5,+8).

故选：A.

【知识点2补集与全集】

1.全集

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.

(2)符号表示：全集通常记作U.

2.补集

对于一个集合A,由全集U中不属于集合

文字4的所有元素组成的集合称为集合A相

语言对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作

符号

[uA={小£U，且入任A}

语言

图形【注】的三层含义：

语言表示一个集合；

(2)A是U的子集，即4GU;

a)cuAQu,cl;u=0,cu0=u(3))力是U中不属于A的所有元素组

性

成的集合.

(2)4U{Q(,rA)=U,ACl(Ci/i4)=0,C(7=A

【题型5补集的运算】

[例5](2023春•天津河北•高二统考期末)已知集合U=[x]x>1},A={x\x>2},则集合Q4=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|x>2}D.{x\x<2}

【解题思路】根据补集的定义求解即可.

【解答过程】因为U={x\x>1),A={x\x>2),

所以Q力={x|lVXW2}.

故选:A.

【变式5-11(2023•贵州•校联考模拟预测)已知集合〃=卜|2-%>0},A=(x\x+3<0],则QA=()

A.(—3,2)B.[—3,2)C.(—co,-2]D.(—co,-2)

【解题思路】首先求出集合U、4再根据补集的定义计算可得.

【解答过程】因为U—{x\2-x>0]=(x|x<2],A—{x|x+3<0}={x|x<-3}»

所以QA=[-3,2).

故选：B.

【变式5-2](2023秋・广东广州•高一校考期末)已知全集U={1,3,5},且Q4={3},则集合力的真子集的个数

为()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】求出集合力后，写出集合4的真子集，数出个数即可.

【解答过程】解:由题知U={1,3,5}"={3},

所以A={1,5},

所以集合力的真子集有：

。，⑴，⑸，

共3个.

故选:B.

【变式5-3](2023・全国•校联考三模)已知全集U={1,234,5},QA={2,4},Q8={3,4},则()

A.1GAlgBB.2EA,2eB

C.3",3cBD.5c45W8

【解题思路】根据补集的概念结合元素与集合的关系即可得答案.

【解答过程】因为U={1,2,3,4,5},G渊={2,4},所以4=[1,3,5).

又QB={3,4},所以3={1,2,5}.

所以3W4,3W8,故ABD错误，C正确.

故选：C.

【题型6交、并、补集的混合运算】

[例6](2023春・天津南开•高二校考期末)集合A=(x\-l<x<2],B={x\x>1),则人n(CRF)=()

A.[x|-1<%<1]B.{x|-l<x<l)

C.{x|-l<x<2}D.{%|%<2]

【解题思路】由交集与补集的定义求解即可.

【解答过程】因为集合B={x|x>l},所以CRB={x|x<1}.所以4n(CRB)={X|-1<X<1}.

故选:B.

【变式6-11(2023春•天津南开•高二统考期末)若U={x\x<9,x€N*],A={1,2,3},B={5,6,7},则")A

(CcF)=()

A.{4,8}B.{2,468}

C.{1,3,5,7}D.{1,2,356,7}

【解题思路】用列举法表示全集“再利用补集、交集的定义求解作答.

【蟀答过程】依题意,U={1,2,345,6,7,8},而4={1,2,3},8={5,6,7},

则CM={4,5,678},CuB={1,2,3,4,8},

所以(CuA)n(CuB)={4,8}.

故选:A.

【变式6-2](2023春•江苏南通•高一统考期末)设全集U=Z,集合A={-2,-1,0,1,2},8={-1,0,1,2.3},

则{-2}=()

A.4nBB.4U8C.An(CyS)D.(Cy/1)nB

【解题思路】根据集合的交并补运算即可求解.

【解答过程】AC\B={-l,0,l,2}JUB={-2,-1,0,1,2,3},4n(C/)={-2},")CB={3},

故选:C.

【变式6-3](2023・高一课时练习)已知全集(/={。,瓦c,d,e},(CyM)nP={a},(QP)nM={b},(QM)n

(QP)={c}，则()

A.P={a}B.M={a,c}C.PC\M={c,d,e]D.P\JM={a,b,d,e}

【解题思路】由题意画出Venn图，即可得出答案.

【解答过程】由题意画出Venn图如下,

可得：P={a,dre],M=[b,d,e},，nM={d,e},P\JM=[a,b,d,e).

故选：D.

【题型7集合混合运算中的求参问题】

【例7】(2022秋・广西钦州•高一校考期中)设全集U=R,集合A={x|%2+ax-12=0},8=[x\x2+bx+

b2-28=0},若An(QB)={2},则b的值为()

A.4B.2C.2或4D.1或2

【解题思路】由力n(QB)={2}可知2eA,由此即可解出a=4,则可求出力={-6,2},再由/A(Q8)={2}

可知—6EB,2cB由此即可求出答案.

【解答过程】因为An(QB)={2}

所以2GA

所以22+2。-12=0解得：Q=4,

x2+4%-12=(x-2)(x+6)=0=x=2或％=-6

所以A={-6,2},

所以一6eB,2cB

所以(-6)2-6b+b2-28=0=>/?2-6b+8=(b-2)(b-4)=0解得：b=2或b=4,

且22+26+炉-28H0=b2+2b-24=(b+6)(/?-4)H0解得：b工-6且b牛4

所以b=2.

故选：B.

【变式7-1](2023•江苏无锡・江苏省校考模拟预测)已知集合/={xEZ|-l<x<3},={x\3x-a<0},

且HA(CRB)={1,2},则a的取值范围为()

A.(0,4)B.(0,4]C.(0,3]D.(0,3)

【解题思路】先求得力={0,1,2},8=得到。如={加工盘，结合题意得到不等式1,即

可求解.

【解答过程】由集合4={xGZ|-1<%<3]={0,1,2},B={x\3x-a<0]={x\x<

"J得CRB={x\x>

因为An(CR8)={1,2},所以0<m工1，解得ova43,即实数a的取值范围是(0,3].

故选：c.

【变式7-2](2022秋・河南濮阳•高三校联考阶段练习)已知集合A=w2VxV3},B={x\x>m),且

(CRA)UB=R,则实数机的取值范围是()

A.TH>2B.m<2C.m<2D.m>2

【解题思路】求出集合A的补集，再由(CR/)UB=R可求出实数机的取值范围

【解答过程】・・・A={%|2V%V3},・・・CRA=(-8,2]U[3,+8),

•・・(CRH)UB=R,：.m<2.

故选:C.

【变式7-3](2022•云南•校考模拟预测)设集合U={(3)|%eR,yER],A={(x,y)|2x-y+m>0),B=

{(x,y)|x+y-n>0],若点P(2,3)eAn(QB),则m+n的最小值为()

A.-6B.1C.4D.5

【解题思路】根据P(2,3)€4n(岛8)列不等式组，由此化简求得m+八的最小值.

【解答过程】A={(x,y)\2x-y+m>0}、C(jB={(x,y)|x+y-n<0},

由于P(2,3)6An(Q8)，

所以管3+二M。，

I2+3-n<0In>5

所以m+ri24,即m+九的最小值为4.

故选：C.

【知识点3Venn图表达集合的关系和运算】

如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.

（C*）ceCu(”切AC©B）

【题型8Venn图表达集合的关系和运算】

[例8](2023・广东•校联考模拟预测)已知全集U=R,集合4={x|x>4或x<0},5=(x\x>4或x<-2},

则图中阴影部分表示的集合为（)

B.[-2,0]

C.[-2,0]U{4}D.(-2,0]U{4}

【解题思路】利用集合的交并补的定义，结合Venn图即可求解.

【解答过程】因为“=