高等数学 自测1

应用高等数学配套集与自测题主编卓春英孙文鑫李兴龙副主编王国栋谢艳云吴白旺张峰范鑫编者王成东陈诗琦余金洋主审王丽娜目录第一篇微分学预备知识模块1.1函数自测一（A）自测一（B）1.2函数极限与连续自测二（A）自测二（B）项目模块任务一智能汽车提速问题相关知识：导数概念任务二智能汽车避障换道问题相关知识：导数计算及其应用任务三智能汽车泊车问题相关知识：曲线凹凸自测题三（A）自测题三（B）第二篇积分学预备知识模块2.1不定积分2.2积分法项目模块任务一刹车距离建模问题相关知识：定积分概念任务二刹车距离模型求解问题相关知识：微积分的基本定理与积分计算任务三刹车失灵控速停车问题相关知识:无穷区间上的广义积分任务四、五导航行程问题、刹车失灵控油安全停车相关知识:定积分的应用自测题四（A）自测题四（B）真题模块普通高校专升本统一考试（一）(二)第一篇微分学配套思考与练习预备知识模块1.1函数1.求函数的定义域⑴⑵2.下列函数是否相同⑴⑵二维码呈现：相同函数的条件：1.函数的定义域相同；2.函数的表达式可画相同；3.函数的值域相同。3.讨论函数在区间内的单调性4.讨论函数的奇偶性⑴⑵5.讨论下列函数的周期性，如是周期函数，求出最小正周期。⑴⑵⑶6.求函数的反函数。⑴⑵二维码呈现：反函数定义：设函数的定义域为D，值域为M，从式子中解出得到式子，如果对于在M中的任何一个值，通过式子，在D中都有唯一确定的值和它对应，则称为的函数，称为自变量，函数称为函数的反函数，记作，即.习惯上，用表示自变量，用表示函数，将式子中的，对调，写成称为函数的反函数.7..设函数，求设，求，。8...求下列复合函数的复合过程⑴二维码呈现过程幂函数：QUOTE（QUOTE>0）对数函数：QUOTE>QUOTE幂函数：QUOTE正弦函数：QUOTEQUOTE由QUOTE复合而成⑵自测一（A）基础理论知识能力自测部分选择题1.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.B.C.D.2.函数的定义域是（）A.B.C.D.3.函数的定义域是（）A.B.C.D.4.函数的图形关于（）A.轴对称B.轴对称C.坐标原点对称D.直线对称5.函数是（）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数6.在上，下列函数为单调减少函数的是（）A.B.C.D.7.函数的反函数是（）A.B.C.D.8.函数的复合过程是（）A.B.C.D.填空题9.函数的定义域为。10.函数的值域为。11.如果，则。12.如果，则。13.设则。14.设，则复合函数。15.设，则。16.设，则=。运算能力自测部分17.已知，求18.已知，求自测一（B）基础理论知识能力自测部分选择题1.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.B.C.D.2.函数的定义域是（）A.B.C.D.3.下列函数为奇函数的是（）A.B.C.D.4.函数的反函数是（）A.B.C.D.填空题5.如果，则。6.如果，则。7.设则。8.已知，则它的反函数为。9.设，则复合函数。运算能力自测部分10.已知，求当时，的值。1.2函数极限与连续1.求下列函数的极限⑴⑵⑶⑷⑸二维码呈现过程：QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=0⑹⑺⑻⑼⑽2.设函数，试求，，并判断是否存在。3.设函数，试求，，并判断是否存在。4.求极限⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼（10）5.设。6设。7.指出下列哪些是无穷小，哪些是无穷大⑴⑵⑶8.进行无穷小量的比较⑴⑵⑶⑷9.判断下列函数在处的连续性⑴⑵⑶⑷10.利用等价无穷小求极限⑴⑵⑶⑷⑸⑹11.判定间断点的类型⑴⑵⑶12.利用连续性求极限⑴⑵⑶⑷⑸13.证明方程在内至少有一个实根。14.证明方程在1与2之间至少有一个实根。15.证明方程至少有一个小于4的正根。自测二（A）基础理论知识能力自测部分选择题1.当时，下列函数为无穷小的是（）A.B.C.D.2.当时，与是等价无穷小量的是（）A.B.C.D.3.（）A.0B.C.1D.34.（）A.B.C.D.5.（）A.B.1C.D.6.设在点处连续，则（）A.-1B.0C.1D.27.函数的间断点个数是（）A.3B.0C.1D.28.函数在点处（）A.有定义B.无定义且无极限C.有极限但不连续D.连续填空题9.。10.。11.则。12.当时，函数与是等价无穷小量，则。13.。14.。15.如果函数在处连续，则。16.函数在处。（连续或间断）运算能力自测部分求极限17.18.逻辑推理能力自测部分19.证明方程在区间内至少有一个根。自测二（B）基础理论知识能力自测部分选择题1.当时，是的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小，但不是等价无穷小D.等价无穷小2.（）A.0B.C.1D.23.（）A.B.C.D.4.（）A.0B.1C.3D.5.下列函数中在点处不连续的是（）A.B.C.D.填空题6.。7.。8.当时，与是等价无穷小量，则。9.已知，则。10.如果函数在处连续，则。11.函数的间断点为。运算能力自测部分求极限12.13.逻辑推理能力自测部分14.证明方程至少有一个正根。任务训练1.火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克0.15元收费，当超出50kg时，超重部分按每千克0.25元收费，试建立行李收费元，与行李重量kg之间的函数关系。2.已知单三角脉冲电压，其波形如图所示，建立电压U（V）和时间t之间的函数关系．oEU(V)toEU(V)t3.某批发商店按照下列价格表成盒地批发销售某种盒装饮料：当购货量小于或等于20盒时，每盒2.40元；当购货量小于或等于50盒时，其超过20盒的饮料每盒2.20元；当购货量小于或等于100盒时，其超过50盒的饮料每盒2.00元；当购货量大于100盒时，其超过100盒的饮料每盒1.80元．设．4.在机械中，常用到曲柄连杆装置如图，当主动轮O转动时，连杆AB带动滑块B作往复直线运动，设主动轮半径为r，转动时的角速度为，连杆长为,求滑块B运动的规律．sBArOCsBArOC5.小时后在装有某细菌的培养皿中的细菌数为⑴一开始的细菌数是多少⑵6小时后有多少细菌⑶近似计算一下什么时候细菌数为200。6.某人在实验中，把20条草履虫放在5的含盐水溶液与一定食物的容器内，计量它们逐日的繁殖，他发现在任何时间t（以天计），草履虫总数都近似于．确定容器环境草履虫的最大容量．项目模块：智能汽车行驶问题任务一智能汽车提速问题相关知识：导数概念1.根据导数的定义求下列函数的导数：⑴⑵2.自变量取哪些值时，抛物线和的切线平行。3.求抛物线在点（-2,-8）和点(1,1)处的切线方程.4.讨论函数在点处的可导性与连续性任务训练一物体的运动方程为，求该物体在时的瞬时速度.任务二智能汽车避障换道问题相关知识：导数计算及其应用1.求下列各函数的导数：⑴⑵⑶⑷⑸⑹；⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃2.求下列函数的二阶导数⑴⑵⑶⑷⑸二维码呈现解题过程设，求⑹设，求3.求参数方程的导数⑴⑵⑶4.求下列方程所确定的隐函数的导数：⑴为常数）⑵二维码呈现解题过程⑶⑷⑸⑹5.用对数求导法求下列函数的导数：⑴⑵⑶二维码呈现解题过程⑷6.求下列函数的微分⑴⑵⑶⑷⑸⑹7.求下列各式的近似值⑴⑵⑶⑷8.验证下列函数在给定区间上是否满拉格朗日中值定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值.⑴⑵⑶⑷⑸9.在上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如满足，求出相应的值.10.验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值.⑴⑵⑶11.证明⑴；⑵。12.证明当时,有。13.用洛必达法则求下列函数的极限：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽14.求下列函数的极限：⑴⑵⑶⑷15.设,问:⑴是否存在?其值为何值?⑵能否用洛必达法则求上述极限,为什么16.求下列函数的单调区间⑴⑵⑶⑷17.求函数的极值⑴⑵⑶⑷18.函数在处有极小值，而极大值为，试确定的值.19.试问a为何值时，函数在处取得极值？它的极大值还是极小值，并求此极值。20.函数在给定区间上最大值和最小值：⑴⑵⑶⑷任务训练1.设电量，求时的电流．2.培养皿中的细菌在t天的总数，试求t为1天与4天时的细菌增长率．3.一止痛药进入人体th的效力．4.当血液由心脏流出，经动脉.微血管再回到静脉，血液压力不断下降，假设此压力，．5.培养皿中的细菌在t天的总数，试求t为1天与4天时的细菌增长率．6.若保持某柱体中的气体恒温，其压力P和体积V之间的变化关系可用式子．7.一正方体的棱长为，如果棱长增加，求正方体体积增加的近似值.8.现给一气球充气，在充气膨胀的过程中，我们均近似认为它为球形形状⑴当气球半径为10cm时，其体积以什么样的变化率在膨胀；⑵试估算当气球半径由10cm膨胀到11cm时气球增长的体积数。9.若保持某柱体中的气体恒温，其压力P和体积V之间的变化关系可用式子来刻划，其中均为常数，求压力P关于体积V的变化率。10.某型号电视机的生产成本（元）与生产量（台）的关系函数为：⑴求生产前100台的平均成本；⑵求当第100台生产出来时的边际成本。任务三智能汽车泊车问题相关知识：曲线的凸凹1.求下列函数的凸凹区间及拐点:⑴⑵⑶⑷2.作出下列函数的图形：⑴⑵⑶。任务训练1.设且，其中表示千件产品。是否存在一个能最大利润的生产水平，如果存在，是多少。2.有一窗户上部为一半圆，下部是矩形，周围长18㎝，求横截面的面积为最大，宽应为多少米？3.甲船以每小时20㎞的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82㎞处以18㎞／的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？4.假设高出地面0.5米的一个足球被踢出时，它的初速度为30米/秒，并与水平线成角。假定足球被踢出后在空中运动过程中受到的阻力为零，.自测题三（A）基础理论知识能力自测部分选择题1.曲线过点处的切线方程为（）A.B.C.D.2.已知函数，则=（）A.B.C.D.3..曲线在点处的法线方程为（）A.B.C.D.4.函数在闭区间上满足罗尔定理的（）A.2B.1C.0D.5.设，则在处（）A.不连续B.连续，但不可导C.连续，且仅有一介导数D.有任意阶导数6.求=（）A.2B.1C.D.7.设，则在点处，满足（）A.可导B.连续且可导C.连续但不可导D.可导但不连续8.下列结论正确的是（）A.B.若在点不可导，必不连续C.若在点不连续，必不可导D.若的图像在点有切线，必存在9.已知，则=（）A.B.C.D。10.如果函数在点可导，且取得极值，则（）A.1B.0C.不存在D.填空题11.函数在可导是它在连续的条件。12.若，则13.设，则。14.若函数在处可导，则，。15.曲线上切线平行于轴的点是。16.设单调可导，是的反函数，且，，则。17.设，，则。18.设则．19.曲线的拐点为。20.函数的极小值点为，极小值为。运算能力自测部分求下列函数的导数21.22.23.24.25.26.求下列函数的微分27.28..29.设函数在处都取得极值，求，的值。30.求的凹凸区间及拐点。应用能力自测部分31.描绘函数的图形。应用能力自测部分32.函数可导，且，又，求自测题三（B）基础理论知识能力自测部分选择题1.函数在闭区间［1,e］上满足拉格朗日中值定理的（）A.B.C.D.2.设，且存在，则=（）A.B.C.D.3.函数的极值点为（）A.B.C.D.4.设可微，则=（）A.B.C.D.5.设，则在点处的（）A.左.右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左.右导数都不存在6.设，则=（）A.B.C.D.填空题7.设，，则=。8.两条曲线和在点处相切，则常数，。运算能力自测部分求下列函数的导数9.10..11.12.13.求下列函数的微分14.15.16.求函数的极值。17.求的凹凸区间及拐点。应用能力自测部分18.设曲线方程为，求次曲线在处法线方程。19.设，确定常数的值，使20.描绘函数的图形。第二篇积分学预备知识模块2.1不定积分1.填空，凑成微分形式.⑴（）；⑵（）；⑶（）；⑷（）；⑸（）；⑹（）；⑺（）；⑻（）.2.验证下列等式是否成立：⑴;⑵;3.求不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．4.求不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽.5.一曲线过点（0，1），且在曲线上的任意点处的切线斜率为2，求该曲线的方程.6.已知一曲线经过点（0，0），且曲线上任一点的切线斜率为，求该曲线的方程．7.一曲线过点，且对应的函数在任一点导数为，求此曲线方程．2.2积分法8..求不定积分：⑴；⑵二维码呈现解题过程；解题过程：令QUOTEu=x2+ax-1u=x2+ax-1，则QUOTEdu=2x+adxudu还原变量QUOTEu=x2+ax-1u=x⑶;⑷；⑸⑹；⑺⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀;⒁；⒂．⒃；⒄；⒅；⒆；⒇；9.求不定积分⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽.10.求下列不定积分：⑴;⑵;⑶;⑷.11.求不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．12.求下列不定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸二维码呈现解题过程解题过程：令QUOTEu=tu=t，则QUOTEt=u2t=u2，对QUOTEtt求导可得：QUOTEdt=2ududt=2udu将换元关系代入原积分，化简得：QUOTE对QUOTE鈭玼eudu鈭玼eudu使用分部积分公式，分部积分公式为：QUOTE鈭玽dw=vw-鈭玾dv鈭玽dw=vw-鈭玾dv令QUOTEv=uv=u，则QUOTEdv=dudv=du；令QUOTEdw=eududw=eudu，则QUOTEw=euw=eu。将上述关系代入分部积分公式，计算得：再将QUOTEu=tu=t回代，整理得：2⑹；项目模块：刹车失灵控速停车问题任务一刹车距离建模问题相关知识定积分概念1.比较下列定积分值的大小：⑴；⑵；⑶．⑷2.估计下列定积分的值：⑴；⑵；⑶．⑷3.求证：．4.将下列阴影部分的图形面积用定积分表示出来．任务二刹车距离模型求解问题相关知识微积分的基本定理与积分计算1.求下列积分函数的导数⑴；⑵;⑶；⑷.2.求极限⑴；⑵．3.求定积分⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．4.求定积分⑴；⑵；⑶；⑷；⑸已知求；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．5.求定积分⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．6.求定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．7.利用函数的奇偶性求下列定积分：⑴；⑵.8.求定积分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．任务三刹车失灵控速停车问题相关知识无穷区间上的广义积分1.计算2.计算3.计算任务四导航行程问题相关知识定积分的应用（一）1.求由曲线与直线所围图形的面积。2.求由曲线.与直线所围图形的面积。3.求由曲线与直线.所围图形的面积。4.求在区间上，由曲线与直线所围图形的面积。5.求由曲线与该曲线在点处的法线所围平面图形的面积。6.曲线与轴所围成的图形，绕轴旋转一周所得旋转体的体积为自测题四（A）基础理论知识能力自测部分选择题1.设函数，则不定积分等于（）。A.B.C.D.2.曲线在上和轴围成图形的面积，用定积分可表示为（）。A.B.C.D.3.（）。A.B.C.D.4.设，则=（）。A.B.C.D.5.设函数，则不定积分等于（）。A.B.C.D.6.下列各式中正确的是（）。A.B.C.D.7.设是的一个原函数，则（）A.B.C.D.8.设函数，则有（）。A.极小值B.极小值C.极大值D.极大值9.正弦函数在区间上的平均值等于（）．A．0B．1C．D．10.抛物线与轴所围成的平面图形的面积等于（）．A．B．C．1D．填空题11.设是的一个原函数，则；12.由曲线，直线所围成的平面图形的面积可用定积分表示为。13.若，且，则=；14.比较大小；15.计算定积分的值；16.，为可导函数，且，又，则=；17.设，（为常数，且）则；18.已知，则；19.若为的一个原函数，则=；20.由直线所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成旋转体的体积可用定积分表示为。运算能力自测部分求下列积分题21.22.23.23.24.25.26.27.应用能力测试部分28.已知曲线上任一点的二阶导数是，且在曲线上（0，-2）处的切线为，求这条曲线的方程。29求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积．30.求曲线，，，所围成图形绕轴旋转所成立体的体积。自测题（B）基础理论知识能力自测部分选择题1.为任意常数，且，下列等式成立的有（）。A.B.C.D.2.定积分等于（）．A．0B．1C．2D．3（）。3.设定积分，则常数等于（）．A．B．；C．D．4.设以下出现的表达式均有意义，则正确的是（）。A.B.C.D.5.如果，则=（）。A.B.C.D.6.若，则等于（）。A.2B.2C.D.7.已知是的一个原函数,则（）。A.B.C.D.8.设，则A.B.C.D.9.=（）。A.B.C.D.10.由连续曲线，与两条直线，所围成图形的面积可表示为（）。A.B.C.D.填空11.=。12.用分部积分法求时，若设，则公式中。13..比较大小。14.根据定积分的性质，估计。15.=．16.=。17.设是正数。函数，，则是的。18.设函数，求。19.，则。20.设，则