第2课时 多项式和整式

第2课时单项式教学目标课题4.1第2课时多项式和整式授课人素养目标1.理解多项式、整式的概念.2.能确定一个多项式的项数和次数. 3.能用多项式表示实际问题中的数量关系，发展应用意识. 教学重点多项式及整式的有关概念.教学难点确定多项式的项数和次数.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，引入新知【回顾导入】下面哪些式子是单项式？并指出单项式的系数与次数.3，π，a2b，，a2＋b2，2＋b.单项式有3，π，a2b，.它们的系数分别是：3，π，1，eq\f(1,3).它们的次数分别是：0，0，3，1.上面还有一些式子不是单项式，它们是我们今天要学习的对象.【教学建议】对于非单项式的式子，让学生先观察它们的特征.设计意图回顾单项式的有关概念，同时引出多项式的学习.活动二：交流讨论，探究新知探究点多项式、整式的相关概念问题1在上一章中，我们还遇到一些代数式2n－10，x2＋2x＋8，2a＋3b，eq\f(1,2)ab－πr2你能说一说这些式子与单项式有什么区别?有加减运算.下面的代数式中被圈住的部分是不是单项式？这些代数式与被圈住的部分有什么关系？被圈住的部分均是单项式，这些代数式是被圈住的单项式的和.概念引入：1.多项式及其相关概念：像这样，几个单项式的和叫作多项式.其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项.多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数.2.整式：单项式与多项式统称整式.问题2观察表格中的多项式，仿照已经给出的例子，完成剩余的填空：多项式2n－10x2＋2x＋82a＋3beq\f(1,2)ab－πr2项（项数）2n，－10（2项）x2，2x，8（3项）2a，3b（2项）eq\f(1,2)ab，－πr2（2项）常数项－108无无次数1212几次几项式一次二项式二次三项式一次二项式二次二项式【对应训练】教材P93练习第1，2题.【教学建议】（1）在教学多项式的概念时，要注意和单项式的概念进行比较，通过比较两者之间的相同点和不同点，掌握两个概念之间的联系与区别.（2）多项式的项是单项式，对每个单项式来说都有系数，因此，多项式的每一项都有系数，但对常数项不说系数，对多项式来说，没有系数的概念.（3）单项式、多项式、多项式的项都有次数，教学中，要注意使学生理解它们之间的联系与区别.设计意图引入多项式及整式的有关概念，进一步强化符号意识.活动三：融会新知，巩固提升例（教材P92例2）用多项式填空，并指出它们的项和次数.一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为.m为一个有理数，m的立方与2的差为.某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为.现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为.解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1.（2）m3－2，它的项分别为m3，－2，次数是3.（3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1.（4）18a2＋4ab，它的项分别为18a2，4ab，次数是2.【对应训练】教材P93练习第3题.【教学建议】给学生强调，列多项式时，注意找准数量关系.比如，在（3）中，前两年共投放2a辆，第三年每个月回收b辆，一年有12个月，共回收12b辆，故第三年年底还剩余（2a－12b）辆.在（4）中，印章的表面积等于18个正方形的面积与8个等边三角形面积的和.设计意图用多项式表示数量关系，强化应用意识.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么样的式子是多项式？2.什么叫多项式的项？其中什么叫常数项？3.怎样判断多项式的项数和次数？4.什么是整式？【知识结构】【作业布置】1.教材P94习题4.1第3，4，6，7，8，9题．2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第2课时多项式和整式1.多项式2.多项式的项、多项式的次数3.整式教学反思要准确理解多项式的有关概念，必须先学好单项式，所以本节课既是新课程的学习，也是对前一课时学习的巩固.部分学生在初步接触多项式的次数的概念时，容易出错，但通过在练习中感悟理解，最终还是能理解清楚这一概念的含义，为后面的教学打下了良好的基础.解题大招一利用多项式的相关概念求值（1）一个多项式的次数是几，共有几项，这个多项式就是几次几项式.如3x2－2x＋1是二次三项式.（2）当多项式中某一项的系数为0时，该项为0，可视为没有此项.如，关于x，y的多项式3x2y＋ax＋y，若a＝0，则此多项式为三次二项式.（若a＝0，则ax＝0，原多项式化为3x2y＋y）例1如果多项式6xn＋2－x2＋2是关于x的三次三项式，那么n＝1.解析：因为多项式的次数为3，则只能是6xn＋2为三次项，则n＋2＝3，所以n＝1.例2已知多项式5x3ym－2xy3＋（n－1）x3y2＋4是关于x，y的六次三项式，求m2＋n2的值.解：因为多项式的次数为6，则只能是5x3ym的次数为6.所以3＋m＝6，则m＝3.因为多项式只有三项，所以n－1＝0，则n＝1.所以m2＋n2＝32＋12＝10.解题大招二利用整体思想求多项式的值当多项式中单个字母的值未知时，可以根据某一部分整体的值进行计算.例3已知a2－a－1＝0，求2a2－2a＋2024的值.解：因为a2－a－1＝0，所以a2－a＝1.所以2a2－2a＋2024＝2（a2－a）＋2024＝2×1＋2024＝2026.培优点列整式表示实际问题中的数量关系例某种树的高度与生长的年数有关，测得一棵树的有关数据如下表（树苗原高100cm）：年数a生长a年后这棵树的对应高度h/cm1115213031454160……（1）填出生长4年后这棵树的高度；（2）请用含a的代数式表示生长a年后这棵树的高度h：100＋15a；（3）若这棵树一直按这个规律生长，用你得到的代数式求生长50年后这棵树的高度.分析：（1）观察不难发现，每一年这棵树的高度都比上一年增加15cm；（2）根据增长规律解答即可；（3）把50代入关系式进行计算即可得解.解：当a＝50时，h＝100＋15×50＝100＋750＝850（cm）.因此，生长50年后这棵树的高度为850cm.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.若单项式-x2ya+3与单项式2xb-1y能合并为x2y,则a+b的值为()A.0 B.1 C.-1 D.-22.下列结论正确的是()①14(x2+y)是一个二次多项式;②多项式13(xy-x2-y2)的系数是13;③多项式是整式;④多项式x2+xy-7的次数是4;⑤1A.①②③④ B.①③ C.②③⑤ D.①④⑤3.给出下列式子:xy4,3a,π,x-y4,1,3a2+1,1A.1 B.2 C.3 D.44.多项式x2-kxy+5xy-1中不含xy的项,则k的值为()A.3 B.4 C.5 D.65.下列各式中,与-3a3b2是同类项的是()A.3a3b B.b2a3 C.b2a2 D.-3ab6.下列计算中,正确的是()A.6a+4b=10ab B.7x2y-3x2y=4x4y2C.7a2b-7ba2=0 D.8x2+8x2=16x47.下列去括号正确的是()A.x2-(x-3y)=x2-x-3y B.x2-3(y2-2xy)=x2-3y2+2xyC.m2-4(m-1)=m2-4m+4 D.a2-2(a-3)=a2+2a-68.已知M=2a+b,N=4a-3b,则2M-N的结果为()A.-2b B.-bC.4b D.5b9.如图,这是2024年1月的日历,用随意圈出五个数,所圈的五个数的和一定()A.能被2整除B.能被3整除C.能被4整除D.能被5整除10.已知关于x,y的两个多项式A=x3-axy+3x2y3+1,B=2x3-xy+bx2y3.小希在计算时把题目条件A+B错看成了A-B,求得的结果为-x3+2xy+1,那么小希最终计算的A+B中不含的项为()A.五次项 B.三次项 C.二次项 D.常数项二、填空题(将结果填在题中横线上)11.已知整式A与3a5是同类项,请写出一个满足已知条件的整式A:.

12.化简:8x-(3x-5)=.

13.某工厂第一车间有x人,第二车间比第一车间人数的一半多10人,如果从第二车间调出8人到第一车间,则调动后,第一车间的人数比第二车间多人.

14.已知关于x,y的多项式x2+mx-2y+n与nx2-3x+4y-7的差的值与字母x的取值无关,则n-m=.

15.若|a|表示有理数,则一定是非负数,也就是说它的值为正数或0,所以|a|的最小值为0.当|3(x+y)-12|有最小值时,(6x-7y)-(7x-6y)的值为.

16.已知(a+10)x3+cx2-2x+5是关于x的二次多项式,且有理数a,b,c满足(c-18)2=-|a+b|,则a-b+c=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.合并下列各式的同类项:(1)a+2b+3a-2b;(2)3x2+6x+5-4x2+7x-6;(3)x2y-3xy2+2yx2-y2x;(4)3(x+y)2-(x-y)+2(x+y)2+(x-y)-5(x+y)2.(提示:把(x-y)和(x+y)各看成一个整体)18.化简:(1)(8a2b-5ab2)-2(3a2b-4ab2);(2)3x2-[5x-(12x-3)+2x2]19.阅读下面材料,并完成相应学习任务.林林同学在计算2(ab2+3a2b)-3(ab2+a2b)-a2b时,写出如下计算步骤:2(ab2+3a2b)-3(ab2+a2b)-a2b=2ab2+6a2b-3ab2+3a2b-a2b第一步=2ab2-3ab2+6a2b+3a2b-a2b第二步=(2ab2-3ab2)+(6a2b+3a2b-a2b)第三步=-ab2+8a2b第四步(1)以上步骤第步开始出现了错误,错误的原因是.

(2)请写出正确的化简过程并求值,其中a=-12,b=220.已知A,B都是关于y的整式,其中B=y+2,小明在计算多项式A-2B的结果时,不小心把表示A的多项式弄脏了,现在只知道2B-A的结果为ay+2y-1.(1)请根据仅有的信息求出A表示的多项式;(2)若多项式2B-A中不含y的项,求a的值.21.某校七年级开展了“数学思维导图”评比活动,并设立一、二、三等奖共100个,二等奖个数比一等奖个数的3倍多10,设一等奖的个数为x.(1)请用含x的代数式表示:二等奖的个数是,三等奖的个数是;(填化简后的代数式)

(2)若一等奖奖品的单价为20元,二等奖奖品的单价为16元,三等奖奖品的单价为10元,请用含x的代数式表示购买100件奖品所需的总费用为元(结果化为最简);

(3)若一等奖的个数为10,结合(2),则该校购买100件奖品共花费多少元?综合训练1.B2.B3.D4.C5.B6.C7.C8.D9.D10.C11.4a5(答案不唯一)12.5x+513.x14.415.-416.-217.解:(1)a+2b+3a-2b=(a+3a)+(2b-2b)=(1+3)a+(2-2)b=4a.(2)3x2+6x+5-4x2+7x-6=(3x2-4x2)+(6x+7x)+(5-6)=(3-4)x2+(6+7)x+(-1)=-x2+13x-1.(3)x2y-3xy2+2yx2-y2x=(x2y+2yx2)+(-3xy2-y2x)=(1+2)x2y+(-3-1)xy2=3x2y-4xy2.(4)3(x+y)2-(x-y)+2(x+y)2+(x-y)-5(x+y)2=[3(x+y)2+2(x+y)2-5(x+y)2]+[(x-y)-(x-y)]=(3+2-5)(x+y)2+0=0.18.解:(1)(8a2b-5ab2)-2(3a2b-4ab2)=8a2b-5ab2-6a2b+8ab2=(8a2b-6a2b)+(-5ab2+8ab2)=(8-6)a2b+(-5+8)ab2=2a2b+3ab2.(2)3x2-5=3x2-5x+12x-3=3x2-5x+12x-3-2x=(3x2-2x2)+-5x=(3-2)x2+-5+1=x2-92x-319.解:(1)一(ab2+a2b)括号前是负数,去括号后括号内a2b项没有改变符号(2)原式=2ab2+6a2b-3ab2-3a2b-a2b=(2ab2-3ab2)+(6a2b-3a2b-a2b)=(2-3)ab2+(6-3-1)a2b=-ab2+2a2b.当a=-12,b=2时原式=--12×22+2×-=--12×4+2×1=-(-2)+12×=2+1=3.20.解:(1)因为2B-A=ay+2y-1,所以A=2(y+2)-(ay+2y-1)=2y+4-ay-2y+1=-ay+5.所以A=-ay+5.(2)因为2B