2025-2026年天津市部编版高一数学第六十七章排列组合与函数综合练习题

2025-2026年天津市部编版高一数学第六十七章排列组合与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在排列组合问题中，从5名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有（）种。A.60B.100C.120D.160解析：本题考查组合数的计算及分类计数原理。首先计算从9人中任选3人的总数为C(9,3)=84种。排除全为男生的情形，即从5名男生中选3人的情况C(5,3)=10种。因此至少含1名女生的选法为84-10=74种。但选项均未出现74，需重新审题。题干要求至少1名女生，可分类：1女2男（C(4,1)×C(5,2)=40种）、2女1男（C(4,2)×C(5,1)=30种）、3女（C(4,3)=4种），合计40+30+4=74种。选项错误，需修正题干为“至少含2名女生”或“至少含1名男生”。按原题干正确答案应为74，但选项设置错误。若改为“至少含1名女生”，正确选项为D。2.函数f(x)=2x-1在区间[1,3]上的值域为（）。A.[-1,5]B.[1,5]C.[-3,5]D.[-1,3]解析：本题考查函数单调性与值域的求解。f(x)为一次函数，在R上单调递增。当x=1时，f(1)=1；当x=3时，f(3)=5。因此值域为[1,5]。选项B正确。若改为f(x)=x^2-1，则需用二次函数顶点法求解，此时值域为[0,8]。需注意一次函数与二次函数的求解方法差异。3.若A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）。A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅解析：本题考查集合的运算。A={1,2}，B为奇数集。两集合交集为空集，故选D。若改为B={x|x=2k-1}，则A∩B={1}。需注意集合元素的互异性及整数集的表示方法。4.若直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相交于两点，则k的取值范围是（）。A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)解析：本题考查直线与圆的位置关系。圆心(1,2)，半径r=2。直线过定点(0,1)，设圆心到直线的距离d=|k×1-2+1|/√(k^2+1)=|k-1|/√(k^2+1)<2。解得k∈(-2,2)。选项C正确。若改为直线过圆心，则k=1/2，此时相切。需注意直线过定点时距离公式的应用。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）。A.1B.2C.3D.4解析：本题考查绝对值函数的性质。f(x)可分段表示为：f(x)=-2x-1(x<-2)3(x∈[-2,1])2x+1(x>1)在x=1处取得最小值3。选项C正确。若改为f(x)=|x-a|+|x-b|，则最小值为|a-b|。需注意绝对值函数的零点分段处理。6.从6名男生和4名女生中选出3人组成小组，要求男生人数不少于女生人数，则不同的选法共有（）种。A.20B.30C.40D.50解析：本题考查组合数的实际应用。分类：3男（C(6,3)=20）、2男1女（C(6,2)×C(4,1)=60）、1男2女（C(6,1)×C(4,2)=36），但需减去女生人数超过男生的情况。实际计算为20+60=80种。选项均错误，需修正题干为“至少含2名男生”。7.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点为（）。A.-1B.0C.1D.-1,0,1解析：本题考查导数与极值。f'(x)=3x^2-3=0得x=±1。f(-2)=-10，f(-1)=2，f(0)=0，f(1)=-2，f(2)=2。极值点为-1,0,1。选项D正确。若改为f(x)=x^4-4x^2，则需判别二阶导数确定拐点。需注意极值与最值的区别。8.若集合A={x|ax=1}与集合B={x|x^2+x+a=0}的元素个数相等，则a的取值是（）。A.0B.1C.-1D.任意实数解析：本题考查集合的等价关系。A=∅时a=0；A≠∅时a≠0，A={1/a}。B=∅时Δ<0即a<-1/4；B={0}时a=0；B={-1}时a=1；B≠∅且元素个数为2时a>-1/4且a≠1。若A与B元素个数相等，则a=1。选项B正确。若改为A={x|ax=0}，则a=0或a=1。需注意方程根的讨论。9.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限的交点个数为（）。A.0B.1C.2D.无数解析：本题考查指数函数的性质。设f(x)=2^x-3^x，f(0)=0，f(1)=-1/6，f(2)=-4/9。f(x)在(0,+∞)上单调递减且恒小于0，故有唯一交点。选项B正确。若改为y=2^x与y=3^x的图像在第二象限的交点，则无交点。需注意指数函数的单调性及图像特征。10.若函数f(x)=x^2+px+q的图像经过点(1,0)且对称轴为x=-1，则f(2)的值为（）。A.0B.1C.2D.3解析：本题考查二次函数的图像与性质。由f(1)=0得1+p+q=0；由对称轴x=-1得-p/2=-1即p=2。代入得q=-3。f(x)=x^2+2x-3，f(2)=1。选项B正确。若改为对称轴为x=1，则p=-2，f(2)=5。需注意对称轴公式x=-b/2a的应用。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名志愿者中选出3人分别负责A、B、C三项工作，要求甲不能负责A工作，则不同的安排方法共有______种。解析：分类：甲不参加（C(4,3)×A(3,3)=24）；甲参加且不负责A（C(4,2)×A(3,2)=36）。合计60种。2.函数f(x)=√(x+1)的定义域为______。解析：x+1≥0即x≥-1。3.若集合A={1,2,3}，B={x|ax=1}，且A∩B={2}，则a的值为______。解析：2a=1即a=1/2。4.直线y=2x+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=5的交点个数为______。解析：圆心(1,2)，半径√5。直线过圆心，交点个数为2。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点x=______。解析：x=-2时取得最小值3。6.从6个不同的球中任取3个，则恰好包含红球的取法共有______种（假设红球有1个）。解析：先选红球（1种），再从5球中选2（C(5,2)=10）。合计10种。7.函数y=sin(x+π/4)的周期为______。解析：周期T=2π。8.若函数f(x)=x^2+mx+1在x=1处取得极小值，则m的值为______。解析：f'(1)=2+1=0即m=-3。9.集合A={x|x^2-4x+3=0}与集合B={x|x=2k-1，k∈N}的交集为______。解析：A={1,3}，B={1,3,5,...}，交集={1,3}。10.函数y=2^x与y=1/2^x的图像关于______对称。解析：关于y轴对称。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从5名男生和4名女生中选出3人组成委员会，则不同的选法共有C(9,3)=84种。解析：正确。组合问题不考虑顺序。2.函数f(x)=x^3在R上单调递增。解析：正确。f'(x)=3x^2≥0。3.若A⊆B，则A∩B=A。解析：正确。子集与自身交集仍为子集。4.直线y=kx+b与圆(x-a)^2+(y-c)^2=r^2相切的条件是|ka+cb-r|=0。解析：错误。正确条件为d=r即|ka+cb-r|/√(k^2+1)=r。5.函数y=|x|在R上单调递增。解析：错误。在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增。6.若集合A={x|x^2-1=0}，B={x|x^2+x-2=0}，则A=B。解析：正确。两集合均为{-1,1}。7.函数f(x)=x^2+1在R上存在最大值。解析：错误。开口向上无最大值。8.函数y=cos(x+π/2)的图像与y=sin(x)的图像完全重合。解析：正确。相位差π/2。9.若直线y=kx+1与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相交，则k的取值范围是(-2,2)。解析：正确。圆心到直线距离小于半径。10.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限有且仅有一个交点。解析：正确。指数函数单调性保证唯一交点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出集合A={x|x^2-5x+6=0}的所有子集。解析：A={2,3}。子集：∅,{2},{3},{2,3}。2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解析：f'(x)=3x^2-6x=0得x=0,2。f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0。最大值2，最小值-16。3.证明：函数f(x)=x^3在R上单调递增。解析：f'(x)=3x^2≥0，且等号仅在x=0处成立。由单调性定义，对任意x1<x2，f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3=(x2-x1)(x1^2+x1x2+x2^2)≥0。4.求过点(1,2)且与直线y=3x-1平行的直线方程。解析：斜率k=3。y-2=3(x-1)即y=3x-1。5.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，对称轴为x=-2，且f(0)=3，求a,b,c的值。解析：f(1)=a+b+c=0，-b/2a=-2即b=4a，f(0)=c=3。代入得a=-1，b=-4，c=3。6.写出函数y=2^x的图像经过的三个特殊点。解析：(0,1)，(1,2)，(-1,1/2)。7.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，求A∪B。解析：A={1,2}，B={...,-3,-1,1,3,...}，A∪B={...,-3,-1,1,2,3,...}。8.解释为什么函数y=|x|在R上不是单调函数。解析：在(-∞,0)单调递减，(0,+∞)单调递增。单调函数要求在整个定义域上保持同一单调性。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要选出5名学生组成代表队，要求至少包含2名女生，且代表队中男生人数不能超过3名，问有多少种不同的选法？解析：分类：2女3男（C(20,2)×C(30,3)=9900），3女2男（C(20,3)×C(30,2)=11400），4女1男（C(20,4)×C(30,1)=4845），5女（C(20,5)=15504）。合计37749种。2.函数f(x)=x^2-4x+3与g(x)=2x-1的图像相交，求交点坐标。解析：x^2-4x+3=2x-1得x^2-6x+4=0。解得x=3±√5。交点为(3+√5,5+2√5)，(3-√5,5-2√5)。3.某城市地铁线路有5条主干线，每条主干线有3条支线。若乘客从某条主干线出发，经过一条支线到达另一条主干线，问有多少种不同的换乘方式？解析：从5条主干线任选2条（C(5,2)=10），每条主干线有3条支线（A(3,1)=3）。合计10×3=30种。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？此时x取何值？解析：分段：x<-2时，f(x)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=3；x>1时，f(x)=2x+1。最小值为3，此时x∈[-2,1]。5.若集合A={x|x^2-px+q=0}与集合B={x|x^2+px+q=0}的交集为{1}，求p,q的值。解析：1是两方程的根。代入得1-p+q=0，1+p+q=0。解得p=1，q=-2。6.求过点(1,2)且与圆(x-1)^2+(y-2)^2=4相切的直线方程。解析：设切线方程y-2=k(x-1)。圆心(1,2)，半径r=2。圆心到直线距离d=|k×0-0+0|/√(k^2+1)=2。解得k=±√3。切线方程为y-2=√3(x-1)或y-2=-√3(x-1)。7.函数f(x)=2^x在区间[-1,1]上的值域是什么？解析：f(-1)=1/2，f(1)=2。值域为[1/2,2]。8.若集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，求A∩B。解析：A为偶数集，B为形如3k+1的整数集。交集为6k+1（k∈Z）。即{...