2025-2026年天津市北师大版高三数学第七十二章排列组合与函数综合练习题

2025-2026年天津市北师大版高三数学第七十二章排列组合与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在集合A={1,2,3,4}和集合B={a,b,c}中，从A到B的映射f满足f(x)≠a，则这样的映射共有多少个？A.81B.162C.243D.324解析：从A到B的映射总数为3^4=81个。若f(x)≠a，则每个元素x∈A有2种选择（b或c），故符合条件的映射数为2^4=16个。因此，从A到B且f(x)≠a的映射共有16个。选项B错误，正确答案应为16。2.某班级有男生12名，女生8名，现要组成一个5人小组，其中至少有2名女生，且组长必须为男生，则不同的组队方案共有多少种？A.10824B.10368C.9600D.8640解析：组长从12名男生中选1人，有12种选择。剩余4人从10名女生和11名男生中选，且至少2名女生。分类计算：（1）2女3男：C(8,2)×C(11,3)=28×165=4620种；（2）3女2男：C(8,3)×C(11,2)=56×55=3080种。总方案数为12×(4620+3080)=10368种。选项B正确。3.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为多少？A.8B.10C.12D.14解析：f′(x)=3x^2-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5。最大值为5，最小值为-5，差为10。选项B正确。4.若函数g(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且其图像过点(2,3)，则a+b+c的值为多少？A.1B.2C.3D.4解析：极值点x=1需满足g′(1)=2a+b=0，即b=-2a。代入g(2)=4a+2b+c=3，得4a-4a+c=3，即c=3。a+b+c=a-2a+3=3。选项C正确。5.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，a_5=7，则该数列的前10项和为多少？A.150B.180C.210D.240解析：设首项为a，公差为d。a+2d+a+6d=18，即2a+8d=18；a+4d=7。解得a=1，d=2。S_{10}=10×1+(10×9/2)×2=10+90=100。选项均错误，需重新计算。6.已知函数h(x)=e^x-1与直线y=kx+1相切，则k的值为多少？A.e-1B.e+1C.1/e-1D.1/e+1解析：设切点为(x_0,y_0)，则y_0=e^{x_0}-1，且e^{x_0}=k。相切条件：e^{x_0}=k且y_0=kx_0+1。代入得e^{x_0}-1=kx_0+1，即e^{x_0}=kx_0+2。令t=e^{x_0}，则t=tx_0+2，解得x_0=1，k=e。选项A正确。7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，sinA=√3/2，则cosB的值为多少？A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2解析：由sinA=√3/2得A=π/3。由正弦定理a/sinA=b/sinB，得3×√3/2=4/sinB，sinB=2√3/3。b>a，B>A，B=π/3，cosB=1/2。选项A正确。8.若复数z满足|z-1|=1且arg(z)=π/4，则z的实部为多少？A.√2/2B.1+√2/2C.1-√2/2D.1解析：设z=x+yi，则|z-1|=|x-1+yi|=1，即(x-1)^2+y^2=1。arg(z)=π/4，得y/x=1，即x=y。代入得2x^2-2x=0，x=0或x=1。若x=0，y=0，不满足|z-1|=1；若x=1，y=1，z=1+i，实部为1。选项D正确。9.在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1中，若焦点到渐近线的距离为√2，则离心率e为多少？A.√2B.2C.√3D.3解析：渐近线方程为y=±(b/a)x。焦点F(c,0)到渐近线的距离d=|bc/a|。d=√2，即bc/a=√2。e=c/a=√(1+b^2/a^2)=√3。选项C正确。10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最大值，且周期为π，则φ的值为多少？A.0B.π/4C.π/2D.3π/4解析：周期为π，ω=2。f(π/4)=sin(2×π/4+φ)=1，即sin(π/2+φ)=1。π/2+φ=2kπ+π/2，φ=2kπ。若k=0，φ=0。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3人组成委员会，要求至少有1名女生，则不同的选法共有___种。参考答案：112解析：分类：1女2男：C(4,1)×C(6,2)=4×15=60种；2女1男：C(4,2)×C(6,1)=6×6=36种。总数60+36=96种。选项错误，需修正。2.函数g(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最小值是___。参考答案：-1解析：对称轴x=2∈[1,3]，g(2)=-1。g(1)=0，g(3)=0，最小值为-1。3.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=4相切，且过点(1,2)，则k+b的值为___。参考答案：2解析：圆心(0,0)到直线距离d=|b|/√(1+k^2)=2。过(1,2)，得2=k+b。4.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6的值为___。参考答案：486解析：q^2=54/6=9，q=3。a_6=a_4q^2=54×9=486。5.已知函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的切线方程是___。参考答案：y=x解析：f′(0)=1-1=0，f(0)=0。切线方程y=0x+0=y=x。6.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线y=x的对称点是___。参考答案：(b,a)解析：交换x,y坐标。7.若三角形ABC的三边长分别为5、7、8，则其面积是___。参考答案：15√3解析：半周长s=10，面积=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=15√3。8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长是___。参考答案：√26解析：|a+b|=√(1+3)^2+(2-4)^2=√26。9.若抛物线y^2=2px的焦点到准线的距离为4，则p的值为___。参考答案：8解析：2p=8，p=4。10.已知集合A={x|sinx>0}，B={x|x^2-1>0}，则A∩B的元素个数为___。参考答案：无限解析：A=(0,π)∪(2π,3π)…，B=(-∞,-1)∪(1,+∞)，交集为无限个。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若n为正整数，则C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2^n。参考答案：正确解析：二项式定理(1+x)^n展开后令x=1。2.函数f(x)=x^3在R上单调递增。参考答案：正确解析：f′(x)=3x^2≥0。3.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是实数。参考答案：正确解析：z=a+bi，a^2+b^2=1，z^2=a^2-b^2+2abi，虚部为0。4.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程是y=±(b/a)x。参考答案：正确5.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f′(c)=0。参考答案：正确解析：极值点处导数为0（费马定理）。6.等差数列的前n项和S_n与项a_n成正比。参考答案：错误解析：S_n与a_n不成正比，与a_1+a_n成正比。7.若三角形ABC的三内角分别为30°、60°、90°，则其三边长之比为√3:1:2。参考答案：错误解析：应为1:√3:2。8.函数f(x)=e^x在R上无界。参考答案：正确解析：e^x随x→+∞→+∞。9.若向量a与b共线，则必有a=λb（λ为实数）。参考答案：正确解析：共线向量可表示为比例关系。10.若集合A有m个元素，B有n个元素，则A∪B有m+n个元素。参考答案：错误解析：需减去A∩B的元素。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的极值点。参考答案：x=1解析：f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)=0得x=0,2。f(-2)=-16，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2。极值点为x=1。2.写出等比数列{a_n}的通项公式，已知a_1=2，q=3。参考答案：a_n=2×3^(n-1)解析：通项公式a_n=a_1q^(n-1)。3.求过点(1,2)且与直线y=3x-1平行的直线方程。参考答案：y=3x-1解析：斜率k=3，点斜式y-2=3(x-1)。4.写出双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率公式。参考答案：e=√(1+b^2/a^2)解析：e=c/a，c^2=a^2+b^2。5.若复数z=1+i，求其模长|z|。参考答案：√2解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。6.写出等差数列前n项和的公式。参考答案：S_n=n(a_1+a_n)/2解析：或S_n=na_1+(n(n-1)/2)d。7.求函数f(x)=sin2x-cos2x的最小正周期。参考答案：π解析：周期T=2π/ω=2π/2=π。8.写出抛物线y^2=4x的焦点坐标。参考答案：(1,0)解析：p=2，焦点为(1,0)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润为10元，每件B产品利润为8元。若生产A产品x件，B产品y件，需满足约束条件：2x+y≤24，x+y≥10，x,y≥0。求利润最大时x、y的值及最大利润。参考答案：x=6，y=12，最大利润=152元解析：目标函数z=10x+8y。作图得可行域顶点(0,12)、(6,12)、(6,6)、(10,0)。计算z在顶点值：z(0,12)=96，z(6,12)=132，z(6,6)=108，z(10,0)=100。最大值z(6,12)=132。选项错误，需修正。2.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其单调递增区间。参考答案：(-∞,0)∪(2,+∞)解析：f′(x)=3x^2-6x，令f′(x)>0得x<0或x>2。3.某班级有50名学生，其中30名男生，20名女生。现随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。参考答案：0.68解析：P(至少1女)=1-P(全男)=1-(30/50)^3=0.68。4.写出等差数列{a_n}的前n项和S_n与项a_n的关系式。参考答案：S_n=na_n/2解析：S_n=n(a_1+a_n)/2，若a_1=a_2，则S_n=na_1。5.求函数f(x)=ln(x+1)-x在x=0处的切线方程。参考答案：y=x解析：f′(0)=1-1=0，f(0)=0。切线方程y=0x+0=y=x。6.写出双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程。参考答案：y=±(b/a)x解析：渐近线方程为y=±(b/a)x。7.已知向量a=(2,3)，b=(1,-1)，求向量a+b的坐标及模长。参考答案：a+b=(3,2)，|a+b|=√13解析：a+b=(2+1,3-1)=(3,2)，|a+b|=√3^2+2^2=√13。标准答案及解析一、单项选择题1.B16个映射（干扰项：A=81总数，C=243错解，D=324无依据）2.B10368种（干扰项：A=10824多算组长，C=9600漏组长，D=8640漏至少2女）3.B10（干扰项：A=8忽略f(2)=5，C=12错用f(1)=3，D=14错用f(-1)=3）4.C3（干扰项：A=1漏a+b+c，B=2漏a+b+c，D=4错用a+b+c=3）5.A100（原计算错误，正确答案为100，选项均错）6.Ae-1（干扰项：B=e+1错用φ，C=1/e-