【《洛必达法则在求解未定式幂指函数的极限中的应用研究》6200字（论文）】

洛必达法则在求解未定式幂指函数的极限中的应用研究摘要函数极限是高等数学的重要内容之一，同时也是微积分学的基础。而幂指函数的极限问题是在研究函数极限的过程中经常遇到的一类问题。幂指函数在大学的各类相关考试中都占据着重要部分，但是幂指函数的结构比较特殊，难以用常规的方法求解其极限，在《高等数学》的课本中没有专门探讨幂指函数的极限问题，特别是对于未定型下的幂指函数，更不容易求解其极限。为了解决这个问题，我们想到可以将幂指函数进行转换，变成，形式的函数，然后使用洛必达法则来求解其极限。在计算未定式的时候利用洛必达法则可以有效、快速、简便地求出函数的极限，所以用洛必达法则求解不定式的极限在微分学中非常重要，而不同的未定式，求其极限所用的方法也不一样。通过对洛必达法则和幂指函数的介绍，本文将由具体实例对洛必达法则在未定型形式下幂指函数的极限中的应用这一课题进行研究和探讨。关键词洛必达法则幂指函数未定型函数极限确定式目录摘要 IABSTRACT II前言 11、绪论 12、幂指函数与洛必达法则的定义 22.1幂指函数的定义 22.2洛必达法则 23、幂指函数的极限 33.1利用重要极限公式直接求解 33.2幂指函数为确定式 43.3幂指函数为未定式 44、洛必达法则在求解未定式幂指函数的极限中的应用 44.1计算三种未定式的定理 54.2洛必达法则在三种未定式中的应用 54.2.1基本型的不定式极限 64.2.2其他不定式极限 84.2.3未定式形式下幂指函数的极限 94.3洛必达法则的应用条件 135、结束语 15参考文献 15前言在数学研究中，经常会用到函数极限。在大学期末考试，研究生入学考试中，求解幂指函数的极限也是一个重要的考点。我们在函数极限中已经学过泰勒公式、等价无穷小代换等求解极限的方法，但由于幂指函数的特殊性，这些方法不一定适用。所以根据幂指函数结构的特点，为求解幂指函数的极限总结了一些特殊的办法，洛必达法则就是其中一种。洛必达法则其实并不是专门为了求幂指函数极限而发现的，而是应用于或型的不定式。但是当自变量进行变换时，、、型的幂指函数可以转化成对数恒等式或者指数形式。满足洛必达法则的要求时，用洛必达法则能够有效地求出幂指函数的极限并且可以减少计算量。因此，洛必达法则解决了很多求幂指函数的极限的问题并且为幂指函数极限的研究提供了思路和方向。1、绪论函数极限是大学《高等数学》和《数学分析》中的重要组成部分，同时也是学习微积分学的基础，所以掌握函数极限的求解方法对于函数的研究来说非常重要。洛必达法则便是求解函数极限的众多方法中的一种，它是在一定条件下通过对分式的分子分母分别求导，然后再来求解极限以确定未定式极限值的方法。该法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（JohannBernoulli）提出的，所以也叫伯努利法则。洛必达法则最早是出现在洛必达的《无限小分析》一书中。在1673年，莱布尼茨首次使用函数一词表示幂，后来对函数越来越多的研究，总结了幂函数和指数函数，进而提出了幂指函数。在《高等数学》一书中也有提到幂指函数的定义，形如的函数就是幂指函数，在大学数学的研究过程中，我们可以利用幂指函数的一些特征，借助幂指函数构造辅助函数去证明某些命题。幂指函数在生活中也经常用到，例如在桥梁施工时预测桩基沉降会用到幂指函数，有时我们在银行存钱会涉及到连续复利的问题也会用到幂指函数的极限，而这些都是跟我们的生活密切相关，因此，求解幂指函数的极限是学习函数极限的重要的环节。但是由于幂指函数的结构具有特殊性，大部分教材上有关幂指函数的内容很少，没有详细地叙述怎样求解幂指函数的极限，并且也没有对其进行深入地研究。求幂指函数的极限是会经常遇到很多不同的情况，最简单的一种是和在自变量变化的情况下均趋近于一个非零的常数，即幂指函数为确定式，在这种情况下求幂指函数极限通常是直接代入原式求解。而大多数情况则是遇到未定型形下式的幂指函数，即、、型的幂指函数，而这类幂指函数求极限时往往是将其转化成对数恒等式（）的形式，再转化为型的未定式，最后根据表达式的具体形式，将其转化为或，最后使用洛必达法则进行极限的计算。其中，型的幂指函数也可以使用特殊的公式来进行求解。2、幂指函数与洛必达法则的定义2.1幂指函数的定义定义1：设两个函数与的定义域为，形如（）的函数称为幂指函数。特别地，（且为常数）称为指数函数；（为常数）称为幂函数。对于幂指函数来说，无论是求导还是求极限，最重要的一步就是将其对数化，即等式的左右两边都取对数，然后将其化为以为底的指数函数。而转化到这一步的时候，才可以去判断是否可以用洛必达法则，之后就可以根据题目中的要求来解决问题了，所以取对数，化成指数函数是幂指函数求极限的重要步骤。2.2洛必达法则定理1[8]：设函数和在上可导（是某个正常数），且。若此时有或，且存在（可以是有限数或者），则成立。洛必达法则的原理其实就是对两个函数的商式中的分子分母分别进行求导，不过需要注意的就是，这个求导不是对整个商式一起求导，所以在求导时要和除法求导的公式区分开，避免造成不必要的错误。同时我们还要判断求导之后是否有极限存在，因为洛必达法则是在对原式的分子分母分别求完导之后再对它们进行求解极限，最后得出原式的极限。如果求导之后没有极限，那么便不可以使用洛必达法则进行求解极限。3、幂指函数的极限求解函数极限是大学数学中常见的一类问题，而求解幂指函数的极限在研究生入学考试的命题中经常出现。有关幂指函数的题目数量多，灵活性很强，对于求解幂指函数极限的问题，许多人不能对各种类型的题加以区分，没法快速地找到相应的求解方法，从而影响了做题的正确率。经过研究发现，出现该问题的原因主要是对幂指函数的定义理解不全面。所以，我们有必要对幂指函数极限的各种类型进行深入地讨论，并总结出切实有效的求解方法，增加大家对求解幂指函数极限的技能的理解和运用此技能的能力。对于大学生而言，求解幂指函数的极限是大学数学学习中的重难点，所以掌握幂指函数极限的求解方法显得尤为重要。幂指函数求极限通常分为以下三类：3.1利用重要极限公式直接求解重要极限公式：推广公式：重要极限公式虽然很实用，但是在使用的过程当中一定要注意自变量的取值范围，即对连续的函数，当时有，如果不满足条件，即使形式一样，那么也是不能使用重要极限公式的。例1：计算解：原式=====3.2幂指函数为确定式幂指函数为确定式时，通常用直接法求解幂指函数的极限，即在自变量的同一变化过程中，的极限存在且极限为，的极限存在且极限为，则的极限也存在，且。这一类的幂指函数是最简单的，求极限时只要是正常极限，直接带入进去即可。例2：求极限解：因为>0，为正常极限，所以可以直接代入得到极限=1例3：求极限解：因为>0，为正常极限，所以可以直接代入得到极限=3.3幂指函数为未定式在自变量的同一变化过程中，的极限存在且极限为，的极限存在且极限为，当和的取值为以下取值范围时，幂指函数为未定式：=1\*GB3①，即是型未定式幂指函数；=2\*GB3②，即是型未定式幂指函数；=3\*GB3③，即是型未定式幂指函数；此时，我们无法用常规的方法求解上述三种类型的幂指函数的极限，但是可以先将幂指函数进行变形，然后使用洛必达法则可以求解其极限。4、洛必达法则在求解未定式幂指函数的极限中的应用求解未定式形式下幂指函数的极限一直是大学数学微积分中的重难点。对于这一类幂指函数，我们大多数情况下是使用洛必达法则来求解极限。在研究生入学考试中，经常考查未定式的极限求解，其中和最为重要，因为其他形式的不定式，比如说未定型形式下的幂指函数可以通过变化得到这两种未定式，求解未定式极限的方法就是使用洛必达法则。但是在求解该类问题时，不能首先就直接使用洛必达法则，要先看它是否能进行化简，常用的化简方法有：等价无穷小代换，分子分母有理化，提取极限为非零常数的因子。化简完之后再用洛必达法则求解，其中等价无穷小代换是最经常使用的化简方式，在化简求导后极限存在的情况下若还能再次求导并且极限存在，那么可以多次使用洛必达法则。4.1计算三种未定式的定理定理2[2]在的某一变化过程中，幂指函数属于三种未定式之一，如果，则证明：幂指函数，，由，复合而成。先讨论第一种情况：因为，为实数，，利用复合函数的极限运算法则，所以，同理可证得上述其它两种情况。例4计算解：因为所以4.2洛必达法则在三种未定式中的应用两个无穷小量或者两个无穷大量之比的极限称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限，求解不定式极限最常用的方法就是洛必达法则，洛必达法则可以求解大部分未定式的极限，所以为了借用洛必达法则基本解决未定式的极限问题，将其余非比式型的未定式极限转换为比式型的未定式极限也就显得十分必要了[6]，比如将未定型的幂指函数通过化简得到和的不定式，然后用洛必达法则求解极限。只有当商式中分子分母的导数的极限均存在时才可以使用洛必达法则，否则洛必达法则对求解其极限不适用。若无法判断是否能够求导或者无法确定求导后极限是否存在，可以用其他方法来辅助判断，比如继续对其求导等，若判断出可导且求导后极限存在则可继续使用洛必达法则求解。若求导后仍然是不定式的形式，那么继续判断是否能再次求导以及求导后极限是否存在，满足条件则可以再次使用洛必达法则。例5求极限解：此题虽然是型未定式求极限，但是由于原式求导后为，此时极限不存在，所以无法使用洛必达法则对原式的极限进行求解。此时应该分子分母同时除以一个，再经过四则运算，利用无穷小性质求出。4.2.1基本型的不定式极限1、型不定式大部分情况下我们是运用洛必达法则对其求解极限，当分子或者分母是两个极限趋近于0的式子相乘的时候，我们通常会先对其进行等价无穷小代换，或者提出原式中的极限非零因子，然后再用洛必达法则求解极限，这样的话，计算过程会更加简便。以下是常用的等价无穷小：当时有例6求解：这是型不等式，直接运用洛必达法则求解原式==例7求极限（2008年研究生入学考试数学二15题）解：此题函数的分子中有无穷小式子的乘积，故先使用等价无穷小代换对原式进行化简，然后使用洛必达法则进行求解。例8求极限（2007年研究生入学考试数学二11题）解：本题直接用洛必达法则进行求解，由于分子中是两个无穷小量相减，故在使用洛必达法则之前不能使用等价无穷小代换对其进行化简。例9求极限解：本题是型不定式，直接使用洛必达法则会使得计算过程非常繁琐，所以必须先对其进行化简，先提出分母中的极限非零因子，然后通过等价无穷小代换进行化简，最后使用洛必达法则求得极限。2、型不定式极限对于该类型的不定式，我们通常都会直接使用洛必达法则进行求解，有时也会用等价无穷小代换进行化简。例10求解：本题可以直接用洛必达法则求解极限。原式==4.2.2其他不定式极限1、型可将乘积中的无穷值变形到分母上，转化为或型，用洛必达法则。例11求解：原式=例12求极限解：本题是型未定式，通过提出极限非零的因子的极限和等价无穷小的变换化成型。2、型可先将两个无穷大量转换成两个无穷小量的倒数（倒代换），再将该式通分，使其化为或型。例13求解：原式===4.2.3未定式形式下幂指函数的极限遇到此类幂指函数，我们大部分情况是将其对数化，也就是将幂指函数化为指数函数的形式，如，然后可以用指数函数的连续性直接求得指数函数的极限，再将其转化为或，最后使用洛必达法则求得极限。引理1：设函数，则函数。此时，求极限就等同于求极限，即。利用此方法化简后的表达式是或者型的未定式。1、型型是未定式幂指函数中最常见的一种形式，求解此类型的幂指函数的极限经常会用到四种方法：、可利用对数的性质将函数化简成以为底的指数函数，然后使用洛必达法则。、利用第二个重要极限来求极限。、对的两边同时取对数，然后取极限，求出即求得原式的极限。、利用如下的定理公式来求解，此方法最常用，能够有效地减少运算量。定理3：若对于连续函数和有，且，则。定理4：设连续函数，若，且存在，则。证明如下：。例14求极限（2011年研究生入学考试数学二9题）解：方法1：将原式化为以为底的指数函数，然后用洛必达法则求解极限。而所以方法2：利用定理1求解因为所以令所以所以例15求极限（2010年研究生入学考试数学三）解：，应用洛必达法则：当，有等价无穷小所以例16求极限（2011年研究生入学考试数学一）解：由得例17求极限（2013年研究生入学考试数学二）解：因为当，是未定式极限，用上述定理2求解，所以例18求极限（2010年研究生入学考试数学一）解：，又2、型此类型未定式求解方法就是将原式转换成指数函数的形式，然后用洛必达法则求解极限。在使用洛必达法则之前同样要先看是否能等价无穷小代换。化简方法：例19求解：原式===例20求解：3、型型求极限的方法与前面型求极限的方法基本一致。都是通过等价无穷小代换，然后化成指数形式，用洛必达法则求解。化简方法：例21求解：原式===例22求解：先求未定式型，根据洛必达法则可得所以4.3洛必达法则的应用条件只有不定式才可以使用洛必达法则，如果不是未定式则不可以使用洛必达法则来求极限。在使用洛必达法则的时候，我们要确定幂指函数是否已经化为分数形式，并且分子分母的极限都等于或者，其次，我们要确认分子分母在限定的区域内是否可导，在求导的过程中一定要注意是分子和分母分别求导，而不是看成一个整式求导，和整式除法的求导是有区别的。如果满足上述的两个条件，那么则继续对现有的表达式进行求导并且判断求导之后的极限是否存在：如果存在，那么则可以使用洛必达法则直接求得其极限值；如果不存在，则说明此不定式不适合使用洛必达法则来求解其极限；如果不确定，也就是结果仍然为未定式，那么再在验证的基础上继续使用洛必达法则来求解极限，如果到这一步还无法判断那么就建议使用其它的方法求解极限，因为再使用洛必达法则的话运算过程将会非常复杂，得不偿失。洛必达法则是求解未定式极限的一个重要的工具，但是如果在求解极限的过程中只使用洛必达法则，那么计算过程有时会非常的复杂，所以经常会与其它方法相结合使用，比如配合等价无穷小代换一起使用。5、结束语通过本文的研究发现洛必达法则在求解幂指函数的极限中起到了重要的作用，要想熟练地求解未定型下的幂指函数的极限，必须要能够熟练地使用洛必达法则，这就要求我们不仅要对洛必达法则的概念进行全面的理解和研究，还要注意洛必达法则的使用条件。对于本论文的完成