安徽省阜阳市临泉县临化高级中学2025~2026学年高一下册7月期末教学质量测评数学试卷【附解析】

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C.1 D.-12.数据4，5，5，5，6，8，9，10的分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.83.已知向量，向量，则实数x等于A.9 B.4 C.0 D.4.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（）A.7 B.6 C.4 D.35.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（）A.2 B.4 C.6 D.86.已知随机事件A，B，且，则下面结论正确的是（）A.事件与是对立事件 B.C. D.若事件互相独立，则7.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（）A. B. C. D.8.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两组样本数据和，，其中是的平均数，不全相同，则这两组样本数据的（）A.平均数一定相等 B.中位数一定相等C.标准差一定不相等 D.第百分位数可能相等10.在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（）A.B.在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为11.在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（

）A.边上的高为 B.C. D.边上的中线为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是_______.13.设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______.14.在中，若，则面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC.（1）若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：；（2）求证：.16.已知平面向量，且，（1）求在方向的投影向量的坐标；（2）若，且，求向量的坐标；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求的面积；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.19.如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）．（1）若平面．（ⅰ）求的长度．（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．（2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积．

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C.1 D.-1答案：C解析：解答过程：，则，所以的虚部为1.2.数据4，5，5，5，6，8，9，10的分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：B解析：解答过程：由题意知数据4，5，5，5，6，8，9，10，已按从小到大排列，因为，故这组数据的分位数为6.3.已知向量，向量，则实数x等于A.9 B.4 C.0 D.答案：A解析：思路：算出的坐标利用可得的值.解答过程：，又，故，所以，故选A.方法提示：向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.4.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（）A.7 B.6 C.4 D.3答案：B解析：思路：先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可.解答过程：设三棱柱的底面的面积为，高为，则.当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是，所以水的体积，当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有，所以，即当底面水平放置时，水面高为6.故选：B.5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：A解析：思路：由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解.解答过程：设所求为，由题意，在三角形中，解得.故选：A.6.已知随机事件A，B，且，则下面结论正确的是（）A.事件与是对立事件 B.C. D.若事件互相独立，则答案：D解析：思路：举例判断，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D.解答过程：对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球，记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3，则，满足，但不是对立事件，故A错误；由上例可知，故B错误；对于C，只有事件A、B相互独立时，才有成立，由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误；对于D，若事件A、B相互独立，则事件也相互独立，所以，故D正确.7.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.解答过程：设轴与交点为，因为轴，轴，所以∥，因为轴，所以四边形为平行四边形，故，又，轴，得，则原四边形中，，∴，，.所以四边形的周长为．8.如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.解答过程：如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点.设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面.过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面.因为，，所以，.取的中点E连接，，可得，，则.设，连接，，则，解得，故三棱锥外接球的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知两组样本数据和，，其中是的平均数，不全相同，则这两组样本数据的（）A.平均数一定相等 B.中位数一定相等C.标准差一定不相等 D.第百分位数可能相等答案：ACD解析：解答过程：不妨设，则，对于A：第二组数据的平均数为，故A正确；对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误；对于C：记第一组数据的标准差为，则第二组数据的标准差为，故C正确；对于D：第一组数据第80百分位数为，第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确．10.在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（）A.B.在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为答案：ACD解析：思路：由新定义知识依次判断选项即可．解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误；对于C，因为，所以，即，故C正确；对于选项D：因为，则在复平面内分别对应点，可得，则面积为，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为，故D正确.11.在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（

）A.边上的高为 B.C. D.边上的中线为答案：ABD解析：思路：过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D.解答过程：如图，过点C作于点D，则向量在向量上的投影向量为，由已知，所以，设，则，又，所以，所以，在中，，又，所以，所以，，，所以，在中，易得，所以边BC的高为，故选项A正确；在中，由余弦定理的推论得，又因为，所以，故选项B正确；，故选项C错误；设的中点为，则，所以，则，故选项D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是_______.答案：解析：思路：设这个圆柱的底面半径为，高为，由圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到，由此能求出这个圆柱的侧面积与表面积之比.解答过程：解析：设正方形的边长为a，圆柱的底面半径为，则，所以圆柱的表面积，故侧面积与表面积之比为.故答案为：.方法提示：本题考查圆柱的侧面积与表面积之比的求法，考查圆柱及其侧面展开图的性质等基础知识，是基础题.13.设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______.答案：##0.25解析：思路：根据条件，利用和事件的概率公式求出，再利用即可求出结果.解答过程：因为，又，，得到，又因为，所以.故答案为：.14.在中，若，则面积的最大值为______．答案：解析：思路：设点为线段的三等分点，利用向量线性运算得到，利用基本不等式及三角形面积公式求最值.解答过程：设点为线段的三等分点，因为，又，，所以，则，当且仅当时取等号，由，当且仅当且时，等号成立，故面积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC.（1）若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：；（2）求证：.答案：（1）证明：由平面平面PAD，得平面PAD，又平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线，所以（2）证明：在平面PAB内作于，平面平面PBC，平面平面平面PAB，平面平面PBC，则，又平面平面ABCD，则，又且都在平面PAB内，故平面PAB，又平面PAB，则解析：思路：（1）由线面平行的性质定理进行证明；（2）由面面垂直的性质定理进行证明．（1）略（2）略16.已知平面向量，且，（1）求在方向的投影向量的坐标；（2）若，且，求向量的坐标；（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）利用在上的投影向量为求解即可；（2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可；（3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围.（1），，故，所以所以在上的投影向量为所以在上的投影向量为.（2）设，，，又，或，或（3）因为，所以，，因为与的夹角为锐角，所以且与不共线即解得且即k的取值范围是17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质可求的值.（2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可.（3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求.（1）由题意：.（2）因为评分在的频率为：，评分在的频率为：.所以评分的第分位数在，由.所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：.（3）受访职工中评分在的人数为：人，设为，受访职工中评分在的人数为：人，设为，从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同.2人评分都在的结果有：，，，共3个.所以此2人评分都在的概率为：.18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若是线段的中点，且，求的面积；（3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角；（2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可；（3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解.（1），，，，，又，，，.（2）由（1）及余弦定