安徽省六安市2025~2026学年高一下册7月期末A数学试卷【附解析】

数学满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，且，则实数的值为（）A. B.2 C. D.3.某科技公司为测试新推出的智能手环健康监测功能，随机抽取了7名测试者，记录他们连续一周的日均步数（单位：千步）分别为：6，7，7，8，9，9，10.则这组数据的第60百分位数是（）A.6 B.7 C.8 D.94.已知：，：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.5.如图，在正四面体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（）A. B. C. D.7.现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（）A. B. C. D.8.已知的外接圆圆心为，且满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则10.某光伏企业对钙钛矿薄膜组件进行抽样检测，随机抽取3块组件，定义事件：“3块组件全部合格”，“3块组件全部不合格”，“3块组件不全合格”.已知单块不合格的概率为，且每块组件合格与否相互独立，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥事件C.与是对立事件 D.11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则的取值范围为D.若，且为锐角三角形，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________．13.在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________.14.如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；（2）若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数；16.为测验设备性能，在卫星测控任务中启用甲、乙、丙三套地面测控系统.已知每次测试中，三套系统相互独立工作，且各次测试结果相互独立，成功捕获目标信号的概率依次为，，.（1）求甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号的概率；（2）测试规定：若至少两套系统成功捕获信号，则单轮测试合格；若单轮测试不合格，则按相同标准立即进行且仅进行一次复测.求前两轮测试内就能得出合格结果的概率.17.在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长；（3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度.18.为了了解青少年对人工智能（AI）科普知识的掌握情况，某校开展了AI科普知识挑战赛，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩（均为整数，满分100分）作为样本，整理后绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）先求的值，并估计本次参赛学生成绩的平均数（四舍五入取整）；（2）采用分层抽样法，从和中抽取5个样本，再从中随机选取2个对人工智能科普知识的获取渠道进行分析，求这2个样本中最多有1个来自区间的概率；（3）若规定成绩在80分及以上认定为“掌握情况良好”.现已知原始样本数据中，“掌握情况良好”的学生成绩的平均数为88，方差为18，若成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数；总体样本方差）19.如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，二面角为.（1）证明：平面平面；（2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由；（3）求与平面所成角的正弦值.

数学满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：使用复数的模长公式求解.解答过程：因为，所以.2.已知向量，，且，则实数的值为（）A. B.2 C. D.答案：B解析：思路：由向量垂直的坐标表示求解即可.解答过程：由，得，即，解得.3.某科技公司为测试新推出的智能手环健康监测功能，随机抽取了7名测试者，记录他们连续一周的日均步数（单位：千步）分别为：6，7，7，8，9，9，10.则这组数据的第60百分位数是（）A.6 B.7 C.8 D.9答案：D解析：解答过程：因为，所以第60百分位数为从小到大排列的数的第5个数9.4.已知：，：.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将问题转化为且求解.解答过程：：，所以，解得，即条件对应的集合为；：，解得，即，即条件对应的集合为.因为是的充分不必要条件，则对应集合满足且，由可得，解得.当时，集合，此时，是的充要条件，不符合题意，故舍去.因此，的取值范围是，即.5.如图，在正四面体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：使用线线夹角的定义求解.解答过程：不妨设四面体的棱长为2，取中点，连接，，则，所以（或补角）即为异面直线与所成角.则，，由余弦定理可得.6.一个在竖直平面内的水上游乐转轮半径为，转轮中心距离水面，已知转轮按逆时针方向转动，每120秒转一圈.当转轮上点到达最高点时开始计时，当秒时，点离水面的高度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用余弦型函数的图象与性质求解.解答过程：由题知转轮转动的角速度为，因为转轮的半径为3，转轮中心距离水面为6，设点到水面的高度为，根据匀速圆周运动的数学模型有：，当秒时，，所以点离水面的高度是.7.现有一把纸折扇，其结构如图所示.已知折扇两端的扇骨长（即大扇形半径）均为，完全展开时扇骨间的夹角为.若扇面的上弧长与下弧长之比为，将该扇面围成一个圆台，则该圆台的高为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用几何扇形弧长计算，结合圆台的几何特征计算即可.解答过程：设圆台的上下底面半径分别为，，由题知扇面的外径为，内径为，所以圆台的母线长，上弧长，则，下弧长，则，则圆台的高.8.已知的外接圆圆心为，且满足，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先确定为直角三角形，再确定，最后由投影向量计算公式即可求解.解答过程：已知，得，因此，即.因此是的中点，为外接圆的直径.设外接圆半径为，则（半径），（直径）.又，故.在中，，因为（三角形内角且为锐角），所以.，则向量在向量上的投影向量为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：AD解析：思路：使用线面平行判定定理，线面垂直性质定理，面面平行性质定理求解.解答过程：垂直于同一平面的两条直线平行（线面垂直性质定理），A正确；若，，则或与相交或与异面，故B错误；若，，缺少，与可能异面，故C错误；设直线与平面交于点.过点作直线.因为，且，所以.又因为，且经过垂足，由线面垂直的性质可知，直线必须在平面内（即）.因为，，且，由线面平行的判定定理可得.故D正确.10.某光伏企业对钙钛矿薄膜组件进行抽样检测，随机抽取3块组件，定义事件：“3块组件全部合格”，“3块组件全部不合格”，“3块组件不全合格”.已知单块不合格的概率为，且每块组件合格与否相互独立，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件 B.与是互斥事件C.与是对立事件 D.答案：ACD解析：解答过程：由题意得与不可能同时发生，所以与是互斥事件，故A正确；而表示全部不合格，表示不全合格，发生时，一定发生，所以与不是互斥事件，故B错误；与互斥，且样本空间，符合对立事件定义，故C正确；因为是互斥事件，且，，所以，故D正确.11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则的取值范围为D.若，且为锐角三角形，则的取值范围为答案：ACD解析：思路：由两角和的正弦公式、诱导公式可得，由正弦定理求得的外接圆的半径，即可求得外接圆的面积，判断A；由正弦定理求得的范围，判断B；根据余弦定理及锐角三角形的特征求得的取值范围判断C；由二倍角的正弦公式及正弦定理可得，由题意求得的取值范围，从而得到的范围，判断D.解答过程：因为，所以，即，即.因为，所以，所以.若，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，故A正确；若有两解，则，解得，故B错误；锐角三角形的充要条件是三个角均为锐角，即每个角的余弦值大于0.已知，，所以，所以，故必为锐角，①若为最大角（即时），由余弦定理的推论得，即，即，解得；②若为最大角（即时），由余弦定理的推论得，，即，即，解得，综上所述，故C正确；若，由正弦定理得，即，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则________．答案：解析：思路：根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案.解答过程：因为与是共线向量，所以存在实数，使，即，所以，解得.故答案为：13.在上定义运算：，当时，不等式有解，则实数的取值范围是________.答案：解析：思路：利用运算的定义，结合不等式的性质可得的取值范围，从而得到实数的取值范围.解答过程：依题意得，由得，所以所以，所以.当时，不等式有解，所以，即实数的取值范围是.14.如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________.答案：解析：思路：由题意可得为等边三角形，作出辅助线，找到外接球球心的位置，并求得到平面的距离；根据球的体积求出球的半径，由勾股定理求出截面圆的半径，从而得到截面面积.解答过程：平面，，∵为的中点，，又，是等边三角形.取中点为，连接交于，则是外心.设为外心，连接，，，易知平面，平面，则四边形是矩形，.连接，，设外接圆半径，设球半径为.球的体积为，，即.在中，，球被平面截得的截面面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数，其中，为虚数单位.（1）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围；（2）若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数；答案：（1）（2）当时，，共轭复数；当时，，共轭复数.解析：思路：（1）根据第二象限点的坐标特征，列出相应的不等式组，求解可得；（2）由直线上的点的横纵坐标互为相反数，即对应复数的虚部与实部互为相反数，列出相应的方程，求解可得的值，从而求得复数，由共轭复数的定义可求得其共轭复数.（1）复数在复平面内对应的点的坐标为，因为该点位于第二象限，所以，由①得，解得；由②得，解得或；综上所述，实数的取值范围为；（2）直线上的点的横纵坐标互为相反数，即对应复数的虚部与实部互为相反数，即，化简得：，即，解得或.当时，，其共轭复数；当时，，其共轭复数.16.为测验设备性能，在卫星测控任务中启用甲、乙、丙三套地面测控系统.已知每次测试中，三套系统相互独立工作，且各次测试结果相互独立，成功捕获目标信号的概率依次为，，.（1）求甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号的概率；（2）测试规定：若至少两套系统成功捕获信号，则单轮测试合格；若单轮测试不合格，则按相同标准立即进行且仅进行一次复测.求前两轮测试内就能得出合格结果的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）使用独立事件概率公式求解；（2）使用独立事件概率公式，互斥事件概率公式求解.（1）设甲、乙、丙三套系统成功捕获信号分别为事件，，，则，，.甲、乙、丙三套系统恰有两套捕获信号，等价于恰有一套未捕获信号，其概率为；（2）前两轮测试内就能合格包含首轮直接合格和首轮不合格，第二轮复测合格两种情况，计算三套都捕获的概率：，计算单轮测试合格的概率：，计算“首轮不合格且复测合格”的概率：，所以前两轮测试内就能得出合格结果的概率.17.在中，内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长；（3）在（2）的条件下，若点为的中点，求中线的长度.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）使用正弦定理边化角求解；（2）使用三角形面积公式和余弦定理求解；（3）使用向量法求解.（1）由，得，，由于，所以，化简得，又，；（2）由三角形面积公式：，代入，，得.由余弦定理：，代入，，得，，.的周长为；（3）点为的中点，根据向量中点公式得，由（2）问可知，，代入得：.18.为了了解青少年对人工智能（AI）科普知识的掌握情况，某校开展了AI科普知识挑战赛，从所有参赛学生中随机抽取了100人的成绩（均为整数，满分100分）作为样本，整理后绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）先求的值，并估计本次参赛学生成绩的平均数（四舍五入取整）；（2）采用分层抽样法，从和中抽取5个样本，再从中随机选取2个对人工智能科普知识的获取渠道进行分析，求这2个样本中最多有1个来自区间的概率；（3）若规定成绩在80分及以上认定为“掌握情况良好”.现已知原始样本数据中，“掌握情况良好”的学生成绩的平均数为88，方差为18，若成绩在内的平均数为86，方差为2，求成绩在内的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为，总体样本方差为，则总体样本平均数；总体样本方差）答案：（1），平均数为72（2）（3）平均数为94，方差为18解析：思路：（1）通过频率分布直方图面积之和为1，求得，再由平均数计算公式即可求解；（2）通过分层抽样和列举法确定样本空间，再由古典概型概率计算公式即可求解；（3）根据分层抽样比，结合总体方差和平均数的计算公式即可求解.（1）由频率分布直方图面积之和为1，可得，解得平均数为；（2）由题意成绩在，的频率分别为，且，故抽取5个样本，其中成绩在内的有3个，记为、、，成绩在内的有2个，记为、；从这5个