福建省三明市2025~2026学年高二下册期末适应性练习数学试卷【附解析】

数学（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷共5页.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.，，，，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.8；如果第1天去A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则王同学第2天去B餐厅用餐的概率为（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.95.某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（）x/万元478912y/万元1122242637A.x与y有正相关关系B.C.当时，残差为-0.2D.当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润一定为30.4万元6.某次高三数学质检考试，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少1名学生的成绩高于100分的概率是（）A. B. C. D.7.首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（）A.20 B.42 C.44 D.508.已知正实数x，y，z，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（）A.有最大值 B.有最大值4C.有最小值2 D.有最小值210.（多选题）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（）A.B.若A与B互斥，则C.若，则D.若，则11.已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（）A.的拐点是B.当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是C.若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是D.对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.的展开式中的常数项为________.13.若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______.14.甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.16.为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了100名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀451560物理成绩不优秀103040合计5545100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联?（2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取8人.若从这8人中随机抽取2人，记为数学成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.已知函数（且）为奇函数.（1）求实数的值并解不等式；（2）若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围.18.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若当时，，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．19.在维空间中，对于任意两点，，我们将称为P，Q两点间的曼哈顿距离，给出如下规定：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体称为“三维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中；②在维空间中（，），以单位长度为棱长的立方体称为“维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中；根据以上定义和规定，从“维单位立方体”的所有顶点中任取两点，记随机变量为“这两个顶点间的曼哈顿距离”.（1）若，求；（2）若，求取得最大值时的值；（3）求的方差.

数学（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷共5页.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可．解答过程：由，得，因为，所以．2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解．解答过程：全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”．所以命题“，”的否定是“，”．3.，，，，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.解答过程：充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立；必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立.因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.8；如果第1天去A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则王同学第2天去B餐厅用餐的概率为（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9答案：B解析：解答过程：设事件B表示“王同学第2天去B餐厅用餐”;事件表示“王同学第1天去A餐厅用餐”;事件表示“王同学第1天去B餐厅用餐”，由题意得,,,由全概率公式得.5.某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（）x/万元478912y/万元1122242637A.x与y有正相关关系B.C.当时，残差为-0.2D.当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润一定为30.4万元答案：D解析：解答过程：A.因为回归系数，所以x与y有正相关关系，A正确.B.，，将点代入经验回归方程得，B正确.C.当时，，残差，C正确.D.当时，预测值，但回归方程得到的是预测值，不是确定的值，实际利润可能存在波动，D错误.6.某次高三数学质检考试，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少1名学生的成绩高于100分的概率是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先得到，并得到成绩高于100分的学生人数，求出相应的概率解答过程：服从正态分布，，故，故从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设成绩高于100分的学生人数为，则，故，，所以至少1名学生的成绩高于100分的概率为7.首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（）A.20 B.42 C.44 D.50答案：D解析：思路：固定甲去接驳点A后，将问题转化为剩余4名志愿者分配到A、B、C三点，且B、C均至少分配1人，用容斥原理计算符合要求的方案数.解答过程：已知志愿者甲固定去A，因此A已满足至少1人的要求，仅需保证B、C两个接驳点均至少分配1人，剩余4名志愿者每人可选择A、B、C中任意一个接驳点，4名志愿者无限制分配的总情况数为种；排除B接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或C，共种；排除C接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或B，共种；上述两类排除情况中，“B、C均无人，剩余4人均分配到A”的情况被重复排除，需补回1种；由容斥原理，符合条件的选派方案种数为.8.已知正实数x，y，z，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用对数，将x，y，z表示出来，通过构造函数比较大小．解答过程：设，因为x，y，z为正实数，故；则，，；则，，；只需比较即可；设；则，当时，，单调递增，故，故；因为，故，，故，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（）A.有最大值 B.有最大值4C.有最小值2 D.有最小值2答案：AC解析：思路：结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项.解答过程：对于A：由基本不等式得，代入得，化简得，当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确；对于B：用乘“1”法计算：，可知最小值为4，无最大值，B错误；对于C：由不等式，代入得，当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确；对于D：，当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误.10.（多选题）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（）A.B.若A与B互斥，则C.若，则D.若，则答案：BCD解析：思路：根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率公式逐一判断各选项即可.解答过程：对于选项A，，因为没有给出是独立或互斥，所以不确定，故选项A不正确；对于选项B，因为A与B互斥，所以，.故选项B正确；对于选项C，，而，所以，故选项C正确；对于选项D，由，得，所以，所以有，又，所以.，又，所以，故选项D正确.11.已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（）A.的拐点是B.当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是C.若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是D.对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点答案：ABD解析：思路：对于A，根据题设定义求得，即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联立直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解.解答过程：对于A，由得，则，令，解得，又，所以的拐点是，故A正确；对于B，当时，，则，所以当时，，当或时，，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以在处取得极小值，又由，得到，解得或，要使函数在区间内存在最小值，所以，解得，即的取值范围是，故B正确；对于C，因为，则，设切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，整理得，令，则，所以当时，当或时，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，，因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点，所以，即的取值范围是，故C错误，对于D，由，可得，即，显然在定义域上单调递增，所以，即对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.的展开式中的常数项为________.答案：解析：解答过程：展开的通项是，令可得，因此，常数项为13.若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______.答案：4解析：思路：设，，得到其为奇函数，，从而得到答案解答过程：设，，的定义域关于原点对称，，故为奇函数，设在上的最大值为，最小值为，则，则.14.甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______.答案：##0.5625解析：思路：根据比赛规则，甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，故先求甲获胜的概率.记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，甲胜这个事件可表示为：，，，，，，，，由互斥事件和独立事件的概率公式计算可得.解答过程：记甲、乙最终获胜的事件分别为，由赛制规则及初始对阵（甲、乙首先比赛，丙轮空）可知，甲与乙在赛程中地位完全相同，故甲获胜的概率与乙获胜的概率相等，即，所求概率为.记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则甲赢的基本事件包括，，，，，，，，所以，甲赢的概率.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.答案：（1）极小值为，无极大值（2）解析：思路：（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值；（2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围.（1），，令，，，，，，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，极小值为，无极大值.（2）存在，使得成立，即在上有解，即在上有解，令，，，，，，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，即最小值为.因为在上有解，所以，所以实数的取值范围为.16.为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了100名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀451560物理成绩不优秀103040合计5545100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联?（2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取8人.若从这8人中随机抽取2人，记为数学成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）能认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联（2）的分布列为：012数学期望为解析：思路：（1）计算的观测值，根据独立性检验判断；（2）确定随机变量的取值及概率，列分布列，根据数学期望公式求出数学期望.（1）由列联表数据可得，依据小概率值的独立性检验，能认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联.（2）物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与不优秀的比例为，采用分层随机抽样的方法抽取8人，数学成绩优秀的为人，数学成绩不优秀的为人，从这8人中随机抽取2人，的可能取值为，，，，所以的分布列为：012数学期望为.17.已知函数（且）为奇函数.（1）求实数的值并解不等式；（2）若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围.答案：（1），（2）解析：思路：（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可；（2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案.（1）由是定义域为的奇函数，得，即,，，所以，经检验满足题意；由，可得，所以，即，所以不等式的解集为；（2）令，由得，，等价于，即，，令，，则，代入得，函数在单调递减，在单调递增，最小值为，当时，，要使方程有两个不同解，实数的取值范围为.18.已知函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若当时，，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）（3）证明：因为有两个不同的零点，，不妨设，则，两式相减得，要证，，即证，因为，所以只需证，即证，即证，令，则，上式可化为，令，则，令，，令，则，令，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以在上单调递减，，即，所以在上单调递增，所以，即成立，所以解析：思路：（1）根据导数的正负即可得出函数的单调区间；（2）分类讨论的范围