甘肃省武威市凉州片区部分校2025~2026学年高二下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数，则

的值为（）A. B. C. D.2.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.3.已知集合，则（）A. B. C. D.4.已知随机变量

服从正态分布

，若

，则等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.45.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.6.某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（）A. B. C. D.7.已知函数

，则

的极大值为（）A.0 B.1 C.2 D.38.若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（）A.5 B.6 C.7 D.8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.10.已知离散型随机变量的分布列为

，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.11.在正方体

中，设棱长为，则下列结论正确的有（）A.向量的模长为2 B.向量的坐标为C.直线与平面垂直 D.异面直线与所成角为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数在区间上的最小值为_______．13.某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则

_______．（结果用小数表示）14.已知空间向量，，则

_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数

．（1）求；（2）求函数

的单调区间；（3）求函数

在区间上的最大值和最小值．16.某学校组织数学竞赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛共有2道题目，答对一题得10分，答错得0分．已知甲同学答对每道题的概率均为

，乙同学答对每道题的概率均为

，且各题作答相互独立．（1）求甲同学恰好答对1道题的概率；（2）求乙同学得分的数学期望．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．（3）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知函数（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求函数的极值．19.某地区对10户家庭的年收入（单位：万元）与年消费支出（单位：万元）进行了调查，得到如下统计数据：.（1）求关于的线性回归方程；（2）若该地区某家庭年收入为40万元，试预测其年消费支出；（3）解释回归直线方程中斜率的实际意义．（注：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为（）

数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数，则

的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，则，所以.2.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，二次函数开口向上，对称轴为，故单调递增区间为.3.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意得，或，所以.4.已知随机变量

服从正态分布

，若

，则等于（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：B解析：解答过程：因为，且，所以.5.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，则，故B正确，A错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D错误.6.某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意知：，由，，恰好击中2次的概率为．7.已知函数

，则

的极大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：思路：利用导数知识判断单调性，据此可得答案.解答过程：，，从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为.8.若两个变量与具有线性相关关系，其回归直线方程为．当时，的预测值为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：当时，，故预测值为7二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列求导运算正确的是（）A. B. C. D.答案：ABCD解析：解答过程：A．，正确，符合题意；B．，正确，符合题意；C．，正确，符合题意；D．，正确，符合题意．10.已知离散型随机变量的分布列为

，则下列说法正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A选项，由随机变量的分布列可知，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，故D正确.11.在正方体

中，设棱长为，则下列结论正确的有（）A.向量的模长为2 B.向量的坐标为C.直线与平面垂直 D.异面直线与所成角为答案：CD解析：解答过程：对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，所以异面直线与所成角为，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数在区间上的最小值为_______．答案：2解析：思路：判断在上的单调性，据此可得答案.解答过程：，则在上单调递减，在上单调递增，从而.13.某工厂生产的产品合格率为0.8，现从中随机抽取2件产品，设抽到的合格品件数为，则

_______．（结果用小数表示）答案：0.32解析：解答过程：依题意，，所以.14.已知空间向量，，则

_______．答案：3解析：解答过程：因为空间向量，，所以.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数

．（1）求；（2）求函数

的单调区间；（3）求函数

在区间上的最大值和最小值．答案：（1）（2）单调递增区间为

和，单调递减区间为（3）最大值为2，最小值为解析：思路：（1）

直接根据求导公式求导；（2）利用导数求函数单调区间；（3）根据函数单调性求极值，即可得解.（1）．（2）令，得或，当或

时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．故函数的单调递增区间为

和，单调递减区间为；（3）根据（2），函数在区间上单调递增，在上单调递减，，，．故函数的最大值为2，最小值为．16.某学校组织数学竞赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛共有2道题目，答对一题得10分，答错得0分．已知甲同学答对每道题的概率均为

，乙同学答对每道题的概率均为

，且各题作答相互独立．（1）求甲同学恰好答对1道题的概率；（2）求乙同学得分的数学期望．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用二项分布的概率公式求解；（2）利用二项分布期望公式和期望的性质求解.（1）设甲答对题数为，则．．（2）设乙答对题数为，则．．乙的得分，故数学期望为．17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．（3）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）（3）解析：思路：（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）由平面可得出点到平面的距离；（3）以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）略（2）因为平面，所以点到平面的距离等于线段的长，即为.（3）因为平面，四边形为正方形，且，所以以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，，，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求函数的极值．答案：（1）（2）当时，在上单调递增；当时，在上

单调递增；在上单调递减（3）极大值，无极小值解析：思路：（1）根据代数式有意义求定义域；（2）求导，分，讨论，利用导数的正负，即可求单调性.（3）将代入函数中，根据（2）问的单调性可求出函数的极值.（1）函数的定义域为．（2）．当时，，在上单调递增；当时，令得．时，单调递增；时，，单调递减．综上：当时，在上单调递增；当时，在上

单调递增；在上单调递减（3）时，由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，所以当

时，函数取得极大值

，无极小值．19.某地区对10户家庭的年收入（单位：万元）与年消费支出（单位：万元）进行了调查，得到如下统计数据：.（1）求关于的线性回归方程；（2）若该地区某家庭年收入为40万元，试预测其年消费支出；（3）解释回归直线方程中斜率的实际意义．（注：线性回归方程中斜率和截距的最小