广东省东莞市三校联考2025~2026学年高一下册7月期末数学试卷【附解析】

数学第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A.1 B. C. D.52.数据的第15百分位数为（）A.69 B.70 C.75 D.963.设，向量，且则等于A. B. C. D.4.已知，则下列不等关系中不恒成立的是（）A. B.C. D.5.下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果，是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面；②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；③如果直线，和平面满足，，，那么；④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面．A.0 B.1 C.2 D.36.设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（）A. B. C. D.7.已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（）A. B. C. D.8.在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（）A.平面与平面的距离为 B.三棱锥外接球的表面积为C. D.直线BC与平面所成的角为二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.10.北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）A.13 B.12 C.11 D.1011.在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，线段的长度为定值C.当时，三棱锥的外接球体积为D.三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是_____.13.已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对总使不等式成立，则实数的取值范围是__________．14.已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；（2）复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求．16.如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求三棱锥P－MNC的体积.17.已知函数，函数是奇函数.（1）判断函数的奇偶性，并求实数的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．19.如图，已知四棱锥，且，，，，的面积等于，E是PD是中点.（Ⅰ）求四棱锥体积的最大值；（Ⅱ）若，.（i）求证：；（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

数学第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A.1 B. C. D.5答案：C解析：思路：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，然后利用复数模的计算公式求解．解答过程：因为，所以，所以.故选：C.方法提示：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.数据的第15百分位数为（）A.69 B.70 C.75 D.96答案：B解析：思路：根据百分位数的定义得到答案.解答过程：因为，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的分位数为第2个数据70.故选：B．3.设，向量，且则等于A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量垂直、平行的坐标运算可求出利用向量加法求出和向量的坐标，根据模的公式计算即可.解答过程：因为所以，即，所以.故选C.方法提示：本题主要考查了向量的平行垂直的坐标运算，向量的模，属于中档题.4.已知，则下列不等关系中不恒成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD，举反例判断C．解答过程：都是锐角，则，，A正确；，B正确；时，，，，，C错误；，D正确．故选：C．5.下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果，是两条直线，，那么平行于经过的任何一个平面；②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行；③如果直线，和平面满足，，，那么；④如果与平面上的无数条直线平行，那么直线必平行于平面．A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：由线线和线面的位置关系和线面平行的判定和性质，逐项判断即可得到答案.解答过程：①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面，不正确，可能a，b在一个平面内；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么直线a与平面α内的任何直线平行，不正确，可能a与平面α内的直线异面；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，过a与α相交的平面与α交于直线c，可得a∥c，即有b∥c，那么b∥α，正确；④如果与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面，不正确，可能.故选：B．6.设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可.解答过程：因为，故，因为与为互斥事件，故，所以，故，故.故选：A7.已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先分别求出等边三角形和正方形的边长及其内切圆半径，根据所求结果和正方形可在内任意旋转可知，正方形各个顶点在三角形的内切圆上，建立合适的直角坐标系，求出三角形的顶点坐标和其内切圆的方程，设出的三角坐标，根据可得到关于坐标中变量的关系，分类讨论代入中化简，用辅助角公式分别求出最大值，选出结果即可.解答过程：解：因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记三角形内切圆的半径为，根据，可得：，解得，因为正方形面积为2，所以正方形边长为，记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知，正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转，可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上，以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示：故可知，圆的方程为，故设，，因为，即，化简可得，即，解得或，①当时，点坐标可化为，此时，所以当，即，即，即时，取得最大值；②当时，点坐标可化为，此时，因为，所以当，即，即，即时，取得最大值，综上可知：取得最大值.故选：D方法提示：方法点睛：该题考查平面几何的综合应用，属于难题，关于圆锥曲线中点的三角坐标的设法有：（1）若点在圆上，可设点为，其中；（2）若点在圆上，可设点为，其中；（3）若点在椭圆上，可设点为，其中；8.在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（）A.平面与平面的距离为 B.三棱锥外接球的表面积为C. D.直线BC与平面所成的角为答案：A解析：思路：D选项，作出辅助线，由线面垂直得到⊥，故⊥平面，直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，从而求出外接球半径，得到外接球表面积；A选项，先证明出平面平面，利用点到平面距离向量公式得到答案.解答过程：D选项，如图1，连接，与相交于O点，因为⊥平面，且平面，所以⊥，又因为⊥，，平面，所以⊥平面，即直线与平面所成的角为，且，故D错误；C选项，如图2，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，则，则，所以⊥平面，又因为平面，则⊥，故C错误；B选项，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设其外接球的半径为R，则，即，所以，故B错误；A选项，如图3，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B选项可知，平面的一个法向量为，且，则两平面间的距离，故A正确.故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.答案：AB解析：思路：设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误.解答过程：设复数，且，，A正确；，B正确；，，所以与不一定相等，C错误；令，则，D错误．故选：AB10.北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩，且，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）A.13 B.12 C.11 D.10答案：BC解析：思路：由题意结合平均数公式和方差公式得和，对于A，检验得不符合；对于BC，先求出，接着举一组符合比赛成绩出来即可；对于D，先由已知得且，进而得方程组无正整数解即可得解.解答过程：设该5名同学在此次比赛中所得成绩分别为，，，，，由题得，则，且，则，不妨设最大，对于A选项，若，则不成立，故A错误；对于B选项，若，则，则满足题意，例如5位同学的成绩可为7，7，7，7，12，故B正确；对于C选项，若，则，则满足题意，例如5位同学的成绩可为5，7，8，9，11，故C正确；对于D选项，若，则且，则，，则可得，该方程组无正整数解，故D错误.故选：BC.方法提示：思路点睛：先由题意结合平均数公式和方差公式得和，接下来对各个选项进行检验，检验初步过程是先求得的正负，再对结果为正值的举例或计算求解即可得解.11.在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱，点M，N分别在线段上，且满足，其中，则下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，线段的长度为定值C.当时，三棱锥的外接球体积为D.三棱锥的体积与三棱锥的体积之比为答案：ACD解析：思路：对于A，根据线面平行的判定定理进行判定即可；对于B，根据向量的模的公式和向量数量积的定义计算即可；对于C，先判断三棱锥的结构特征，然后确定三棱锥外接球的球心位置和半径，进而求得外接球的体积；对于D，根据，结合三棱锥体积公式计算即可.解答过程：对于A，当时，如图，因为，，所以在中，，所以.因为平面，而不在平面内，所以平面，A正确；对于B，因为，所以，所以.因为直三棱柱中，，所以根据勾股定理得.在等腰中，，所以，所以.所以，所以当时，线段的长度不为定值，B错误；对于C，当时，即分别是的中点，如图，所以，.在直角三角形中，，所以，所以.所以三棱锥的外接球球心为的中点，球的半径为1，所以三棱锥的外接球体积为，C正确；对于D，因为.底面，而点到底面的高与点到底面的高之比为，所以，所以D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是_____.答案：解析：思路：6名同学编号后用列举法列出任选2人的所有基本事件，并得出至少包括一名女同学的基本事件，计数后可得概率．解答过程：6名同学分别编号为，男生，女生，从6名同学中任选两人，基本事件为：共15个，其中至少有一名女同学的事件有共9个，所求概率为．故答案为：.方法提示：本题考查古典概型，解题关键是用列举法写出所有基本事件．13.已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对总使不等式成立，则实数的取值范围是__________．答案：解析：解答过程：∵，∴∴，整理得，∵，∴．又，解得．∴数列是首项为1，公差为2的等差数列．∴．∴，∴．∵对总使不等式成立，∴，使不等成立，即，使不等成立．∵，∴，∴．∴．所以实数的取值范围是．答案：点睛：本题将数列、三角函数以及恒成立、能成立等问题结合在一起，综合考查学生解决问题的能力，解题的关键是分清任意性和存在性的含义，即求的是最大值还是最小值；同时对数列求通项、求和的问题，及三角函数求范围的问题都进行了较好的考查．14.已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．答案：解析：思路：本题首先可在中根据余弦定理得出，然后通过勾股定理得出，根据面面垂直的性质得出平面，外接球的球心到平面的距离为，再然后通过正弦定理求出的外接圆的半径，最后根据求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积.解答过程：在中，由余弦定理易知，，即，解得，因为，所以，因为平面平面且交于，平面，所以平面，外接球的球心到平面的距离为，设的外接圆的半径为，外接球的半径为，则由正弦定理得出，解得，，解得，外接球的表面积，故答案为：.方法提示：关键点点睛：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查面面垂直证明线面垂直，考查余弦定理与正弦定理的应用，考查数形结合思想，是难题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间内．现将成绩分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；（2）复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为，求．答案：（1），复赛分数线为分（2）解析：思路：（1）根据平均分、频率之和为，列方程求得；通过求分位数来求得复赛的分数线.（2）根据全概率公式求得的递推关系式，结合构造法以及等比数列的知识求得，进而求得.（1）依题意：，①，，②，由①②解得.前三组的频率之和为，，第组的频率为，所以分位数为分，即复赛分数线是分.（2）依题意，，，即，所以，所以数列是首项为为首项，公比为的等比数列，所以，所以.16.如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为30°，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且.（1）求直线与直线所成角的余弦值；（2）求三棱锥P－MNC的体积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由底面，证得，又由，证得平面，得到，得到为二面角的平面角，求得，设异面直线与所成的角为，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）由，得到点到平面的距离等于点到平面的距离的，过点作，证得平面，得到为点到平面的距离，在直角中，求得，得到，再由，结合锥体的体积公式，即可求解.（1）由底面，且底面，所以，又由，，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以即为二面角的平面角，所以，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，在直角中，由，可得，则，设异面直线与所成的角为，则.（2）因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的，过点作，因为底面，且底面，所以，因为，且平面，所以平面，即为点到平面的距离，在直角中，可得，所以，又由是上靠近点的三等分点，可得，所以三棱锥的体积为.17.已知函数，函数是奇函数.（1）判断函数的奇偶性，并求实数的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）是偶函数，（2）（3）解析：思路：（1）先求的定义域，利用奇偶性定义判断即可；利用是奇函数求实数的值；（2）判断的单调性，利用奇偶性和单调性得时恒成立，结合参数分离和基本不等式求最值，即可求解实数的取值范围；（3）根据题设得，由指数函数的单调性求得的最大值，通过解不等式，结合对数的定义，即可求解．（1）函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，因为的定义域为，且函数是奇函数，由，得，则，经检验是奇函数，满足题意，故.（2）易知在上单调递增，且为奇函数，由恒成立，得，所以时恒成立，即在上恒成立，令，则又，当且仅当，即时取等号，所以实数的取值范围为.（3）因为，所以，由已知得，存在，使不等式成立，在上的最大值，而在上单调递增，，，，得到，又，得到，综上，实数的取值范围为.18.在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收