广东省揭阳市华侨高级中学2025~2026学年高一上册分班考试数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.3.函数的值域为（）A. B. C. D.4.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A. B. C. D.5.已知，则（）A. B. C.1 D.6.如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（）①；②；③；④．A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③④7.已知，若对于正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.8.已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为（

）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.“设，且，则且”是假命题D.设，则“或”是“”的充要条件10.已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值C.的最小值为 D.的最大值为11.对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（）A.函数是偶函数B.方程有三个不同的解C.函数在上单调递增D.函数在上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数则_______.13.艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，）14.已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知f(x)＝sin.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.16.计算：（1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）；（2）（3）（4）.17.如图，在一块直角梯形场地中，，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上．（1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形面积的最大值；（3）求矩形周长的取值范围．18.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围.19.函数对任意实数恒有，且当时，.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数；（3）若，解关于的不等式.

数学（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用交集的运算法则直接求解即可解答过程：因为集合，集合，则故选：C2.函数的定义域为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据对数型函数的真数大于0求解.解答过程：令，得，所以函数的定义域为.故选：B3.函数的值域为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可.解答过程：因为的值域为，且在上单调递增，所以的值域为，故选：A4.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.解答过程：因为函数为幂函数，所以，解得或，又为为增函数，则，故恒过定点.故选：C.5.已知，则（）A. B. C.1 D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，，又，，解得，，所以.6.如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（）①；②；③；④．A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③④答案：D解析：思路：根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.解答过程：由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确.7.已知，若对于正数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知.解答过程：因为，且的定义域为关于原点对称，所以为上的奇函数，又因为均在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，又因为，所以的最大值为，故选：D.8.已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为（

）A. B.C. D.答案：B解析：思路：先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解的最大值与的最小值即可.解答过程：由题意可得，，故当或时，，当时，，故当或时，，当时，，又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下，且，，综上有当时，为增函数，当时，为减函数，当时为减函数，故最大值为；当时，为减函数，当时，为减函数，当时为增函数，故最小值为.故的最大值与的最小值的差为.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“”的否定是“”C.“设，且，则且”是假命题D.设，则“或”是“”的充要条件答案：ACD解析：思路：利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C.解答过程：对选项A：，则，解得或，所以时，不能得到，而时，一定有，故“”是“”的必要不充分条件，选项A正确；对选项B：“”的否定是“”，选项B错误；对选项C：取则，不满足且，命题为假命题，选项C正确；对选项D：则或；或时，则有，所以“或”是“”的充要条件，选项D正确.故选：ACD.10.已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值C.的最小值为 D.的最大值为答案：AD解析：思路：对A，由求解；对B，由消元法化为二次函数求解；对C，由“1”的代换求解；对D，由求解.解答过程：对于A：，当且仅当时取等号，即的最大值是，A正确；对于B：，，当时，取得最小值，B错误；对于C：，当且仅当时取等号，又，所以，所以的最小值为，C错误；对于D：，当且仅当时取等号，所以的最大值为，D正确.故选：AD.11.对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（）A.函数是偶函数B.方程有三个不同的解C.函数在上单调递增D.函数在上单调递减答案：ABD解析：思路：根据函数新定义有，再应用奇偶性定义、方程法判断函数的奇偶性和零点个数，由解析式及二次函数的性质的判定区间单调性.解答过程：当时，，当或时，，综上，，当，则，显然，当，则，显然，综上，为偶函数，A对，令，则或时，时，所以方程有三个不同的解，B对，在上，显然不单调，C错，在上，，时，又图象连续，显然单调递减，D对.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数则_______.答案：2解析：思路：由分段函数解析式代入可得.解答过程：，，则.故答案为：2.13.艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，）答案：7解析：思路：根据指数函数模型列不等式求解．解答过程：由题意，，，，，又，所以的最大值是7.故答案为：7.14.已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____.答案：或解析：思路：先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可.解答过程：作出函数的图象如图所示，令，则，若原方程有6个不相等的实数根，则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，当时，代入，则，解得，此时关于的方程为，解得，满足题意；当，且时，令，则函数有两个大于的不等零点，因为函数的图象过点，则，解得，即；当时，因为函数的图象过点，则，无解，综上所述，实数a的取值范围为或.故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知f(x)＝sin.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.答案：（1）单调递增区间为，k∈Z；（2）最大值为1，最小值为.解析：思路：（1）解2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；（2）由x的范围，求出2x的范围，再求正弦值，分别求出最大值和最小值即可．解答过程：（1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.（2）当x∈时，，所以－1≤sin，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.方法提示：本题考查正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．16.计算：（1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）；（2）（3）（4）.答案：（1）；（2）；（3）4；（4）．解析：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式=．17.如图，在一块直角梯形场地中，，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上．（1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；（2）求矩形面积的最大值；（3）求矩形周长的取值范围．答案：（1），定义域为（2）平方米（3）解析：思路：（1）作，垂足为，线段与交于点，求出，，利用，列式子得到，；（2）由（1）得到面积，利用二次函数性质求出在区间上的最大值即可；（3）由（1）可得周长．，利用函数单调性求出周长的取值范围为.（1）作，垂足为，线段与交于点．米，米．因为，所以，即．所以，定义域为．（2）设矩形的面积为平方米，由（1）可得．由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为直线，所以当时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米．（3）设矩形的周长为米，由（1）可得．函数是减函数．因为，所以，即，所以矩形周长的取值范围为．18.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）或（2）（3）解析：思路：（1）将代入，解一元二次不等式即可；（2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围；（3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可.（1）当时，即，所以，所以，解得或，所以不等式的解集为或.（2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”，因为时，（当且仅当时等号成立），所以，即，所以实数的取值范围是.（3）因为对，使得不等式成立，所以不等式，因为，所以在单调递增，，因为，所以当，即时，在单调递增，所以，所以恒成立，此时；当，即时，，由解得，此时；当，即时，，由得，此时；综上所述，实数的取值范围是.19.函数对任意实数恒有，且当时，.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数；（3）若，解关于的不等式.答案：（1）奇函数（2）任取，且，则，∵当时，，∴，由得，∴，∴，∴是上的减函数.（3）当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.解析：思路：（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.（1）解：由题意，函数对任意实数恒有，令得，解得：.取，则由得，∴，即，∴函数是奇函数.（2）略（3）解：由得，由得，则，∴不等式可化为，∵是上的减函数，∴，即………①.（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；（ii）当时，不等式①式化为，即，若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；若，则，原不等式解集为；若，则，原不等式解集为