广东省茂名市2025~2026学年高二下册7月期末质量抽测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.8 B.9 C.10 D.202.若函数，则（）A. B.C. D.3.等比数列的前项和为，，，则（）A.12 B.15 C.24 D.484.为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.有的人超声波结果正常B.有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关”C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关”D.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关”5.2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（）A.11种 B.12种 C.13种 D.14种6.已知两个随机事件、，，，则（）A. B. C. D.7.数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. D.8.已知，则（）A.15 B.16 C.17 D.18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：月份12345用户数量（百万）0.50.71.11.31.7若关于的线性回归方程为，则（）A.变量，正相关B.C.可以预测当时，用户数量首次突破2百万D.当时，实际用户数量高于预测值10.已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则（）A.B.C.D.时，11.已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.等差数列的前项和为，，则_____________．13.若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________．14.如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字．（1）设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望；（2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．18.波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为.（1）求的数学期望与方差；（2）求（其中，，…；或）；（3）若，求数列的通项公式.19.已知函数.（1）若，，求在上的极值点；（2）若，，证明：（ⅰ），；（ⅱ），当时，.

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.8 B.9 C.10 D.20答案：D解析：解答过程：.2.若函数，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：函数，则.3.等比数列的前项和为，，，则（）A.12 B.15 C.24 D.48答案：D解析：解答过程：设等比数列的公比为，当时，，所以，由得，解得，所以.4.为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.有的人超声波结果正常B.有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关”C.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关”D.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关”答案：C解析：解答过程：由题意得，则在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关”，故C正确.5.2026年广东省运动会在茂名市举办，某个活动安排2名志愿者完成4项不同的赛事服务工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（）A.11种 B.12种 C.13种 D.14种答案：D解析：思路：先将4项不同的工作分成2组，再分配给两名志愿者，由分步乘法计数原理即可得结果.解答过程：将4项不同的工作分成两组，共有两类分组情况：分为1项、3项的两组，则共有种；分为2项、2项的两组，则共有种；所以总的分组方法有种，再将分好的两组分配给2名不同的志愿者，分配方法有种，所以由分步乘法计数原理，总的安排方式有种.6.已知两个随机事件、，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过对立事件的概率性质求出，再通过互斥事件的概率加法公式求出，最后代入条件概率公式即可求得.解答过程：因为，所以，又因为与为互斥事件，且，由互斥事件概率加法公式得，即，所以，所以.7.数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解.解答过程：由题意得：，所以.8.已知，则（）A.15 B.16 C.17 D.18答案：B解析：思路：运用求导法，结合导数的运算法则、赋值法进行求解即可.解答过程：对左右两边同时求导，得对上面等式左右同时求导，得把代入上面等式左右两边，得，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示：月份12345用户数量（百万）0.50.71.11.31.7若关于的线性回归方程为，则（）A.变量，正相关B.C.可以预测当时，用户数量首次突破2百万D.当时，实际用户数量高于预测值答案：AC解析：思路：对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误．解答过程：对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确；对于B，由表格数据可得，，因过点，则，故B错误；对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确；对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误．10.已知随机变量，定义函数为取值不超过的概率，即，则（）A.B.C.D.时，答案：ACD解析：解答过程：对于A，B，由题意得，则，，故A正确，B错误，对于C，由正态分布性质得，则，故C正确，对于D，由正态分布性质得，而，可得，故D正确.11.已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：对于A：当，则，所以在上单调递减，不存在最小值；对于B.若，则，所以在上单调递增，不存在最小值；对于C.结合AB及函数的最小值可知是极小值点，从而可判断其正误；对于D.举反例，取，则，矛盾.解答过程：A.当，则，所以在上单调递减，不存在最小值，矛盾，A错误；B.若，则，所以在上单调递增，不存在最小值，矛盾，所以，B正确；C.由AB可得，故，而，因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数，当时，，当时，，故在存在唯一的零点，且时，，时，，故在上为减函数，在为增函数，故，若，则，与题设矛盾；若，则，与题设矛盾；故，故，故正确；D.，取，则，矛盾，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.等差数列的前项和为，，则_____________．答案：解析：解答过程：因为为等差数列，所以，所以因此.13.若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____________．答案：解析：思路：先利用对数曲线切线截距求出斜率，再结合指数曲线切线斜率与截距条件解出.解答过程：对于曲线,设切点为，，切线斜率，所以切线方程是整理得，已知切线为，所以ln⁡x所以，对于曲线,设切点为，切线斜率，故aex切线方程是代入，得，所以对比切线，得-x2所以a14.如图是一块高尔顿板示意图．在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则_____________，_____________．答案：①.##0.03125②.##13.5解析：思路：设小球向右下落的次数为，则服从二项分布，且，利用二项分布的概率公式及期望、方差性质求解.解答过程：由图可知，小球下落过程中共碰撞次小木钉，每次碰撞向左或向右的概率均为，设小球向右下落的次数为，则服从二项分布.因为格子从左到右编号为，所以，则.所以.由，得，.由得，.因为，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由得，作差可得，从而得到数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可.（2）将代入可得其通项公式，从而转化出，再利用裂项相消法求和即可.（1）因为，当时，.所以，即.又，满足.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.（2）所以.所以.16.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取3个不同的数字．（1）设为抽取的3个数字中偶数的个数，求的分布列和数学期望；（2）求抽取的这3个数字能构成等差数列的概率．答案：（1）0123数学期望（2）所求概率为解析：思路：（1）由题意可知可能取0，1，2，3，然后根据古典概型运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（2）利用列举法结合等差数列的性质，根据古典概型运算公式进行求解即可.（1）由题意可知：，，，，，所以的分布列为：0123数学期望；（2）若等差数列的公差为1，有以下情形：，共个，若等差数列的公差为2，有以下情形：，共个，若等差数列的公差为3，有以下情形：共个，若等差数列的公差为4，有以下情形：，共个，所以抽取的这3个数字能构成等差数列的概率为.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）要证，代入得，即.利用指数性质，令（），不等式转化为，分情况讨论：若：，故，不等式成立；若：不等式等价于，设，求导得.令得，时，单调递减；时，单调递增.因此，即.已知，故，即

成立，不等式成立.综上，原不等式得证.解析：思路：（1）求导后分母恒正，讨论分子二次函数符号，当

时导函数恒正，单调递增；当

时仅有一个正零点，先减后增.（2）代入移项得，令

转化为，分

正负讨论，利用

结合得证.（1）定义域为，对求导得，分母恒正，单调性由分子的符号决定，分情况讨论：当时：时恒成立，故，在上单调递增；当时：二次函数开口向上，判别式.由于的两根之和为，两根之积为，则仅有一个正根，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）略.18.波利亚罐子模型为经典随机过程模型，抽样后增补同类样本，可体现概率正反馈效应，多用于算法、社会统计领域.某短视频平台为用户初始推送3条科技类视频、2条生活类视频，平台更新推荐池规则如下：用户每次随机点击观看1条视频后，平台将该视频保留在推荐池，同时额外新增1条同类型视频加入推荐池.设第次点击更新后，推荐池中科技类视频的数量为.（1）求的数学期望与方差；（2）求（其中，，…；或）；（3）若，求数列的通项公式.答案：（1），；（2）若，；若，；（3）解析：思路：（1）第一次点击后科技类数量只可能为3或4，分别对应点击生活类或科技类，由古典概型求概率，再算期望与方差；（2）第次更新后总数为

，科技类数量为

，下一次若点击科技类则科技类数量加1，若点击生活类则不变，条件概率分别为两类数量