广东省汕头市潮阳区棉城中学2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B.C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知复数与互为共轭复数，则的值是（）A.4 B.6 C.9 D.134.有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（）．A.86，88 B.86，89 C.87，88 D.87，895.如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（）A. B. C. D.6.已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）A. B. C. D.8.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.B.C.D.在方向上的投影向量坐标是10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（）A. B.事件A与事件B为独立事件C. D.事件B与事件C为互斥事件11.的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若，，则面积的最大值为D.若为钝角三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是_____.14.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数.（2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位）（3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率.16.在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的面积.17.如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的正切值.18.已知函数．（1）若为奇函数，求a的值；（2）试判断在内的单调性，并用定义证明．19.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期；（3）求函数在区间上的值域．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.解答过程：对于函数，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：B2.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：逆用差角的正弦公式求解.解答过程：.故选：B3.已知复数与互为共轭复数，则的值是（）A.4 B.6 C.9 D.13答案：D解析：思路：利用共轭复数的意义可求得，进而计算可求得.解答过程：因为复数与互为共轭复数，所以，所以，，所以.故选：D.4.有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（）．A.86，88 B.86，89 C.87，88 D.87，89答案：B解析：思路：利用百分位数的定义可求得结果.解答过程：因为，故该组数据的第百分位数为，因为，故该组数据的第百分位数为.故选：B.5.如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量的线性运算求解.解答过程：由题意：.故选：C6.已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（）A.若，，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：利用空间中线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可得结论.解答过程：对于A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；对于B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，则或，故D错误.故选：C.7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果.解答过程：设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24，所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即，所以球的半径为，球的表面积.故选:B.8.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据零点存在定理判断．解答过程：由于在定义域上为增函数，，，，，故零点在上，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则（）A.B.C.D.在方向上的投影向量坐标是答案：BD解析：解答过程：A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，，则，故A选项错误；B选项：根据模长公式，故B正确；C选项：利用夹角公式：故C错误；D选项：在方向上的投影向量利用计算，代入坐标可得：；故D正确．10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件“第一次摸出球的编号为奇数”，事件“摸出的两个球的编号之和为5”，事件“摸出的两个球中有编号为2的球”，则（）A. B.事件A与事件B为独立事件C. D.事件B与事件C为互斥事件答案：AB解析：思路：根据古典概型计算判断A，独立事件乘法公式计算判断B，根据概率性质计算判断C，应用互斥事件的定义判断D.解答过程：对于A：由古典概率的计算易得，故A正确；对于B：因为，，，所以，即事件A与事件B为独立事件，故B正确；对于C：因为，故C错误；对于D：当摸出的两个球编号为2，3时，事件B与事件C同时发生，故D错误，故选:AB11.的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若，，则面积的最大值为D.若为钝角三角形，则答案：ABC解析：解答过程：对于A，若，则，根据正弦定理（是外接圆半径），可得，所以，即，A正确；对于B，由正弦定理，代入得，因为，且，（即），所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为，所以有两解，B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，由基本不等式得，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以面积，C正确；对于D，若为钝角，则由余弦定理得，，所以，即，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.答案：32解析：思路：根据题中所给的分段函数运算求值.解答过程：由题意可得：，则故答案为：32.13.水平放置的的斜二测直观图是如图中的，已知，，则边的实际长度是_____.答案：5解析：思路：结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得.解答过程：把直观图还原为原图形，如图所示，则，所以.故答案为：5.14.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______．答案：解析：思路：利用已知条件，求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．解答过程：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由，得，

又表面积，

所以，解得，则；

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为．

故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数.（2）用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.（保留小数点后两位）（3）若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率.答案：（1），24人中成绩不低于90分的人数为2，（2）（3）解析：思路：（1）根据频率之和为1即可求解，根据抽样比即可求解，（2）根据频率分布直方图中，中位数的计算公式即可求解，（3）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的性质求解.（1）由题意可知，解得，成绩位于的频率之比为，故24人中成绩不低于90分的人数为，（2）由于，，故中位数位于，设中位数为，则，解得，（3）甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为，故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为16.在中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过余弦定理直接求角；（2）先求，再利用两角和的正弦公式求，最后用正弦定理求边长，进而计算面积.（1）由余弦定理：已知，即，代入，得：又，故.（2）已知，且，则：，由，得：，由正弦定理，，所以17.如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的正切值.答案：（1）连接交于，因为E为劣弧CB的中点，所以是中点，又是中点，所以，即因为平面，平面，所以平面；（2）解析：（1）略（2）因为平面，所以是直线与底面所成的角，，又平面，所以因为，所以，所以.18.已知函数．（1）若为奇函数，求a的值；（2）试判断在内的单调性，并用定义证明．答案：（1）（2）增函数，证明见解析解析：思路：（1）由已知得，先确定函数定义域，再根据奇偶性定义，由求参数.（2）令，应用作差法比较、的大小即可证.（1）由已知，得，定义域为因为是奇函数，所以，即，解得．（2）函数在内为增函数．证明如下：任取，则．因为