广东省深圳市罗湖区2025~2026学年高二下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A.1 B. C. D.3.已知平面向量共线，则实数的值为（）A.1 B. C.D.4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（）A.2 B.4 C.5 D.65.下列函数为奇函数，且在上单调递增的是（）A. B.C. D.6.已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无数个7.将一个边长为1的正方形各边中点依次连接，得到一个新正方形，再将各边中点依次连接得到正方形，如此重复．记正方形的周长为，则（）A. B.1 C. D.28.已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间（单位：小时），现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘制频率分布直方图（如图）．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.样本中睡眠时间在内的人数约为30B.样本中睡眠时间的众数约为7.75C.样本中睡眠时间的中位数落在区间内D.若将样本中睡眠时间在内的数据去掉，则剩余数据的方差将变小10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.平面内存在与异面的直线D.平面内存在与垂直的直线11.已知函数．则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.若的最小正周期为，则C.若的一个对称中心为，则D.若在区间内有2个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，常数项为___________．13.已知圆与圆相交于两点，且，则___________．14.在中，为边的中点，，则的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和．16.如图，在三棱锥中，平面，，，，（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．17.已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．18.已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为．（1）求的标准方程；（2）设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点．（i）若在轴上，求的取值范围；（ii）设为坐标原点，证明：为定值．19.一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品．从箱子中一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中．重复进行上述操作次后，箱子中正品的件数记为．（1）求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；（2）求随机变量的分布列；（3）求．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，则.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A.1 B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，所以.3.已知平面向量共线，则实数的值为（）A.1 B. C.D.答案：C解析：解答过程：由题设，可得.4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（）A.2 B.4 C.5 D.6答案：B解析：思路：利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标.解答过程：由抛物线方程，可知，即，该抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于，设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得，所以，点的横坐标为.5.下列函数为奇函数，且在上单调递增的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：A：由的定义域为R且，所以不是奇函数，排除A，B：由是奇函数，但在上是周期振荡的，不具有单调性，排除B，C：由的定义域为且，所以是奇函数。对其求导得恒成立，故在上单调递增，即在上也是单调递增，C正确，D：由的定义域为且，所以是奇函数，但在上，内层函数是单调递减，所以复合函数在该区间单调递减，排除D.6.已知数列与分别满足，则集合的元素个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无数个答案：C解析：思路：通过解方程，结合代入验证与归纳法证明确定解的个数.解答过程：由题意，集合中的元素需满足，代入数列通项得

化简为，分情况讨论：当时，左边，右边=1，等式成立；当时，左边，右边=2，等式成立；当且时，用数学归纳法证明：①当时，左边，不等式成立；②假设时不等式成立，即，则当时，，不等式也成立．由①②得，对所有的正整数，均有，无满足等式的解，综上，满足条件的仅有1、2，共2个元素．7.将一个边长为1的正方形各边中点依次连接，得到一个新正方形，再将各边中点依次连接得到正方形，如此重复．记正方形的周长为，则（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：思路：根据已知及等比数列的定义有数列是首项为，公比为的等比数列，写出通项公式并求对应项即可.解答过程：由题意可知，原正方形的边长为，其周长为，将正方形各边中点依次连接得到的新正方形，其边长是原正方形边长的倍，因此，新正方形的周长也是原正方形周长的倍，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为，故.8.已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由椭圆的定义，设，结合已知得，再由及向量数量积的定义和运算律、余弦定理得到，最后列方程得，即可得.解答过程：由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即，由题意知，设，则，，代入得，所以，，，由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线，所以，则，由且，所以，则，综上，即，所以，则，即，椭圆的离心率满足，且，解得，故椭圆的离心率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.为调查某校高二年级学生的每日睡眠时间（单位：小时），现随机抽取100名学生，记录其睡眠时间并绘制频率分布直方图（如图）．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.样本中睡眠时间在内的人数约为30B.样本中睡眠时间的众数约为7.75C.样本中睡眠时间的中位数落在区间内D.若将样本中睡眠时间在内的数据去掉，则剩余数据的方差将变小答案：ABC解析：解答过程：对于A，组距为0.5，睡眠时间在内的频率为，样本容量为100，则睡眠时间在内的人数为，故A正确；对于B，图中最高的矩形对应区间，其中点为，所以睡眠时间的众数约为7.75，故B正确；对于C，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，所以中位数位于第四组内，故C正确；对于D，平均数为，中位数为；区间是数据最集中的区域，且靠近平均数，若去掉这部分数据，剩余数据相对于平均数的离散程度会增大，则方差将变大，故D错误.10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.平面内存在与异面的直线D.平面内存在与垂直的直线答案：ACD解析：思路：根据面面、线面的位置关系，结合平面的基本性质及线面平行、垂直的判定定理和异面直线的定义判断各项的正误.解答过程：A：若，因为，，且与是两条不同的直线，所以直线不在平面内，根据线面平行的判定定理得，正确，B：若，只能说明垂直于平面内的一条直线，不足以判定，错误，C：对于平面内的直线：若与相交于点，则在内取一条不经过的直线，该直线与无交点且不平行，二者互为异面直线，若，则在内取一条与不平行的直线，二者互为异面直线，故平面内一定存在与异面的直线，正确，D：根据空间直线垂直的判定，无论直线与平面是平行、相交还是垂直，在平面内总能找到一条直线（如垂直于在内射影的直线）与垂直，正确.11.已知函数．则下列说法正确的是（）A.的最大值为B.若的最小正周期为，则C.若的一个对称中心为，则D.若在区间内有2个零点，则答案：ABD解析：思路：利用辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质求最大值，判断选项A；利用最小正周期公式计算判断选项B；利用对称中心的性质计算判断选项C；通过零点个数分析判断选项D．解答过程：，正弦函数，故，故A正确；正弦型函数周期公式，若，则，故B正确；正弦函数的对称中心满足函数值为0，则，整理得，，则可取，非唯一值，故C错误；令，即，解得，则，当时，零点对应，若区间内恰好有2个零点，则需满足第2个零点在区间内：，解得，第3个零点不在区间内：，解得，故，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在二项式的展开式中，常数项为___________．答案：解析：思路：应用二项式定理写出展开式通项，进而求常数项.解答过程：二项式的展开式的通项公式为且，要使该项为常数项，即，解得，常数项为，所以，展开式中的常数项为.13.已知圆与圆相交于两点，且，则___________．答案：2解析：思路：利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r.解答过程：由圆，得圆心为，半径，由圆，得圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，两圆方程相减，得公共弦的方程：，化简得，则到直线的距离为，要使两圆相交，需使,解得，，可得，因，则，由，解得，满足，因此的值为.14.在中，为边的中点，，则的最小值为___________．答案：解析：思路：通过，，平方得到，再结合余弦定理和基本不等式即可求解.解答过程：设

，，，为中点，则，，两式平方相加得：代入，，得：，再由余弦定理：

​

代入

，，得：由基本不等式

，得

，当且仅当

​

时等号成立，因为

​，所以当时，取得最小值，即的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，且满足．（1）求的通项公式：（2）设，求数列的前项和．答案：（1）()（2）()解析：思路：（1）利用公式求的通项公式；（2）裂项相消法求数列的前项和.（1）由

，当时，得；当

时，整理得

，故

为首项是

、公比是的等比数列，通项()

.（2），则()

.16.如图，在三棱锥中，平面，，，，（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）因为平面，且平面，所以，因为，所以，因为，且平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质及已知有，，再应用线面垂直的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，求对应平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值.（1）略（2）以为原点，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，，可得，，，，于是向量，，，，设平面的法向量为，则，取，则，所以，设平面的法向量为，则，取，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，且，，，所以，平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）当时，极值点个数为，当时，极值点个数为.（2）解析：思路：（1）对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，进而确定区间单调性，即可得极值点个数；（2）令，将问题化为对任意，都有恒成立，应用分类讨论并构造合适的函数研究不等式恒成立求参数范围.（1）已知函数且定义域为

R，求导得，当时，，所以恒成立，函数在R上单调递增，无极值点，即极值点个数为，当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，所以在处取得极小值，极值点个数为，综上所述：当时，极值点个数为，当时，极值点个数为；（2）由，得，化简得，即，令，，且函数求导得，所以在上单调递增，其值域为，即，注意到，等价于：对任意，都有恒成立，当时，即，此时为任意实数均成立，当时，，不等式等价于，设，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以在处取得极小值（也是最小值），即h(t)min=h(e要使恒成立，需满足，当时，，不等式等价于，设，则，所以在上单调递减，当时，；当时，，因此的值域为，要使恒成立，需满足，综上，实数的取值范围是.18.已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为．（1）求的标准方程；（2）设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点．（i）若在轴上，求的取值范围；（ii）设为坐标原点，证明：为定值．答案：（1）（2）（i）；（ii）设，则，，直线的斜率，则直线的方程为，令，可得，即,直线的斜率，则直线的方程为，令，可得，即,||||，因为，在双曲线上，所以，，即，，将，代入上式可得，所以为定值.解析：思路：（1）利用实轴长，虚轴长，焦距和求解；（2）（i）设，用表示，再求取值范围；（ii）设，则，用的坐标表示再求解化简.（1）实轴长，虚轴长，焦距得实轴长是虚轴长2倍得，即因为，所以(5)所以的标准方程是（2）（i）双曲线与x轴交点：令，得，故设在双曲线上：，斜率，直线方程令，得纵坐标：斜率，直线方程令，得纵坐标：，由x024由，得y0≠0⟹y02>0故取值范围是；（ii）略19.一箱子中共有5件大小形状质地完全相同的产品，其中3件次品，2件正品．从箱子中一次随机取出两件产品进行检测，如果检测出的产品是正品，则将它放回箱子中：如果检测出的产品是次品，则不放回箱子中，另补相同数量的正品放入箱子中．重复进行上述操作次后，箱子中正品的件数记为．（1）求恰好2次操作后，箱子中产品全为正品的概率；（2）求随机变量的分布列；（3）求．答案：（1）