广东省深圳市深圳高级中学高中园2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知是奇函数，当时，，则（）A. B.2C. D.4.记为等差数列的前n项和.若，则（）A.9 B.18 C.27 D.365.把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A.12种 B.18种 C.24种 D.36种6.若随机变量X的分布列为（）X2310P0.20.20.6则（）A.5 B.7 C.13.6 D.14.67.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A. B. C. D.8.双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（）A.B.C.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D.若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则二、多选题9.在的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为10.针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是（）附表：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”B.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”C.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”D.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”11.已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（）A. B.C.为极大值点 D.三、填空题12.已知函数在上单调递增，则的取值范围是________.13.若，则的展开式中含项的系数为__________.14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：）四、解答题15.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明．（2）求函数的值域．16.已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．17.近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入（亿元）经济收益（亿元）（1）的平均数记为，证明：（2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．）（3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益．参考数据：，．附：相关系数，线性回归方程的斜率.18.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；（2）规定第一次从小明开始，（ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；（3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．19.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）令函数，当时，，求的取值范围；（3）设，证明：.

数学一、单选题1.设集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据交集并集的定义即可求出.解答过程：，，.故选：C.2.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由得或，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答过程：由得，即或，则“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．3.已知是奇函数，当时，，则（）A. B.2C. D.答案：D解析：思路：根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案.解答过程：依题意，是奇函数，.4.记为等差数列的前n项和.若，则（）A.9 B.18 C.27 D.36答案：C解析：思路：利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可.解答过程：，故选：C5.把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案：D解析：思路：根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.解答过程：根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.故选：D方法提示：本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.6.若随机变量X的分布列为（）X2310P0.20.20.6则（）A.5 B.7 C.13.6 D.14.6答案：C解析：思路：利用数学期望的计算公式可求，进而利用差公式可求得.解答过程：由题意得，所以.故选：C.7.小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可.解答过程：用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，，由全概率公式可得，所以，故选：B.方法提示：关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为.8.双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论不正确的是（）A.B.C.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数D.若点P在曲线上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则答案：B解析：思路：对于A，B，直接代入验证即可；对于C，利用奇偶性的定义即可判断；对于D，利用导数的几何意义结合基本不等式及正切函数的性质即可判断.解答过程：对于A，，A正确；对于B，，，所以，B错误；对于C，令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲正弦函数是奇函数；令，则，且定义域为关于原点对称，所以双曲余弦函数是偶函数，C正确；对于D，令，则，设，所以，又因为，所以，D正确.故选：B二、多选题9.在的展开式中,下列说法正确的是()A.常数项是 B.第四项和第六项的系数相等C.各项的二项式系数之和为 D.各项的系数之和为答案：AC解析：思路：根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断.解答过程：根据二项式定理,的通项公式为,对于A,常数项为,故A正确;对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.故选:AC.10.针对时下的“微短剧热”，某文化公司对观众性别和喜欢微短剧是否有关联进行了一次调查，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中，由列联表中的数据计算得，参照附表，则下列结论正确的是（）附表：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”B.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”C.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”D.根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”答案：AD解析：思路：利用的观测值，结合独立性检验的思想判断得解.解答过程：依题意，，根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧有关联”，A正确，B错误；根据小概率值的独立性检验，分析认为“观众性别和喜欢微短剧没有关联”，C错误，D正确.故选：AD11.已知为常数，函数有且只有一个极值点，则（）A. B.C.为极大值点 D.答案：ABD解析：思路：先求函数导数，分析导数零点的唯一性确定的取值范围，进而确定极值点的范围、类型及函数数值符号.解答过程：由题意，，由题意函数有且只有一个极值点，可得有且仅有一个变号零点，故曲线与直线有且只有一个穿越型交点，令，则，易知当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，因此在处取得极小值，也是最小值，且时,又因为直线恒过原点，如下图所示：由图可得，，所以正确，当时，，可知在上单调递减；当时，即在上单调递增；故为极小值点，所以错误；显然，代入，得，正确．故选：三、填空题12.已知函数在上单调递增，则的取值范围是________.答案：解析：思路：求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解.解答过程：函数的单调递增区间是，而在上单调递增，则，即有，所以的取值范围是.故答案为：13.若，则的展开式中含项的系数为__________.答案：-220解析：解答过程：因为，所以，的展开式中含项的系数为.14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正常数，污染物的初始含量为______；如果在前消除了10%的污染物，那么污染物减少70%需要花费______小时（精确到）.（参考数据：）答案：①.②.57解析：思路：①利用特殊值代入法，当时间时，指数项，因此直接得到初始含量为即可；②先通过已知条件（前消除10%）建立方程（将指数形式转化为线性形式），解得衰减系数，再利用对数运算（换底公式）将自然对数转化为常用对数，结合已知条件计算出时间即可.解答过程：①当时，，因此初始含量为；②因为前消除10%，即剩余90%，因此：，化简得，两边取自然对数：，即，又因为污染物减少70%，即剩余30%，此时，代入公式：，化简得，取自然对数：，将代入，得：，利用换底公式，化简为：，代入：（小时）故填：；57.四、解答题15.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明．（2）求函数的值域．答案：（1）奇函数，证明见解析；（2）．解析：思路：（1）根据奇偶性定义判断；（2）确定函数的单调性，由指数函数性质及不等式性质得值域．（1）为奇函数，证明：∵中，∴定义域关于原点对称，∵．∴，∴为奇函数．（2）∵，，，，，∴．16.已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．（1）求数列和数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解；（2）利用错位相减法即可求解.（1）当时，，当时，，当时也符合上式，所以，，所以.（2），所以，，两式相减得，，所以.17.近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点．某车企通过市场调研，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：研发投入（亿元）经济收益（亿元）（1）的平均数记为，证明：（2）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强．）（3）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时的经济收益．参考数据：，．附：相关系数，线性回归方程的斜率.答案：（1）证明见解析（2），具有较强的线性相关程度．（3）关于的线性回归方程为，预测研发投入亿元时的经济收益为亿元．解析：思路：（1）先利用完全平方公式展开，再根据平均数定义，即，对展开后的式子进行化简，最终推导出目标等式；（2）先计算的均值，再分别求出、与交叉项，代入相关系数公式计算，最后根据与的大小关系判断线性相关程度；（3）利用已求出的交叉项与计算回归系数，再根据求出截距，得到回归方程，最后将代入方程，计算并得到预测的经济收益值．（1）已知，即，，所以；（2），，，，，又因为，所以所以研发投入与经济收益之间具有较强的线性相关性．（3），则，所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程，得，所以预测研发投入亿元时的经济收益为亿元．18.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为1，2，3，4，5，6）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；（2）规定第一次从小明开始，（ⅰ）求前4次投掷中，小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；（3）若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）的分布列为：0123，（3）解析：思路：（1）根据古典概型确定基本事件总数与事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”的事件总数，从而得概率；（2）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可得分布列与数学期望；（3）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：1．第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，2．第次由小明投掷，第次由小芳投掷，从而可得相邻两次的概率关系，结合数列的递推关系式即可得结论．（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，则基本事件总数为36，事件包含的基本事件有，