广东省深圳市实验学校光明部2025~2026学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分一、单选题1.若，则实数a等于（）A. B. C.2 D.32.已知，且，，则的值为（

）A. B.7 C.5 D.13.已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（）．A. B. C. D.4.下列命题中正确的个数是（

）①如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为②已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为③已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为④已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变A.1 B.2 C.3 D.45.已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（）A.若，则 B.若独立，则C.若独立，则 D.若互斥，则6.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则7.一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米8.将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（）A. B. C. D.二、多选题9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于的方程（，）的一个根，则10.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.存在点使得B.若点满足，则动点的轨迹长度为C.若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形D.当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2三、填空题12.从1，2，3，4这4个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为3的概率为__________.13.在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________.14.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________．四、解答题15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求；（2）若，，求的面积．16.已知为平面向量，且．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且，求实数的值．17.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求到平面的距离；（3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值．18.从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线；（3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接．（1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）已知直线与直线所成角的余弦值为．①求四棱锥在顶点处的离散曲率；②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值．

数学满分：150分一、单选题1.若，则实数a等于（）A. B. C.2 D.3答案：D解析：解答过程：，由可得，解得.2.已知，且，，则的值为（

）A. B.7 C.5 D.1答案：C解析：解答过程：因为，所以，且，，所以.3.已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（）．A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为，由余弦定理得，，．4.下列命题中正确的个数是（

）①如果一组数据的极差为，则这组数据的方差也为②已知样本数据，，，，，，，，则该组数据的分位数为③已知数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为④已知数据，，⋯，的平均数，方差，若把剔除，则剩余这个数的方差不变A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据题意，利用平均数、方差的计算公式，以及百分位数的定义与计算方法，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.解答过程：对于①，若一组数据的极差为0，可得这组数据都相等，则方差为0，故①正确；对于②，由，可得样本数据，，，，，，，的第60%分位数为第5个数据，即分位数为7，故②正确；对于③，由数据，，⋯，的平均数为，则数据，，⋯，的平均数为，故③正确；对于④，由数据，，⋯，的平均数，方差，可得，即，又由，所以，，所以剔除后，则剩余这9个数的平均数为，方差为，故④错误.5.已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（）A.若，则 B.若独立，则C.若独立，则 D.若互斥，则答案：C解析：解答过程：对于A，由，得，A正确；对于B，由独立，得，B正确；对于C，由独立，得，C错误；对于D，由互斥，得，D正确.6.已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列结论正确的是（）A.若，则，共面B.若，则与有公共点C.若与无公共点，且，则D.若存在平面，使得，，，则答案：D解析：思路：根据异面直线的定义、面面平行、垂直的性质逐一判断即可.解答过程：当与相交时，因为，，所以，异面，A错误；当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误；若与无公共点，则，因为，如图，但与不垂直，C错误；因为存在平面，使得，，所以，因为，，所以，，所以，D正确.7.一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：D解析：思路：设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案.解答过程：设该楼阁的高度米，根据题意，，，所以，，，因为，所以，因为，，所以，即，整理得，解得米，即该楼阁的高度米.8.将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出三棱锥体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解.解答过程：由题可知，将沿直线翻折到平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则，且平面，，所以三棱锥的体积为：.由和均为直角三角形，和均为正三角形，，，所以三棱锥的表面积.设三棱锥内切球半径为.由，得，解得.二、多选题9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.B.复数的虚部为C.若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于的方程（，）的一个根，则答案：ABCD解析：解答过程：选项A：由模长公式，代入得，A正确；选项B：，复数的虚部为的系数，即，B正确；选项C：向量对应的复数等于对应的复数减去对应的复数，即，C正确；选项D：实系数一元二次方程的虚根成对出现，故另一根为，由韦达定理得，，解得，故，D正确.10.设内角，，的对边分别为，，，则下列条件能判定是等腰三角形的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一定为等腰三角形可得.解答过程：选项A：由正弦定理得，即，又，所以或，即或，因此为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A错误.选项B：由正弦定理得，，则，所以，又正弦定理得，即.所以为等腰三角形，故B正确.选项C：由正弦定理得，结合，化简得，所以或，且，所以或，因此三角形为直角三角形或等腰三角形，故不能判定一定为等腰三角形，故C错误.选项D：由正弦定理得，结合，化简得，又由，得，所以，即，因此为等腰三角形，故D正确.11.如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.存在点使得B.若点满足，则动点的轨迹长度为C.若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形D.当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2答案：ACD解析：思路：根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可.解答过程：设正方体棱长为，为中点，对A：如图：在正方体中，对角线A1C⟂若取动点落在的边上，则平面，由线面垂直性质得：A1C⟂对B：如图建立空间直角坐标系：，，设，，AP⟂BF，所以，即，在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点），矩形邻边长：，轨迹周长，故B错误；对C：如图：依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点，顺次连接，得六边形，由中位线定理：IJ//A所以平面，平面，又是平面内的两条相交直线，所以平面平面，若在六边形边上，则平面，所以平面，即动点的轨迹为六边形，因为正方体棱长为，所以，该六边形六条边长全部相等，每个内角均为，六边形是正六边形，所以动点的轨迹是正六边形，故C正确；对D：如图：由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为，设，其中设，代入距离公式：，即，在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧，因为CD⟂BC,CD⟂CC1，所以CD⟂平面，又因为平面平面，平面，平面，根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角，在矩形内，过作PQ⟂BC延长线，垂足为，中，，越大，二面角越大，即最大化，因为，则当取圆弧上切点时，，，所以，即二面角最大角的正切值为，故D正确.三、填空题12.从1，2，3，4这4个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为3的概率为__________.答案：解析：思路：先利用组合数分别求出从4个数中随机选取3个不同的数和3个数的中位数为3的所有情况，再根据古典概型公式求解即可.解答过程：由题可知，从4个数中随机选取3个不同的数，共有种，因为选取的3个数的中位数为3，所以3，4必须被选，另外，在1，2中各选1个数，即可保证选取的3个数中位数均为3，共有2种，所以，这3个数的中位数为3的概率.13.在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为__________.答案：##解析：思路：根据圆锥和球的体积公式求解.解答过程：旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积.球的体积为：.圆锥的体积为：.所以所得几何体的体积为：.故答案为：14.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________．答案：解析：思路：由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可.解答过程：因为，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，，由，解得，所以，因为，所以，，所以.四、解答题15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知等式，利用正弦定理将边化为角的正弦，再根据角的取值范围确定；（2）已知及两边关系，代入余弦定理解出边长，最后用面积公式计算.（1）因为，由正弦定理，得，而，即，则，即．又，所以．（2）由（1）知，所以．把，代入余弦定理得，解得，，所以的面积．16.已知为平面向量，且．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且，求实数的值．答案：（1）或（2）或解析：思路：（1）设，根据向量的坐标运算列方程解出即可；（2）根据向量的线性运算以及向量的数量积运算即可求解.（1）设，由，所以，又，所以，解得或，所以或；（2）由，所以，，又，所以，解得或.17.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求到平面的距离；（3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解；方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可；（3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解.（1）设，连接．因为四边形为菱形，所以为的中点．在中，因为为的中点，所以OM为的中位线，故，又因为平面，平面，所以平面；（2）方法一：向量法以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴，过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.在平面内过作，交的延长线于，连接.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以.因为，所以，因为，，所以，所以，，即，所以.在中，，所以，，则，因为为中点，所以，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，则.设点D到平面的距离为，则．由（1）知平面，所以到平面的距离即为点D到平面的距离，所以到平面的距离为；方法二：等体积法由（1）知平面，所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为．因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离，即，在平面内作交直线的延长线于，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以.在中，，所以，，所以到平面的距离为.因为，所以．在中，，由余弦定理可得，在中，．在中，，为中点，则，由余弦定理可得，所以，所以．在中，，底边上的高为，所以.又因为.由可得，解得，所以到平面的距离为；（3）在（2）所建的坐标系中，设，则，因为，所以．由，可得，解得，故.在正中，外接圆圆心为，外接圆半径．设三棱锥外接球的半径为，球心为．由球的性质可得，解得，则，所以，因为点在外接球上，则，所以，即，即．解得，所以，所以，.设平面的法向量为．则，即.令，则，即．设直线和平面所成角为，则因为，所以．所以直线和平面所成角的余弦值为．18.从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线；（3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图各个小矩形面积之和为1即可求得A的值;（2）根据小矩形面积与频率的关系可以计算出前所占比例，从而计算出获奖学生的最低分数线；（3）根据和频率分别为和，进而得到在样本中的人数，再求出抽取的对象来自不同分组的概率.（1）由频率分布直方图各个小矩形面积之和为1可知,（2）设获奖学生的最低分数线为,那么，，所以，获奖学生的最低分数线为.（3）由频率分布直方图可知，和