广东省深圳市西浦教育集团外国语高中2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分；考试用时120分钟；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.把化成角度制是（）A.75° B.60° C.90° D.105°2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（）A.33家 B.20家 C.5家 D.10家4.已知，则（）A.5 B. C.25 D.45.已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（）A. B. C. D.6.已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则m平行于平面内的任意一条直线B.若，，则C.若，，则D.若，，，则7.已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（

）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中计算结果等于1的有（）A. B.C. D.10.已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.C.若，则 D.若，则11.如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为定值C.若点在线段上，则为定值D.若，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集是___________．13.已知，则__________.14.已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为单位向量，向量．（1）若，求；（2）若，求与的夹角的余弦值．16.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.（1）估计此批棉花纤维长度的众数；（2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数）（3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数）17.如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点，（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．18.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若；（i）求周长的取值范围；（ii）求面积的最大值．19.设函数．（1）当时，（i）求的定义域；（ii）解不等式；（2）若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围．

数学满分150分；考试用时120分钟；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.把化成角度制是（）A.75° B.60° C.90° D.105°答案：A解析：思路：借助弧度与角度的关系计算即可得.解答过程：化成角度制是．故选：A.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求解集合，利用交集的运算求解.解答过程：，，，.故选：A.3.某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（）A.33家 B.20家 C.5家 D.10家答案：C解析：思路：根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案.解答过程：依题意，分层抽样的抽样比为，所以应抽取大型商铺（家）.故选：C4.已知，则（）A.5 B. C.25 D.4答案：A解析：思路：利用复数的除法法则求出复数，再利用复数的模的公式即可求解.解答过程：，，.故选：A.5.已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由共线求出，检验即可得解.解答过程：因为，，，所以，若不重合的三点，，共线，则，解得或，当时，重合，矛盾，当时，都不重合，故满足题意，所以.故选：A.6.已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则m平行于平面内的任意一条直线B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：D解析：思路：对于A，由线面平行的性质即可判断；对于B，由答案不完备即可判断；对于C，由线面垂直的性质即可判断；对于D，直接证明即可.解答过程：对于A，若，则m平行于平面内的无数条平行直线，但不是任意一条直线，故A错误；对于B，若，，则平行、相交或异面，故B错误；对于C，若，，则，故C错误；对于D，若，，则若，又，则.故选：D.7.已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围.解答过程：如图：三角形中，，，则有两解的充要条件为：，即.故选：D.8.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，．以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（

）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据图形求得，结合斜二测画法还原原图形，最后利用公式计算.解答过程：作，如图，，所以，则几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为4，如图：所以该几何体的体积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中计算结果等于1的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：A选项，由同角三角函数关系得到答案；B选项，利用特殊角的三角函数值直接计算；CD选项，利用对数运算公式和换底公式计算即可.解答过程：A选项，，A正确；B选项，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：ACD10.已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.C.若，则 D.若，则答案：BC解析：思路：根据给定条件，利用相互独立事件判断A；比较大小判断B；利用事件关系判断C；利用概率的基本性质判断D.解答过程：对于A，A与B相互独立，，A错误；对于B，，则，B正确；对于C，，则，C正确；对于D，由，得，而，因此，D错误.故选：BC11.如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为定值C.若点在线段上，则为定值D.若，则的最大值为答案：BCD解析：思路：如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向量模长的计算公式逐项计算判断即可.解答过程：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，所以，，因为，所以，即．对于A，若，则，所以，，所以，故A错误；对于B，当时，，所以，又，所以，故B正确；对于C，因为，，又点在线段上，所以，所以，所以，故C正确；对于D，若，又，所以，即，设，所以，其中为锐角且，所以当时，取得最大值，且最大值为，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集是___________．答案：解析：解答过程：，，解得或，即不等式的解集为．13.已知，则__________.答案：##0.3125解析：思路：对所求表达式分子分母同时除以，化为的形式，由此求得所求表达式的值.解答过程：因为，所以，所以.故答案为：.14.已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________.答案：解析：思路：取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可.解答过程：设中点为，连接，，因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角，因为，，，所以，，，所以在中由余弦定理可得，所以异面直线与所成角的正弦值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为单位向量，向量．（1）若，求；（2）若，求与的夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由可得，再根据数量积求即可；（2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可.（1），，解得，.（2），，，，，，所以与的夹角的余弦值为.16.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.（1）估计此批棉花纤维长度的众数；（2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数）（3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数）答案：（1）（2）下四分位数约为，中位数约为（3）解析：思路：（1）由众数的定义即可求解；（2）由百分位数、中位数的定义即可求解；（3）由平均数的定义即可求解.（1）由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为；（2）因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和，所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为，因为前三组的频率之和，前四组的频率之和，所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为；（3）估计此批棉花纤维长度的平均数为.17.如图，在四棱锥中，底面是梯形，．平面，、分别为棱的中点，（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解析：思路：（1）若是的中点，连接，根据已知易得，再由线面、面面平行的判定证明平面平面，最后由面面平行的性质证明结论；（2）利用线面、面面垂直的判定证明平面平面，即得在平面上的投影在直线上，进而确定线面角的平面角，即可求其正弦值；（3）应用等体积法求点面距离即可.（1）若是的中点，连接，又、分别为棱的中点，根据中位线的性质知，，由平面，平面，则平面，同理平面，由都在平面内，故平面平面，又平面，所以平面；（2）由题设，易知为等腰直角三角形，且，则，由题设，易知四边形为直角梯形，且，，则，综上，，则，由平面，平面，则，同理可证，由都在平面内，则平面，平面，所以平面平面，而平面，且平面平面，所以在平面上的投影在直线上，故与平面所成角为或其补角，在中，则，故，所以与平面所在角的正弦值为；（3）由（2）平面，平面，则，故，由，若点到平面的距离为，则，可得.18.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若；（i）求周长的取值范围；（ii）求面积的最大值．答案：（1）；（2）（i）；（ii）.解析：思路：（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，利用同角三角函数的关系式求解.（2）（i）（ii）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解.（1）在中，由及正弦定理得，即，整理得，而，则，于是，整理得，即，而，解得，所以.（2）（i）由余弦定理得，当且仅当时取等号，因此，而，则，所以，所以周长的取值范围是.（ii）由（i）知，当且仅当时取等号，所以，因此，所以面积的最大值为.19.设函数．（1）当时，（i）求的定义