广东省阳江市2025~2026学年高二下册7月期末质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共5页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.在等差数列中，已知，，则（）A. B. C. D.3.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.4.某调味品企业研究豆豉的发酵时间（单位：天）与每千克豆豉中某种物质含量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.105.已知等比数列的前项和为，，，则（）A.120 B.210 C.220 D.8506.甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（）A.种 B.种 C.种 D.种7.若事件，满足，，，则（）A. B. C. D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校高二年级共有男生500人，女生500人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为，女生成绩为，且，，则下列结论正确的是（）（参考数据：；；）A.B.女生成绩的标准差为C.男生成绩在区间的约有人（计算结果四舍五入取整）D.当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多10.设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（）A.是等比数列 B.当且仅当时，取得最大值C.若，则的最大值为 D.若的前项和为，则11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（）A.第二天选择甲餐厅用餐的概率为B.第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为C.若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为D.若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________．13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________．14.已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间与极值；（2）求函数在区间上的最值．16.研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表．性别健康状况感冒不感冒合计男2080女1090合计（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列及均值：（2）补全上表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．17.已知等差数列的前项和为，且，，（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和，18.某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立．（1）求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值；（2）针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，．19.对于正数，且，定义为，的对数平均值，且，我们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek给出了不等式右端的证明：不妨设，则等价于，即证：，令，即证：对一切恒成立．记，则，所以在上单调递增，从而有证毕．（1）请参照以上方法证明：；（2）已知函数．（i）若有两个极值点，，求的取值范围；（ii）在（i）的条件下证明．

数学本试卷共5页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，故B正确.2.在等差数列中，已知，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在等差数列中，由，，得公差，所以.3.设随机变量，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用二项分布的期望和方差的公式，求得且，结合方差的性质，即可求解.解答过程：由随机变量，因为，可得，解得，所以，则.4.某调味品企业研究豆豉的发酵时间（单位：天）与每千克豆豉中某种物质含量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A.4 B.6 C.8 D.10答案：A解析：解答过程：，，则，得.5.已知等比数列的前项和为，，，则（）A.120 B.210 C.220 D.850答案：D解析：思路：根据为等比数列计算.解答过程：由题意得，为等比数列，则为等比数列，得公比为，则，，得，.6.甲、乙两班各人参加数学竞赛，人分两排合影留念，若从甲班的人和乙班的人中各选人站在前排，后排的人要求甲班的人必须相邻，同时乙班的人也必须相邻，则不同的站法有（）A.种 B.种 C.种 D.种答案：B解析：思路：根据分步乘法计数原理求解即可.解答过程：因为第一排的站法有种，第二排的站法有种，所以不同的站法有种.故选：B.7.若事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解.解答过程：因为，所以，，，两式相除得，化简得：，所以.8.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，研究其单调性，进行比较大小.解答过程：，由于，所以，设，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，两边同乘以得：，即，又，所以，两边同乘以得：，即，综上：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校高二年级共有男生500人，女生500人，现对该年级期中考数学成绩进行分析，记男生成绩为，女生成绩为，且，，则下列结论正确的是（）（参考数据：；；）A.B.女生成绩的标准差为C.男生成绩在区间的约有人（计算结果四舍五入取整）D.当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多答案：ACD解析：思路：根据正态分布的性质、期望的性质及正态分布的原则求解即可.解答过程：对于A，已知，所以，所以，A正确.对于B，女生成绩，则标准差为8，B错误.对于C，男生成绩，区间即，所以该区间的人数约为（人），C正确.对于D，男生：，所以，所以及格人数约为（人）；女生：，所以，所以及格人数约为（人）；所以当成绩达到分为及格，则男生和女生及格人数一样多，D正确.10.设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（）A.是等比数列 B.当且仅当时，取得最大值C.若，则的最大值为 D.若的前项和为，则答案：ACD解析：思路：先根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，再根据公式逐一分析选项.解答过程：已知等差数列中，则，.对于选项A，，因为是等差数列，公差，所以，则，且，所以是以为首项，为公比的等比数列，A选项正确；对于选项B，的图象开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当或时，可以取得最大值，而，即的最大值为30，B选项错误；对于选项C，令，即，解得；因为为正整数，所以使成立的的最大值为11，C选项正确；对于选项D，令，解得．当时，；当时，.，，，所以，D选项正确.11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件、存在如下关系：．张同学每天可以选择学校的甲或乙餐厅用餐．张同学第一天选择甲餐厅用餐的概率为，选择乙餐厅用餐的概率为．如果第一天选择甲餐厅用餐，那么第二天继续选择甲餐厅用餐的概率为：如果第一天选择乙餐厅用餐，那么第二天选择甲餐厅用餐的概率为．则张同学（）A.第二天选择甲餐厅用餐的概率为B.第二天选择乙餐厅用餐且第一天选择甲餐厅用餐的概率为C.若第二天选择甲餐厅用餐则第一天选择乙餐厅用餐的概率为D.若第二天选择乙餐厅用餐，则第一天选择甲餐厅用餐的概率为答案：ABD解析：思路：利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得.解答过程：设表示张同学第一天选择甲餐厅用餐，表示张同学第二天选择甲餐厅用餐，表示张同学第一天选择乙餐厅用餐，表示张同学第二天选择乙餐厅用餐.则，，，，，，对于A，，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，因为，故D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________．答案：解析：解答过程：，.所以曲线在点处的切线方程为，即.13.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为__________．答案：210解析：解答过程：由的展开式中第项与第项的二项式系数相等，得，解得，二项式的展开式通项公式，由，得，所以该展开式中的常数项为.14.已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________．答案：解析：思路：分析可知在数列中为第项，利用分组求和法求，再结合错位相减法以及并项求和法运算求解.解答过程：由题意可知：在数列中为第项，且与之间插入个的和为，因为，，则，设，则，可得，且，即，所以；当为奇数时，则，可得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的单调区间与极值；（2）求函数在区间上的最值．答案：（1）递减区间为，递增区间为和，极大值为，极小值为（2）最小值为，最大值为解析：思路：（1）求得，得到函数单调区间，结合极值的定义，即可求解；（2）由（1）得到的单调性，结合极值和区间端点的函数值，进而求得的最值.（1）解：由函数，可得其定义域为，且，令，得；令，得或；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和，则的极大值为，极小值为．（2）解：由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，且，，又由，可得，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为．16.研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到列联表．性别健康状况感冒不感冒合计男2080女1090合计（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列及均值：（2）补全上表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．答案：（1）的分布列为：123期望（2）补全后的列联表：性别感冒不感冒合计男2080100女1090100合计30170200在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关.解析：思路：（1）先根据感冒人群的男女比例，确定分层抽样抽取的6人中的男女人数，再计算各取值对应的概率得到分布列，最后求期望；（2）先补全列联表，代入卡方公式计算观测值，与临界值比较得出结论.（1）已知感冒的年轻人中男性20人、女性10人，男女比例为，分层抽样抽取6人时，抽取男性人数为，女性人数为.随机变量的所有可能取值为1,2,3，对应概率计算如下：，，.所以参与访谈的男性人数的分布列为123期望为.（2）男性合计，女性合计，感冒总人数，不感冒总人数，总样本量.则列联表如下：性别感冒不感冒合计男2080100女1090100合计30170200零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关..由于，因此拒绝零假设，即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关.17.已知等差数列的前项和为，且，，（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前项和，答案：（1）（2）解析：思路：（1）设出公差，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）在（1）基础上，得到，利用错位相减法求和即可.（1）设数列的公差为，由，，得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）及题设知，因为，，两式相减，得，所以．18.某农业科技公司开发了一套AI作物健康系统，每天对于、、三种经济作物进行病虫害识别．系统识别的准确率分别为，，，且三种作物的识别结果相互独立．（1）求第一天AI系统识别准确的作物数量的分布列及均值；（2）针对AI作物健康系统：若前一天识别准确，则第二天识别准确的概率为；若前一天识别错误，则第二天识别准确的概率为．公司规定：当作物的识别准确率不低于时，继续使用当前模型；否则更换此模型．问：一个检测模型最多可以连续使用多少天？参考数据：，．答案：（1）0123（2）3天解析：思路：（1）判断的可能取值，根据概率加法公式及独立事件的概率乘法公式计算对应的概率，即可得到分布列；代入数学期望