广东省河源市2025~2026学年普通高中高一下册供题训练数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数，则函数的零点个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.若空间中三条不同的直线，，满足，，则下面结论正确的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定6.已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（）A. B. C. D.7.已知的面积是，，，则（）A. B. C.或 D.或8.已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关系式与化简结果正确的是（）A. B.C. D.10.如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为4的正方形，则（）A.该几何体的所有顶点在同一个球面上 B.直线与是异面直线C.直线平面 D.该几何体的体积为11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小值为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.当为偶数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在一次射击选拔赛中，某选手射击次，命中的环数分别为，则该选手这次射击成绩的方差为_____．13.已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________．14.在中，已知，，，连接，交于点，若，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）判断函数奇偶性并证明；（2）用单调性定义证明：函数在上单调递增．16.某中学为了解高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法从高一年级男生和女生中抽取一个容量为100的样本进行调查．已知高一年级男生有600人，女生有400人．（1）求抽取的男生和女生的人数；（2）将样本中100名学生的身高（单位：）数据整理后，得到的频率分布直方图如图：（ⅰ）估计高一年级全体学生身高在内的人数；（ⅱ）估计高一年级全体学生身高的第60百分位数（结果保留一位小数）．17.如图，在平行四边形中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（含端点）．（1）求；（2）求的取值范围．18.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，点为的内心，求面积的最大值．19.如图，已知三棱锥的体积为，是边长为4的等边三角形，，点，分别是棱，上的动点，当时，平面平面．（1）证明：平面；（2）当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得.2.已知复数满足，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：解不等式后由充分必要条件的概念即可求解.解答过程：解得，可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.4.已知函数，则函数的零点个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：B解析：解答过程：因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，所以仅有1个零点.5.若空间中三条不同的直线，，满足，，则下面结论正确的是（）A. B.C.，既不垂直也不平行 D.，的位置关系不确定答案：D解析：思路：通过作正方体将直线转化为正方体的边，并结合垂直的判定与性质寻找符合条件的不同情况即可求解.解答过程：如图，若，此时满足，，则，若，此时满足，，则取的中点，因为，所以平面，因为平面，所以，易得，且，平面，所以平面，因为平面，所以，此时，此时满足，，则，既不垂直也不平行，综上，，的位置关系不确定.6.已知平面向量，将绕起点顺时针旋转角得到向量，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将顺时针旋转转化为负角，再利用正弦奇函数、余弦偶函数的性质直接得出新向量的坐标.解答过程：由题意得.7.已知的面积是，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：C解析：思路：根据面积求出或，分两种情况，由余弦定理得到答案解答过程：，即，解得，因为，所以或，当时，，当时，，经检验，均满足要求，故或.8.已知函数的定义域为，对任意的实数，都满足，则下列选项一定成立的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：令求出，由题中所给等式通过取特殊值可分别求出、，相加即可.解答过程：令，得，解得，令，得，所以，由题意知，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关系式与化简结果正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由三角函数诱导公式结合三角函数恒等变换依次验证选项即可.解答过程：对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误.10.如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为4的正方形，则（）A.该几何体的所有顶点在同一个球面上 B.直线与是异面直线C.直线平面 D.该几何体的体积为答案：ABC解析：思路：利用正八面体对称的特征，寻找中心求出外接球半径以验证球面，借助截面内的平行四边形与空间直线定义判定线面关系，并将其拆分为两个正四棱锥的组合体来计算总体积.解答过程：设正方形的中心为，因为是正八面体，连接，点在直线上，连接也交于点，且平面，，则，且，且，所以，所以该几何体的所有顶点在同一个球面上，故A正确，若直线与共面，则四点共面，则直线与共面，但平面，而平面且不经过中心，所以与是异面直线，即直线与是异面直线，故B正确，因为且，所以是平行四边形，则，因为平面，且平面，所以平面，故C正确，该正八面体可以看作是两个完全相同的正四棱锥拼接而成，底面的面积，高，则，则整个正八面体的体积，故D错误.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的最小值为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.当为偶数时，答案：ABD解析：思路：本题考查三角函数的图象与性质，通过化简函数表达式，结合对称性、单调性、最值判断方法逐项分析即可．解答过程：对于A，，当，即时，取最小值，A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于直线对称，B正确；对于C，，令，得，开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数“同增异减”得在区间上单调递减，C错误；对于D，当为偶数时，，，当时，或，此时，当为偶数时，的最大值在时取到，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在一次射击选拔赛中，某选手射击次，命中的环数分别为，则该选手这次射击成绩的方差为_____．答案：解析：思路：先计算次射击成绩的平均数，再根据方差的定义公式计算结果即可．解答过程：平均数，方差．13.已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________．答案：##0.5解析：解答过程：令得，故定义域为，因为是定义域上的奇函数，所以，即，故，所以.14.在中，已知，，，连接，交于点，若，则__________．答案：解析：思路：结合向量的线性表示以及向量数量积的运算可得，由三点共线的性质可得，分别表示出，，结合向量模和夹角的运算公式求解即可.解答过程：因为，，，所以，化简得：，因为，所以，所以，即设，因为三点共线，且，所以，因为三点共线，且，所以，则，解得：，所以，由于，，所以，即，所以，，所以，因为，则，所以，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）判断函数奇偶性并证明；（2）用单调性定义证明：函数在上单调递增．答案：（1）为奇函数，证明如下.（2）证明如下.解析：思路：(1)用奇函数的性质证明即可.(2)用定义证明单调性即可.（1）为奇函数；证明：由题意知的定义域关于原点对称，且，故得证；（2）证明：设任意的，则因为，所以，故函数在上单调递增16.某中学为了解高一年级学生的身高情况，采用分层抽样的方法从高一年级男生和女生中抽取一个容量为100的样本进行调查．已知高一年级男生有600人，女生有400人．（1）求抽取的男生和女生的人数；（2）将样本中100名学生的身高（单位：）数据整理后，得到的频率分布直方图如图：（ⅰ）估计高一年级全体学生身高在内的人数；（ⅱ）估计高一年级全体学生身高的第60百分位数（结果保留一位小数）．答案：（1）男生60人，女生40人（2）（ⅰ）500；（ⅱ）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用分层抽样比列式求解.（2）（ⅰ）由给定的频率分布直方图求出指定区间的频率，进而求出频数；（ⅱ）利用第60百分位数的意义求解.（1）高一年级男生有600人，女生有400人，利用分层抽样的方法抽取容量为100的样本中，抽取的男生人数为，抽取的女生人数为.（2）（ⅰ）由频率分布直方图，得身高在内频率为，所以高一年级全体学生身高在内的人数约为.（ⅱ）身高在内的频率为，在内的频率为，学生身高的第60百分位数，因此，解得，所以高一年级全体学生身高的第60百分位数约为.17.如图，在平行四边形中，，，点为线段的中点，点为线段上的动点（含端点）．（1）求；（2）求的取值范围．答案：（1）（2）解析：（1）如图，过作,以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系,，则，，过作交于,，则,，所以所以,所以,,所以；（2），，由，，得为中点，故。点在线段上，纵坐标恒为，设，其中，，因为，又在上单调递减，所以当，，，，所以故的取值范围为.18.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，点为的内心，求面积的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由两角和的正弦公式展开，再通过正弦定理把边化角求解；（2）利用余弦定理和基本不等式综合求解.（1）得，由正弦定理，得由三角形内角和，故，得整理得：因为，，两边同除以得得，又，因此；（2）已知，，由余弦定理得，即，所以由基本不等式，得，当且仅当取等号，所以所以，所以，当且仅当取等号，又，所以设内切圆半径为，则的面积为，所以，所以设，则，则，设，则在上单调递增，当，取得最小值为，所以，从而，即从而，则的面积，所以面积的最大值为.19.如图，已知三棱锥的体积为，是边长为4的等边三角形，，点，分别是棱，上的动点，当时，平面平面．（1）证明：平面；（2）当三棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．答案：（1）因为，所以，因此，取中点，如图，连接，则，又平面平面，平面平面平面，所以平面，而平面，因此，故，解得，又，，因此，由余弦定理可知，，所以，由余弦定理可知