广东省中山市华辰实验中学2025~2026学年高二上册开学考数学试卷【附解析】

数学一、单选题1.（）A. B.−1 C.1 D.22.已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.23.已知非零向量a，b，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图，在正方形网格中，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，点O为平面ABC外任意一点，则下列向量能表示向量的为（）A. B.C. D.5.泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为，则估算泰姬陵的高度CD为（）A. B. C. D.6.已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A. B.16 C.23 D.7.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（）A. B. C. D.8.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r=2，则下列说法错误的是（）A.球与圆柱的表面积之比为2B.四面体的体积的取值范围为C.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为D.平面DEF截得球的截面面积最小值为二、多选题9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，，EA.，F，B，E四点共面B.直线与直线BF所成的角为90°C.直线与平面所成的角为90°D.直线BE与平面A1B111.已知△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则△ABC为等腰三角形B.若，则△ABC为等腰或直角三角形C.若△ABC为锐角三角形，若，则D.若，，a=3，则△ABC有两解三、填空题12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC与AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为，则原平面图形的面积为________．13.已知，则______.14.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________．四、解答题15.已知函数．（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．16.等边三角形△ABC，边长为2，D为BC的中点，动点E在边AC上，E关于D的对称点为F．（1）若E为AC的中点，求．（2）求的取值范围．17.设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.18.如图，在正三棱台ABC−A1B1C（1）证明:.（2）过B1C1的平面α交分别于E,F，若平面，求直线BB1与平面所成角的正弦值19.如图，设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且.（1）求边的长度；（2）若，设点E，F分别为边AB，AC上的动点(含端点)，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为△ABC面积的，求的取值范围.

数学一、单选题1.（）A. B.−1 C.1 D.2答案：C解析：思路：借助正切函数的诱导公式计算即可得.解答过程：.故选：C.2.已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A. B.1 C. D.2答案：D解析：思路：利用扇形的弧长和面积公式列方程求出，利用弧度数公式求得结果.解答过程：设扇形的弧长为l，半径为R，则且，解得，则该扇形的圆心角的弧度数为，故选：D.3.已知非零向量a，b，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.解答过程：若，则，，所以“”是“”成立的必要条件，若，则，，当，时，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分条件，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.4.如图，在正方形网格中，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，点O为平面ABC外任意一点，则下列向量能表示向量的为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据A，B，C，P四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得x,y的值，即可得到答案；解答过程：根据A，B，C，P四点共面，可知存在唯一的实数对，使．由图知x=3，y=−2，故，故选：C.5.泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为，则估算泰姬陵的高度CD为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题设可得，应用正弦定理求得，进而求CD.解答过程：由题设且，在A测得泰姬陵顶端C处仰角为，所以，则，所以，故.故选：A6.已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A. B.16 C.23 D.答案：A解析：思路：正四面体的所有棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，将异面直线的夹角转化为共面直线EF与CE的夹角，在中，利用余弦定理求解.解答过程：取AD中点F，连接EF,CF，正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则,,异面直线BD与CE所成角，即为EF与CE所成角即,等边△ABC中，，同理,中，,故选：A方法提示：熟悉正四面体的特点，异面转化为共面，用余弦定理.7.已知a为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可.解答过程：由条件知，则由，得，即，解得a=1或（舍去），则．因为，所以．则当，即时，函数f(x)取得最大值，故选：C．方法提示：本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.8.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r=2，则下列说法错误的是（）A.球与圆柱的表面积之比为2B.四面体的体积的取值范围为C.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为D.平面DEF截得球的截面面积最小值为答案：D解析：思路：A.由球的半径为r，得到圆柱的底面半径为r，圆柱的高为，再分别利用球表面积和圆柱的表面积公式求解判断；B.根据四面体的体积等于求解判断；C.根据点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P′，得到，设，，由求解判断；D.过O作于G，设O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为，由求解判断.解答过程：由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为23，故A正确；由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离，又，所以，故B正确；由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P′则，设，则，所以，所以，故C正确.过O作于G，如图所示：则由题可得，设O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为，则，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故D错误；故选：D二、多选题9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项.解答过程：解：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确；B选项：，故B不正确；C选项：，故C正确；D选项：，解得：，又，所以，故D正确；故选：ACD.10.如图，正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，，EA.，F，B，E四点共面B.直线与直线BF所成的角为90°C.直线与平面所成的角为90°D.直线BE与平面A1B1答案：ACD解析：思路：取DD1的中点G，可证得四边形为平行四边形，即可判断A；因为，所以或其补角为直线与直线BF所成的角，求解可判断B；取BB1的中点H，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可判断C；由CC1⊥平面ABCD，得BE与平面ABCD所成的角为∠EBC，且，又平面ABCD平面A1B1C解答过程：设，对A选项，如图，取DD1的中点G，连接又E、F分别为CC1和AA1的中点，∴GE∥DC∥AB，且GE＝∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG∥BE，AG＝BE，∵AF∥，AF＝，∴四边形为平行四边形，∴，，∴，四边形为平行四边形，∴，F，B，E四点共面，故A正确；对B选项，∵四边形为平行四边形，∴，∴或其补角为直线与直线BF所成的角，∵，∴，∴直线与直线BF所成的角为60°，故B错误；对C选项，取BB1的中点H，连接∵，，∴四边形为平行四边形，四点共面，∵四边形为正方形，∴，∵平面BCC1B1，平面BCC∵平面，∴平面，∴直线与平面所成的角为90°，故C正确；对D选项，∵CC1⊥平面ABCD，∴BE与平面ABCD由题意易知，又平面ABCD平面A1B1∴直线BE与平面A1B1C1D故选：ACD．11.已知△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则△ABC为等腰三角形B.若，则△ABC为等腰或直角三角形C.若△ABC为锐角三角形，若，则D.若，b=4，a=3，则△ABC有两解答案：CD解析：思路：根据正弦函数的性质可得或判断A，由正弦定理及正切函数性质判断B，根据正弦函数单调性判断C，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D.解答过程：，，或，即A=B或，故A错误；，，即tanA=tanB，由知A=B，故△ABC为等腰三角形，故B错误；∵△ABC为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C正确；，b=4，a=3，，故△ABC有两解，故D正确.故选：CD三、填空题12.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC与AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为，则原平面图形的面积为________．答案：8解析：思路：设，，，求得，作出原图形，分析梯形的两底边长与高，利用梯形的面积公式可求得原图形的面积.解答过程：设，，，在四边形ABCD中，，因为在四边形ABCD中，边AB平行于y轴，BC与AD平行于x轴，所以，，可得，设原图形为梯形A′B′则A′B′平行于轴，、平行于轴，且，，，因此，原图形的面积为.故答案为：8.13.已知，则______.答案：310##0.3解析：思路：根据同角三角函数的关系式，利用齐次式法求解即可.解答过程：由于，则，故答案为：314.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________．答案：解析：思路：根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内求的解即可.解答过程：函数的周期为π，由，得，即，解得，在长为一个周期的区间上，取，得，当时，，显然函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，由f(x)在上的值域为，则当时，，故，当时，，于是，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题15.已知函数．（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．答案：（1），单调递减区间为，．（2）解析：思路：（1）首先利用诱导公式将函数变形，再根据正切函数的性质计算可得；（2）根据函数的周期性及单调性判断即可；（1）解：函数f(x)=3tan(所以最小正周期由，，解得，单调递减区间为4kπ−4π3,4kπ+8π（2）解：因为f11π又，函数fx在−4π所以fπ>f16.等边三角形△ABC，边长为2，D为BC的中点，动点E在边AC上，E关于D的对称点为F．（1）若E为AC的中点，求．（2）求的取值范围．答案：（1）−3（2）解析：思路：（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可；（2）利用已知条件求出AD的值，根据E关于D的对称点为F，得，然后计算，由于动点E在AC上，当时，取最小值，当E与A重合时，取最大值，即可求得的取值范围.（1）因为D为BC中点，所以.因为E为AC中点，所以，所以.（2）因为等边三角形△ABC，边长为2，D为BC中点所以AD为3，因为E关于D的对称点为F，所以，所以，因为动点E在AC上，所以当时，取最小值，即，当E与A重合时，取最大值，即3，所以，所以的取值范围为.17.设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.答案：（1）；（2）.解析：思路：(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.解答过程：(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当x=0时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.方法提示：本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，在正三棱台ABC−A1B1C（1）证明:.（2）过B1C1的平面α交分别于E,F，若平面，求直线BB1与平面所成角的正弦值答案：（1）证明见解析；（2）.解析：