2026高一数学（初升高）提升讲义：幂函数

第15讲嘉函数

【知识梳理】

知识点一幕函数的概念：一般地，函数y=L叫做幕函数，其中x是自变量，。是常数.

知识点二五个累函数的图象与性质

1.在同一平面直角坐标系内函数（1）y=x；（2）），=/；（3）），=f；（4）），=/1；（5）y=«?的图象如图.

2i

y=xy=xiy=x2y=x~

定义域RRR[0,+oo){4^0}

值域R[0,+8)R[0,+oo)｛比划

非奇非

奇偶性奇偶奇奇

偶

在［0,+oo）上在（0,+oo）上

单调性增增，增增减，

在（一8,0］上减在（一oo,0）上减

知识点三一般累函数的图象特征

1.所有的基函数在（0,+功上都有定义，并且图象都过点（1』）.

2.当公>0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+与上是增函数.

特别地，当仁>1时，幕函数的身象下凸；当0<0<1时，再函数的图象上凸.

3.当。<0时，基函数的图象在区间（0,+oo）上是减函数.

4.累汨数互为倒数的募函数在第-象限内的图象关于直线），=人对称.

5.在第一象限作直线x=a（a>l）,它同各幕函数图象相交，按交点从下到上的顺序，事指数按从小到

大的顺序排列.

【例题详解】

题型一、幕函数的概念

1.（25-26高一上•上海）卜列函数是基函数的是（）

A.)'=2xB.y=2x-\

C.y=（x+\）2D.y=^/j?

【答案】D

【分析】根据鬲函数的定义即可得解.

【详解】根据府函数的定义，A、B、C均不是塞函数，只有D选项）,=［了=，，形如（。为常

数），是累函数，所以D正确

故选：D.

2.（23-24高一上.全国•课后作业）下列函数是墓函数的是（）

A.y=x2xB.），=2、

C.y=x^D.y=3x+2

【答案】C

【分析】根据鬲函数的定义逐个分析判断

【详解】对于A,），=/中指数上有变量q所以此函数不是界函数，所以A错误，

对于B,y=2‘是指数函数，不是嘉函数，所以B错误，

对于C,），=/是幕函数，所以C正确，

对于D,y=3x+2是一次函数，不是基函数，所以D错误，

故选：C

3.（25-26高一上•湖北•期末）下列函数是幕函数且是奇函数的是（）

A.y=2xB.y=x2

C.y=X~3D.V=X°

【答案】c

【分析】由寻函数解析式结构特点及奇偶性概念逐个判断即可；

【详解】对于A,易知不是事函数，错误；

对于B,易知其为偶函数，错误；

对于C,由解析式可知为基函数；点，定义域为（f，。）”。，2），

又〃r）=W=-或=-〃x）,奇函数，正确；

对于D,易知其为偶函数，错误;

故选：C

2

题型二：求幕函数的解析式或值

4.（25-26高一上.重庆期末）已知幕函数y=/（x）的图象过点（9,3）,贝以（4）=（）

A.2B.8C.V2D.16

【答案】A

【分析】由点求得函数解析式即可求解.；

【详解】设＞=〃x）=x",

则3=9",解得：〃=

所以"4）=42=2,

故选：A

5.（25-26高一上•浙江衢州•期末）已知累函数的图象过点（2,应），则〃9）=（）

A.—3B.V3C.2D.3

【答案】D

【分析】根据索函数的图象过点倒,垃），求出函数解析式，代入可得答案.

【详解】设/（"=心因为辕函数/（X）的图象过点（2,&）,所以2。=正，

解得〃=：，所以〃9）=内=3.

故选：D.

6.（25-26高一上♦新疆喀什♦期末）已知函数/（工）=（〃+1）/1是幕函数.则〃2）=（）

A.\B.2C.D.1

【答案】C

【分析】根据函数是辱函数求参数，再求函数值即可.

【详解】因为函数/（x）=（%+1）fz是暴函数，所以火+1=1,所以攵=0,

所以〃力=力,所以"2）=2」=今

故选：C.

题型三：根据惠函数的定义求参数问题

7.（25-26高一上全国•课后作业）若函数/（力=（〃?2_〃一）/ft是累函数，则实数/〃的值是（）

A.1或一2B.-1C.2D.-1或2

【答案】D

3

【详解】由察函数的定义知的-吁1=1,解得〃7=2或/〃=7.

8.（25-26高一上•广东潮州•期末）已知寨函数/（工）=（3川-75-5谭一在（0,e）上是减函数，则〃？-（）

22

A.二或3B.--C.1D.3

JJ

【答案】B

【分析】根据函数/（X）=（3>—7〃L5."T是暴函数，由3加-7〃-5=1求得如再根据单调性求解.

【详解】解：由函数/（力=（3病-7时5）上是塞函数,

、2

得3/n2-1m—5=1,解得〃？=3或〃7=一§,

当〃?=3时，/（x）=Y在（0,+/）上是增函数，不符合题意，

7—1

当加=-；时，/（X）=C=京在（。,+8）上是减函数，符合题意，

?

所以吁-

故选：B.

9.（25-26高一上•河北沧州•期末）已知募函数/*）=（/+〃-1）--2-33€即的图象在©内）上单调递减,

则。的取值是（）

A.1B.-2C.1或-2D.0

【答案】A

【分析】利用转函数的定义和单调性列式计算即得.

【详解】由幕函数/（x）=（/+a-l）V3（a£R）的图象在。口）上单调递减，

得3〜八，所以a=l.

a-29a-3<0

故选:A.

题型四：幕函数的性质问题

10.（25-26高一上•山东烟台・期末）已知幕函数/（x）的图象经过点（2,目，则（）

A./'（X）的定义域为RB./'（X）的值域为R

C./（X）为偶函数D.7（力是其定义域上的减函数

【答案】C

【分析】根据幕函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可.

4

【详解】设=则2"=；,解得〃=—2,故/（力=£2=盘，

则“X）的定义域为｛幻户0｝,故A错误;

“X）的值域为3）=（）｝,故B错误；

”r）=±=/（x）,则/（"为偶函数，故C正确；

/（X）在（y,0）和（0,+8）上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.

故选：C.

11.（25-26高一上•安徽马鞍山•期中）己知幕函数产〃力的图象过点卜1）,下列说法中正确的是（

A./（X）是奇函数B./'（X）的定义域是［Q*o）

C.f（x）的值域是Rs）D.在定义域上单调递减

【答案】D

【分析】由条件求出事函数的解析式，根据幕函数的性质判断即可.

【详解】•,•基函数），=/（工）的图象过点（4,；）,设/（刈=产，

••・4。=；,即22a=2、得2a=_1.a=_g,

.../（X）=J=-L,其定义域为（0,+8）,故B错误；

•••定义域关于原点不对称，・•・/（x）为非奇非偶函数，故A错误；

•••定义域为（0收），/3=白〉（），.•./（'）的值域是（0,+犯故C错误；

,"（x）在定义域（。，+刃）上单调递减，故D正确.

故选：D.

12.（23-24高一上•云南昆明・期末）已知函数/（力=y，则（）

A.a=-2时，"X）是偶函数R.时，/（"的值域为（0.+8）

C./'（X）的图象恒过定点（0⑼和（11）D.0<°<1时，/（）是减函数

【答案】A

【分析】根据募函数的性质一一判断即可.

【详解】对于A,当a=-2时/⑴=『=《定义域为｛加工0｝,

旦/（一力=奇=2=/（"），所以〃力=一为偶函数，故A正确；

5

对于B,当时，=则〃力的值域为［。,+8）,故B错误；

对于C,当。=-2时，/（"=/=与定义域为{爪工0},函数不过点（0,0）,故C错误；

X

对于D,当0<avl时,/（力=犬在（。,+功上单调递增，故D错误；

故选：A

题型五、幕函数的图象及应用

13.（25-26高一上•全国•课后作业）如图所示的曲线是基函数y=V在第一象限的图象，已知〃取±2,±g

四个值，则相对应的曲线G，G，G，C4的〃值依次为（）

A.2,p-p-2B*2C.-pP-2)2D.2

【答案】A

【详解】可在直线x=l的右侧作一条垂直于x轴的直线，如x=2.观察直线x=2与各图象的交点，交

点越高，其累函数的〃值越大.

14.（25-26高一上•全国•课后作业）幕函数），=/及直线丁=大，y=l,工=1将平面直角坐标系的第一

象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）.那么幕函数）,=户的图象

经过的“卦限”是（)

A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤

【答案】D

【详解】取x得），=（gy=A=*《；』），故在第⑤卦限；再取1=2得）,=2、夜e（l,2），故在第①

卦限.

6

15.（25-26高一上.辽宁・期末）如图，①②③④对应四个累函数的图象，则①对应的事函数可以是

【答案】C

【分析】结合图象及基函数的性质判断即可.

【详解】由图可知，①对应的辕函数：函数的定义域为口+8）,在第一象限内单调递增，

且图象呈现上凸趋势，则指数夕的值满足排除选项AD；

又）,="的定义域为R,产的定义域为［0,+力），

故）,=，符合题意.

故选：C

题型六：募函数的单调性解不等式问题

16.（25-26高一上•广东汕头・期中）己知幕函数”力的图象过点（2,8）,若〃勿+3）＞〃3）,则。的取值

范围为（）

A.（2,4^o）B.（1，+8）C.（T，e）D.（O，+a）

【答案】D

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，利用函数单调性即可解不等式.

【详解】"6为爆函数，可设

由于函数的图象过点（2,8）,故2a=8,所以。=3,即/（x）=V

所以函数在R上单调递增，

由/伽+3）＞〃3）可得2a+3＞3,解得。＞0,即〃的取值范围为（。.+动.

故选：D.

17.（25-26高一上•湖北•阶段练习）已知累函数/（力=（3＞—〃_1）/1是定义域上的奇函数，则满足

7

2〃)的实数〃的取值范围为()

A.(1+8)B.(f-2)5-2,2)

C.S-2Hl,2)D.S，2)

【答案】C

【分析】根据募函数的定义求出阳的值，再代入解析式中检验，即可得到/(",从而得到函数的单调

性，根据单调性将函数不等式转叱为自变量的不等式，解得即可.

【详解】因为/(力=(3〃-〃1产为基函数，所以3〃=解得阳=1或6Y，

当〃?=1时，此时/(“为偶函数，不符合题意；

当m=1时，/("=/,此时“封为奇函数，符合题意；

所以/%)=/，则f(x)的定义域为⑶工工0},且函数在(。,+⑹上单调递减，

则/(x)在(y,。)上单调递减,

所以不等式〃。+2)<〃4-2〃),

a+2<0

即〃+2>4-2«>()或0>〃+2>4-24或<

4一2。>0'

2

解得或无解或〃<-2,

所以实数〃的取值范围为S,-2)U(|,2).

故选：C

18.(21-22高一•全国・单元测试)已知事函数y=的图象关于)，轴对称，且在(0,+8)上

单调递减，则满足(4+1广<(3-2〃产的。的取值范围为()

A.(0,-H»)B.(-g'+s

c-H)D.s-M翡:

【答案】D

【分析】由条件知川-2〃.3<0,MCN',可得〃?=1.再利用函数),=/的单调性，分类讨论可解不

等式.

【详解】事函数3[meN)在(0,y)上单调递减，故〃?2一2〃?-3<0,解得T<,〃v3.又〃?eN'，

故"7=1或2.

8

当m=1时，y=k的图象关于y轴对称，满足题意；

当〃?=2时，y=x"的图象不关于y轴对称，舍去，故〃2=1.

不等式化为(〃+1产<(3-2〃心，

函数y=/在(-00,0)和(0,+8)上单调递减，

、23

故。+1>3-%>0或。>4+1>3-2。或。+1<0<3-2。，解得a<-1<«<-.

故应选：D.

题型七：基函数的奇偶性问题

19.(25-26高一上•全国)若暴函数/("是R上的偶函数，且在区间(f,0)上单调递减，若

〃="-1.5),。=/(一1.4),c=/(0.6),则。也c的大小关系为()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【分析】运用基函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可.

【详解】/(X)为偶函数,所以c=/(0.6)=/(~0.6),又因为基函数/(x)在(-双0)上单调递减，

所以/(-1.5)>/(-1.4)>/(-0.6)=/(0.6),即a>8>c.

故选：B.

20.(21-22高一上•安徽•期中)某函数“v)=(M_〃―1)/+2心在区间(0,内)上单调递增，且〃+6>0,

则/⑷+/S)的值()

A.恒大于()B.恒小于()C.等于()D.无法判断

【答案】A

【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可.

【详解】由函数/a)=d_〃1)/+2小5是累函数，可得解-吁i=i,解得〃2=2或6=T.

当〃7=2时，/(X)=X3;当〃?=一1时，f(x)=x~6.

因为函数/*)在(0,内)上是单调递增函数，故fM=A3.

又a+b>0,所以所以/(〃)>/(")=一/3),则/'S)+fS)>0.

故选:A.

tn-2_

21.(21・22高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)己知“”=(〃?2_2〃?-7卜丁是幕函数，且在(。，y)上单调

递增，则满足的实数4的范围为()

9

A.(f。)B.(2,y)C.(0,2)D.(YO,0)1(2,问

【答案】D

【分析】由幕函数的定义求得用的可能取值，再由单调性确定机的值，得函数解析式，结合奇偶性求

解.

【详解】由题意〃/-2〃?-7=1,解得"?=4或〃?=-2,

又/（X）在（0,y）上单调递增，所以竺9>0,,〃>2,

所以〃=4,/*-）_/，易知/（%）是偶函数，

所以由得解得a<0或〃>2.

故选：D.

题型八：嘉函数的比较大小问题

22.（25-26高一上•安徽安庆•阶段练习）己知〃=2%〃=0.4。2,—则mb,c的大小关系是

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

【分析】根据基函数单调性分析判断即可.

【详解】因为）=.产在R上单调递增，所以2。2>0.4。"即a”,

又因为0.4。2=（Od）。」=016。］，又且），=”在［（）,2）上单调递增，

所以b>c,所以a>"c.

故选：A.

,J

23.（25・26高一上•甘肃白银•阶段练习）设凶=713,%=产，y3=125,则（）

A.3rB.

C.乂>为>）’2D.%>%>）1

【答案】c

【分析】将y,力，必换算成幕函数），=储」的形式，然后根据函数的单调性求解.

3J3，，u2221

【详解】由题意可知,y1=7=（7）=343,y2=9=（9）'''=81',

因为在（。，+为上是增函数，且343>125>81,

所以

故选：C.

10

24.（25-26高一上•天津•期中）己知。=/=，c=jj，则。，从c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】利用基函数/（X）=/3的单调性比较大小即可.

【详解】。=（丁=4。3,幕函数〃月=产3在（0次）上单调递增，因为:<,<4,所以/（扑同</（4）,

即<4叱所以〃<a<c,故选：D.

题型九：嘉函数性质的综合问题

25.（25-26高一上•北京•期中）已知事函数/（%）=（3〃/-2Mxw（〃?eR）在定义域上不单调.

⑴求函数〃幻的解析式；

（2）函数/（幻是否具有奇偶性？请说明理由；

（3）若〃a+l）+f（2a-3）<0,求实数。的取值范围.

【答案】（1）/。）=。；

（2）奇函数，理由见解析；

23

【分析】（1）由基函数的定义可得加=T或〃2=1,结合函数/G）的单调性验证得解.

（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.

【详解】（I）由暴函数/（X）=（3评-2,"）广,得3m2-2in=1,解得加=1或m=-1,

若〃?=1,则/*）=工在定义域R内单调递增，不合题意；

I_11

若"?=-§，则/（x）=x3=版在定义域（f0卜（0,”）内单调递减，

但"X）在定义域（YO,0）（0,位）内不单调，符合题意；

所以函数/W的解析式为/«=2.

（2）函数为奇函数，理由如下：

函数/*）的定义域（,，（））（。，田）关于原点对称,

11

且，（T）==一%=一"幻'所以函数/G）为奇函数.

⑶由〃。+1）+八2〃-3）〈。及/"）为奇函数，

得/3+1）＜-/3-3）=/（3-2。）,

即（a+l）T＜（3-2。-，

而/"）在（3。上递减且恒负，在（0，位）上递减且恒正,

rt+1＞04+1<0

a+l<023

所以fa〉。或＜3-2«<0或，解得〃或

3—2。>0

u+\＞3-2a。+1>3-2a

所以实数。的取值范围（-叫-

26.（25-26高一上•河南许昌•期末）已知函数/*）=（3〃/-8/〃-2）廿（阳€1＜）为事函数，且/V）在（0,+oo）上

单调递增.

⑴求/（x）的解析式；

（2）若/（a+4）+f（-a2+a-l）＜0,求实数。的取值范围.

【答案】⑴/3）=/

⑵（f-1）53,+＜»）

【分析】（1）根据幕函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得帆=3,即得函数解析式；

（2）利用函数/（x）=V的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得.

【详解】（1）因函数/。）=（3〃72-8〃?-2）/（""1＜）为幕函数，且/（幻在（0,*o）上单调递增，

3〃[2—8〃7—2=1,,

八解得加=3,故〃刈=/；

{in＞0,

（2）因为函数〃x）=V为奇函数且在R上单调递增，

所以不等式/（。+4）+/（-可化为/（〃+4）＜八/-。-1）

所以a+4va?一。+1,即。2-2a-3＞0

解得〃＜-1或。＞3,

故实数a的取值范围为（f-1）53,~）.

27.（25-26高一上•云南昆明・期末）己知函数/（幻=（＞-5〃?+5）/为幕函数，且/*）满足/（-幻=-/（犬）.

⑴求实数川的值；

⑵若函数前幻」-/（外，其定义域为（0，一）.

x

①证明：g（x）在（0,+°°）上为减函数;

12

②求使不等式g（3・l）＞g⑴成立的实数，的取值范围.

【答案】⑴71

⑵①证明见解析；②段）.

【分析】（1）根据幕函数的定义和性质得解；

（2）①利用单调性的定义证明；

②利用单调性解不等式.

【详解】（1）因为/（'）=（疗-5"+5卜加为嘉函数,

所以m2-5m+5=1,解得"，=1或〃?=4,

又因为〃T）=-〃X）,所以为X）为奇函数,故〃7=1.

（2）①证明：由（1）知〃幻=3则

XX

设天"＞0,

II(11)(1

X

则g(xj-g(%2)=-----\---+为=-----+(x2-xI)=(x2-xl)—+1,

X\X2\XIX2/

\

因为占＞内＞0,所以（々-内）——+1＞。，所以g（N）-g（W）＞。，故g（X）＞g（x2）.

\XiX2J

所以g⑺在（。，内）上为减函数.

②因为以X）在（0,+8）上为减函数，其定义域为（0,+8）,

3/-1>0,

解得:＜，＜；，

所以g⑶-l)>g⑺等价于/>0,

JJ

所以实数/的取值范围为品

【专项训练】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课后作业）下列函数中，属于幕函数的是（）

A.y=（2.r）2B.y=y/xC.y=——D.y=2X

x

【答案】B

【分析】由基函数的定义即可求解.

【详解】形如），=k（。为常数且QER）为幕函数，要求底数为变量且系数为1,

对比选项仅有B：）,=4=/符合要求.

13

故选：B.

2.（25-26高一上•江苏苏州期末）设幕函数=贝中七<：0”是“/（"）在定义域内单调递减”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】利用幕函数的性质即可作出判断.

【详解】若鼎函数""=/在定义域内单调递减，则必有

但如所T<0,/（x）=J=L不在定义域内单调递减.

故选：B.

3.（25-26高一上•上海长宁・期末）如图是4个幕函数在第一象限内的图像，则（）

A.a<b<c<dB.b<a<c<d

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

【答案】A

【分析】根已知累函数图象在x>l或Ovx<l时图象上下关系，结合构造函数/（）=/,利用指数函数

的单调性做出判断.

【详解】由己知图象可知当X>1时，x°<xh<xc<xd,

acd

当OVK<1时，x>x>xf

而函数/（，）=/在底数X>1时为dj单调增函数，

在底数X满足Ovxvl时为/的单调减函数，

a<b<c<d.

故选：A

4.（25-26高一上•河北承德•期末）若累函数/⑴的图象过点（2,忘），则是（）

A.奇函数B.偶函数

C.[0,内）上的增函数D.R上的增函数

【答案】C

14

【分析】利用第函数定义和待定系数法来求解事函数，再结合事函数的性质来进行判断即可.

【详解】设幕函数/(%)=/,贝疗(刈=2。=及，解得。=；,

所以〃刈=%=五，

由于该函数定义域为［0,+8)，故既不是奇函数也不是偶函数，

且/(X)是［0,+8)上的增函数，所以A、B、D都是错误的，

故选：C.

5.(25-26高一上•广东•期末)若幕函数/3=(/-2〃-2卜“在(0,+8)上是单调递增的，贝I」()

A./(-1)=1B./(1)=-1

C./(X)在(F,0)上是单调递增函数D./(“是偶函数

【答案】C

【分析】先根据察函数性质得到。=3,/(.v)=x\代入计算得到AB错误；根据/(6=/的单调性和

奇偶性得到C正确，D错误.

【详解】由题意得〃2一2.-2=1且。>0,解得a=3或-1(舍去)，

故/(x)=Y，

A选项，=A错误；

B选项，B错误；

C选项，/(x)=/在R上单调递增，故/(力在(-％0)上是单调递增函数，C正确；

D选项，/(-)=-d=-/(x),故/("不是偶函数，D错误.

故选：C

6.(25-26高一上•广东广州•期末)已知骞函数产/(力的图象过点(2,4),则不等式“力-1)>〃2力的

解集为()

A.(-ooJ)B.

Z

\_

C.(l，y)D.3(IM)

X,5

【答案】D

【分析】根据器函数解析式结合题意可得/(6=/，代入解一元二次不等式即可.

【详解】设察函数/(x)=x",awR,

15

因为某函数），=/（力的图象过点（2,4）,

2

则2a=4,解得。=2,g|jf（x）=xf

因为/（3x-l）＞/（2x）,即（3x-l）2＞（2",

整理可得5x2-6x+l＞0,解得x＞1或4vg,

所以不等式/（3x-l）＞/（2x）的解集为（一引（1,+8）61）.

故选：D.

7.（25-26高一上•湖南衡阳•期末）幕函数y=/（M过点，，乎），夕（与凶），。（孙必）是其图象上任意两

点（工心七）.则下列结论错•误•的是（）

A.%/(%)<2公2)--------->-----------

Cf(-+♦)>"%)十/(8)D一+修)./(凡)十/(占)

【答案】D

【分析】设/。）=/，根据暴函数所过的点求出了（X）的解析式，进而逐项判断即可;

【详解】因为〃力是募函数,可设“力=》;

因为幕函数/（X）的图象经过点'，乎］

所以¥=（｛f，即2段=23，解得：«=P

所以/"）=4，定义域为

对于A,设式］）=泣”）=4/^=j，定义域为［。，也），因为?＞。，

所以g（x）在（。，转）上单调递增，

若0"＜々，则有g（芭）＜g（8）,即％/（%）＜%2/（工2），故A正确;

对于B,设心）=回=也=4=熄，定义域为（0.3）,因为-〈＜0,

XXy/x2

所以g）在（0，a）上单调递减,

16

若。则有版…必即等〉等,故B正确;

X+W△

对于CD,/（七工fg+fg)_«+

H2'22

%+占)_内+七/(Xl)+/(X2)y_X]+勺+2Jx/2

f2

2224

而西+々=M+S+N+O>\+x+lJx^

2，（工工9）等号不成立,

244

石+再)J/(X,)+/(X)Y

所以产一'，2

2Z2

＞。,如用口。,

又/

2

所以另1＞与匹，c对，D错,

故选：D

二、多选题

8.（25-26高一上•广东揭阳•阶段练习）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A.k％B.），二d

C.y=--D.），=x4

x

【答案】AB

【分析】根据幕函数和反比例函数的图象与性质依次判断可.

【详解】对于A,），=x为其定义域上的增函数，是奇函数，故A正确；

对于B,丁二炉为其定义域上的增函数，是奇函数，故B正确；

对于C,），=-：为奇函数，但只在（—,0）和（0,+。）上分别为增函数，

不足整个定义域上的增函数，故C错误；

对于D,/为偶函数，故D错误.

故选：AB.

9.（25-26高一上•全国•课后作业）下列关于事函数尸犬的性质，描述正确的有（）

A.当〃=-1时，函数在其定义域上为减函数B.当。=（）时，函数y=Y不是幕函数

C.当〃=2时，函数是偶函数D.当。=3时，函数与x轴有且只有一个交点

【答案】CD

17

【详解】第函数），=L在（F，。）和（。，+8）上是减函数，但是在定义域上不单调，故4错误；当。=。时，

X

函数产V是寻函数，故8错误；＞，=/是偶函数，故。正确；当〃=3时，函数为＞，=/,当），=。时，只

有唯一解汇=0,故。正确.

10.（25・26高一上•广东汕头•期末）已知累函数了（"的图像经过点（2,拒），则下列命题手曲的是（）

A.7（x）为非奇非偶函数

B./（x）的值域是（。,+8）

C.若。"＜三，贝IJ，（「）；/（*）＜/（岁）

D.g（x）=/（x+l）-/（x）在（0,+8）上单调递减

【答案】ACD

【分析】根据幕函数的定义，运用代入法，结合基函数的性质逐一判断即可.

【详解】由函数/（X）是事函数，设/（幻=/,又/*）的图像经过点（2.夜），

所以/（2）=2〃=0=2、」・a=g，即/（x）=%=4.

对于A,函数/（力的定义域为注口），不关于原点对称，所以函数“X）为非奇非偶函数，故A正确;

对于B,因为让0,所以）亚0,故B错误;

因为（）＜N＜W,所以〃*）：，（/）右-

对于C,

%+4+2y/^__芭_/+27^~：(北一右)<0，所以/(%)+/伍)</0*'

故C正确;

42~4-42121

对于D,(g(x)=/(x+l)-/(x)=x/7+T-Vx

由函数单调性的性质可知，函数g（x）=/（x+D-/*）是（。，内）上的减函数，故D正确,

故选：ACD

11.（25-26高一上•新疆巴音郭楞•期末）已知累函数/（"的图象经过点（24）,则下列判断正确的有（）

A./（X）在区间（0,+8）上为减函数B./（X）的值域为R

C.方程/（闪）=27的实数根为A±3D.|/（何为偶函数

【答案】AD

【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可；B选项，根据基函数的性质判断;

C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断.

18

【详解】由题意可设累函数/（x）=£,/（x）的图象经过点（24）,

贝IJ2a=：,解得。=—3,故/（”=<3,/（X）在9+00）上为减函数，故A正确；

O

/（X）的值域为（y,o）5ay），故B错误；

/（W）=27,则|x『=27,解得x=±；，故C错误；

|/（-A-）|=|/（x）|=|<\定义域为（―，0）5。，y），故/（x）为偶函数，故D正确.

故选：AD.

12.（25-26高一上•浙江嘉兴•期末）已知累函数/（"二产9为常数），则下列结论正确的是（）

A.函数的图象都经过点。，1）

B.若々=3,则/⑶=27

C.若夕=7,则函数/（M为偶函数

D.若函数"6的图象经过点（4.2）,则函数/（x）在其定义域上单调递减

【答案】AB

【分析】利用幕函数图象性质判断A；求出函数解析式判断BCD.

【详解】对于A,/（l）=lff=l,A正确;

对于B,当a=3时，〃”=丁,则/⑶=27,B正确；

对于C,当a=T时，,为奇函数，C错误；

-X,

对于D,若函数/（'）的图象经过点（4,2）,则〃力=五，函数/（刈在其定义域上单调递增，D错误.

故选：AB

三、填空题

13.（25-26高一上.湖南永州•阶段练习）已知幕函数.v=/'R〃?eN・）的图象关于），轴对称，且在（0.+。）

上是减函数.〃?的值为

【答案】1

【分析】根据事函数定义和函数单调性列出关于参数〃2的不等式和方程即可求解.

【详解】因为基函数产”-9在（0.位）上是减函数，

所以3加-9<0,所以〃?<3,因为所以〃?=1或2,

乂因为函数图象关于），轴对称，所以36-9是偶数，所以6=1.

19

故答案为：1

14.（25-26高一上•江苏宿迁•期末）已知幕函数/（%）=/图象经过点，,；），则函数的增区问

为.

【答案】（YO,0）

【分析】直接代入即可求出。=-2,则得到其增区间.

【详解】由题意得;=2%则。=-2,则/（刈=/,

则其增区间为（fO）.

故答案为:（-oo,0）.

15.（25-26高一上・山东聊城・期末）己知点0（0,0）,4（-1,-1）,若。4这两点中有且只有一点在幕函数“力

的图象上，则/（x）的解析式可以为.（写出一个满足条件的“力的解析式即可）

【答案】1（答案不唯一）

X

【分析】根据题意，由常见幕函数的图象与性质即可求解.

【详解】由点0（0,0）,A（T-1）,且。,A这两点中有且只有一点在基函数的图象上，

可取募函数/（x）=L

X

验证如下：点。（0,0）不在函数/（《）=’图象上，点A（T-l）在函数/（1）=,图象上，且函数/（"=’为

X

室函数，满足题意.

故答案为：-（答案不唯一）

X

16.（25-26高一上•江苏无锡•期末）已知某函数f（x）=.「2（〃2GN）的图象关于原点对称，且在（。,+<»）上

单调递减，若,唱>（1一2〃）/，则实数。的取值范围是________.

【答案】［。，£|

【分析】先根据事函数的性质求出，"的值，再根据密函数的单调性解不等式即可.

【详解】因为密函数7"）=/一2（川tN）的图象关于原点对称，且在（0,〜）上单调递减，

所以〃L2<0旦-2为奇数，

又帆eN,所以m=1,

则〃音>（1-2a/，即为/》（—a/，

因为函数）,=不；的定义域为（。，2）且为减函数，

20

a>0

所以,l-2a>0,解得（）<〃<；,

a<\-2a

所以实数〃的取值范围是（of）.

故答案为：（o，J.

四、解答题

17.（25-26高一上.陕西安康.期末）已知幕函数小）=,+。+；卜+〃-1的定义域为［0.*）.

⑴求的值；

（2）判断）⑴在［（），+"）上的单调性，并用定义法进行证明.

【答案】⑴,

⑵/5）在［0，+⑹上单调递增，证明见解析

，1=11

【分析】（1）由己知可得,求解结合定义域可得"==5,可求〃+以

1=0b=\

（2）f（x）在［0,+。）上单调递增，利用单调性的定义证明即可.

【详解】⑴因为/“）=卜卜+〃_|是幕函数，所以“+a+a

［7［b-\=0

13

解得“或…”

b=1b=1

当累函数/"）=）的定义域为［。，+8）,符合题意；

=_3

当"二一5,基函数”》）=/的定义域为（0,+8）,不符合题意；

b=\

所以2,所以〃+〃=（

b=\一

（2）“力在［0,+在上单调递增,理由如下:

由（1）可得/（%）=£=«,

%,”[0,+8）且％</，