带电粒子在有界匀强磁场中的运动（习题）

带电粒子在有界匀强磁场中的运动

【题型1圆形匀强磁场区域问题】

【例1】如图所示，水平虚线A4和CC间距为L,中间存在着方向向右且与虚线平行的匀强

电场，CC的下侧存在一半径为R的圆形磁场区域，磁场方向垂直纸面向外(图中未画出)，

圆形磁场与边界CC相切于点M。一质量为〃?、带电量为q(q>0)的粒子由电场上边界4V上

的S点以初速度如垂直射入电场，一段时间后从M点离开电场进入磁场，粒子进入磁场的

速度大小为血%，且其运动轨迹恰好过圆形磁场的圆心粒子所受重力忽略不计，求：

(1)电场强度E的大小；

(2)圆形磁场区域磁感应强度B的大小。

答案ofQ卷

解析(1)粒子在整个过程的运动轨迹，如图所示。

s

粒子在电场从S到M做类平抛运动，在垂直于电场方向

L

粒子在M点沿着电场方向速度5=7（小伙））2一魂=的

所以粒子沿着电场方向的位移J=yX/,=y

粒子从S点到M点，由硬能定理

qEd=%i（pVo）2—%?干3

解得E=%

（2）设粒子在M处的速度与电场方向夹角为〃，则

.八%

解得9=45。

所以三角形为等腰直角三角形，设带电粒子做匀速圆周运动的半径为ro

由几何关系得r=^R

由牛顿第二定律qB（yf2v（））=m'币：，

解得"鬻

【变式1-1J如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面）磁感应强度大小

为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为贝，/＞（））、质量为，〃的粒子沿平行于直径的方向

从c点射入磁场区域，射入点c与ab的距离为加;也当已知粒子射出磁场与射入磁场时

运动方向间的夹角为60。，则粒子的速率为（不计粒子重力，已知sin15。=写盅）（）

aq

*7

巾qBR

2m

(乖一6脚

•D逑

［解析］粒子带正电，根据左手定则，判断出粒子受到的洛伦兹力向右，轨迹如图所示,

b

-****•f•丁

由射入点c与ab的距离为YJ-R,可知NCOI〃=15°,由速度的偏转角为60°,可知NcQOi

=30°,在△°。2。1,由正弦定理得，枕迹半径广=小七由一丁，解得Q：n,B

正确，A、C、D错误。

［答案IB

【变式1-2］在如图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R=0.2m的圆形匀强磁场区域,,

磁感应强度B=1.0T,方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与y坐标轴相切于原点O

点。y轴右侧存在一个匀强电场，方向沿)，轴正方向，电场区域宽度/=0.1m。现从坐标为(一

0.2m,-0.2m)的P点发射出质量阳=2.0乂10-9kg、带电荷量夕=5.0X10-5C的带正电粒

子，沿)，轴正方向射入匀强磁场，速度大小为=5.0Xl"m/s(粒子重力不计)。

⑴带电粒子从坐标为(0.1m,0.()5m)的点射出电场，求该电场强度的大小；

(2)为了使该带电粒子能从坐标为(0.1m,-0.05m)的点回到电场，可在紧邻电场的右侧区域

内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和方向。

［解析］(1)带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有：qv0B=nry

可得：r=-^=0.20m=/?

qB

根据几何关系可以知道，带电粒子恰从。点沿X轴正方向进入电场，带电粒子做类平抛运

动，设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为)，

根据类平抛规律可得：/=%/,丁=；〃户

根据牛顿第二定律可得：Eq=ma

联立可得：E=-^2：=1.0X104N/CO

3

(2)粒子飞离电场时，沿电场方向速度：vy=at=-^--=5.0XIOnVs=i；o

粒子射出电场时速度大小v=y［2vo,方向与4轴正方向夫角为45°偏向右上方

根据左手定则可知所加磁场方向垂直纸面向外，根据几何关系可知，粒子在区域磁场中

做圆周运动半径/=6，

根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB'=〃丁

联工可得所加勺强磁场的磁感应强度大小R'=彳一=41。

［答案］(l)1.0X104N/C(2)4T,方向垂直纸面向外

【变式1-3】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和3。的同轴圆柱面，磁

场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为P的电子从圆心沿半径方向进入磁

场。已知电子质量为加，电荷量为。，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围

成的区域内，磁场的磁感应强度最小为()

3mv

A.o2-ae

八3；mv

c.-4—ae

答案C

解析为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周

运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为心圆心为M,磁场的磁感应强度最小为

B,由几何关系有1嗜+。2+/*=3。,解得电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有绮4=

吟:,解得8=答，选项C正确。

【例2】（多选）空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束

由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们

的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正

确的是（）

A.入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同

B.入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同

C在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同

D.在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角•定越大

解析由7=整可知，粒子的运动周期与粒子的速度无关，若入射速度不同的粒子从左边

界飞出，则粒子的偏转角相同，运动时间相同，A、C错误；由〃=拓可知，入射速度相同

的粒子运动轨迹相同，B正确；由粒子的运动时间，=彘7可知，D正确。

，兀

答案BD

【变式2-1】如图，边长为/的正方形内存在匀强磁场，磁感应强度大小为8、方向垂

直于纸面（"4所在平面）向外。时边中点有一电子发射源0,可向磁场内沿垂直于"边的

方向发射电子。已知电子的比荷为鼠则从〃、”两点射出的电子的速度大小分别为（）

答案B

解析若电子从"点射出，运动轨迹如图线①,

若电子从d点射出，运动轨迹如图线②,

由几何关系得婚=（々—§+尸,

整理得口=?

.o就出qBva5qBl5kBi比后~c次

由的消=〃£得。4二七丁二宝-二-5-，选项B正确。

【变式2-2】如图所示，4?CQ为一正方形区域，一带电粒子以速度。。从A4边的中点。，

沿纸面垂直于人B边的方向射入“若该区域充满平行于A8边的匀强电场，该粒子经时间a

以速度功从。点射出；若该区域充满垂直纸面的匀强磁场，该粒子经时间尬以速度内从。

点射出，不计粒子重力，则（）

人............；c

6\——-

B[............"D

A.。1>为，Z|</2B.V]>V2>t\>t2

C.V[<V2tt\<t2D.V\<V2tt\>t2

[解析]设正方形的边长为L,当区域内为电场时，则粒子做类平抛运动，平行于AC方向

为匀速直线运动，运动时间为人=上，垂直AC方向为勺加速直线运动，有友解得

VQLJ2.

Vy=Vo,所以5=7的2+=正如,当区域内为磁场时，洛伦兹力不做功，则。2=00,设轨

（厂—区）’24

道半径为r,则有r=L2+'2解得「=彳£,根据卯（）3=”皆~,解得8=意三，所以

L

8则53°X

5-O.-

Tr23600

ti

正确。

【变式23］如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形以区域内，O点是“

边的中点.一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下，从。点沿纸面以垂直于cd边的速度

射入正方形内，经过时间扣后刚好从。点射出磁场.现设法使该带电粒子从。点沿纸面以

与Od成30。角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（）

A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是全o,则它一定从cd边射出磁场

B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是10,则它一定从4d边射出磁场

C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是/°，则它一定从次边射出磁场

D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是/o,则它一定从时边射出磁场

答案AC

解析如图所示，作出刚好从必边射出的轨迹①、刚好从加边射出的轨迹②、从cd边射

出的酰迹③和刚好从加边射出的轨迹④.由从O点沿纸而以垂直于cd边的速度射入正方形

内，经过时间M后刚好从。点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是力°.可

知，从边射出磁场经历的时间一定小于/o；从m边射出磁场经历的时间一定大于等于！

也小于，；从左边射出磁场经历的时间一定大于等于脑小于为从cd边射出磁场经历

的时间一定是*o.

【题型3三角形磁场区域问题】

【例3】如图所示，边长为L的等边三角形A8C内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三

角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为心顶点A处有一粒子源，粒

子源能沿NBAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为〃h电荷量均为+/不计

粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度如为哪一值时粒子能通过B点（）

答案D

解析粒子带正电，且经过8点，其可能的轨迹如图所示。

^IxxQ^xxxxXXX

所有圆弧所对圆心角均为60。，所以粒子运行半径r=5s=l,2,3,…），粒子在磁场中做

圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得小心=〃。，解得。=警=鬻（〃=1,

2,3,…），由此可知，。=鬻的粒子能通过4点，故A、B、C不符合题意，D符合题意。

【变式3-1】如图所示，为与匀强磁场垂直的边长为。的等边三角形，比荷为5的电

子以速度加从4点沿八8边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度8的取值为（）

••C•・

A：AA\：B

•L••」•

a

A.应B.8<驷

aeae

yl3mvoyj3mvo

C.B>XD.B<X

aeae

a

2

［解析］由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径要

a

想电子从8c边经过，电子做圆周运动的半径要大于忑由带电粒子在磁场中运动的公式r

mv一,行cirnvo,yi3invo.

=/可得了＜/即D正确。

【变式3-2】如图所示，边长为七的等边二角形区域AC。内、外的匀强磁场的磁感应强度

大小均为反方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿NA的角平

分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有

质子均能通过。点，已知质子的比荷*=鼠则质子的速度不可能为（）

**A**

・•，小・・B.

./X\、

・产x大、・・

,d*..K.?£.Xn

A.B.BkL

出BkL

・2Lx•8

解析：选c质子的运动祝迹如图所示，

由几何关系可得2〃Kcos600=L（n=1,2,3,…），由洛伦兹力提供向心力，则有氏叩=〃/，

联立解得。=誓=华，A、B、D正确，C错误。

【变式3-3】如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁

场的磁感应强度大小为B。一质量为〃八电荷量为q的带正电粒子（重力不计）以速度V从AC

边的中点。垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L,要使粒子从CO边

射出，则。的取值范围为！）

qBL一^2y[2qBLqBL^5qBL

A・KBK'W%

ar（啦+1）qBLn加「「5血

答案C

解析根据洛伦兹力提供向心力可知，。=警，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可

知,使粒子轨迹与A。边相切时速度最大，如图，则有AO'sin45。=。£,即S+L）sin45°

=n,解得最大半径为八=（陋+1比，故最大速度为一=（"9）当粒子从C点出

射时，半径最小，为「2=与，故最小速度为V2=瞭,则。的取值范围为嗡1

）’吗故C正确，A、B,D错误。

【题型4平行边界磁场区域问题】

【例4】CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称,CT扫描机可用于对多种病情的探测。

图⑶是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中

M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始

沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电

子束打到靶上的点记为。点。则（）

(b)

A.M处的电势高于N处的电势

B.增大M、N之间的加速电压可使尸点左移

C.偏转磁场的方向垂直于纸面向外

D.增大偏转磁场磁感应强麦的大小可使P点左移

答案D

解析电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故选项A错

误；由左手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用

1

动能定理有eU—设电子在磁场中运动¥径为八由洛伦兹力提供向心力有eoB—

则电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方

向的夹角。满足sin夕=§（其中d为磁场宽度），联立可得sin可见增大U会

使。减小，电子在靶上的落点P右移，增大8可使。增大，电子在靶上的落点尸左移，故

选项B错误，D正确。

【变式4-1】矩形区域。灰4（包括边界）充满磁感应强度为8、方向垂直纸面向里的匀强磁场。

现从cd边中点O处，以垂直磁场且跟边成30c角的速度射入•带电粒了.。已知粒了质量

为〃?、电荷量为/ad边长为L不计粒子重力。

⑴若要粒子从"边上射出，则入射速度加的大小范围是多少？（时边足够长）

（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

解析⑴若粒子速度为次,由如）8=/端得笈=^^

若轨迹与出＞边相切，如图所示，设此时相应速度为如1，则

Ri+Rsin

将~=篝代入上式可得如】=喘

若轨迹与cd边相切，如图所示，设此时粒子速度为。02，则

/?2—/?2sin

02代入上式可得如，=吟

将心=

所以粒子能从R?边上射出磁场的入射速度的的大小应满足嗡1<ooW誉。

⑵设粒子入射速度为。，在磁场中经过的弧所对的圆心角为a,则/=等=滞，则a越大，

在磁场中运动的时间也越长，由图可知，粒子在磁场中运动的半径时，运动时间最长,

弧所对的圆心角为（2兀-26）。

所以粒子在磁场中运动的最长时间为

（2兀-22）5兀，〃

Z=qB=3qB°

答案（1曙<&W典⑵翌

v73〃？m，3qB

【变式4-2】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为4,宽度为4,边界为C。和石凡一电子

从C。边界外侧以速率如垂直射入匀强磁场，入射方向与C。边界间夹角为仇已知电子的

质量为〃?，电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧E/7射出，求：

［）IXXXIp

⑴电子的速率加至少多大？

⑵若夕角可取任意值，%的最小值是多少？

解析本题考查圆周运动的边界问题的求解方法。（1）当入射速率次）很小时，电子会在磁场

中转动一段圆瓠后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与石”相切

时，电子恰好不能从E尸射出，如图所示，电子恰好射出时，由几何知识可得：r+nx）se=

d®

mu。4

又『京®

由①@得如=「骄心③

m(1+cos0)

故电子要射出磁场，速率至少应为(。

m(I十cos(1)

(2)由③式可知，0=0。时，的=誓最小，由②式知此时半径最小，，n1in=*也可由轨迹分析

得出上述结论。

答案⑴,”“豫S0)嗯

【变式4-3］如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d,方向垂

直纸面向里。一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度如送入磁场。若电子在磁场中运动的轨

道半径为2d。0'在MN上，且O。'与MN垂直。下列判断正确的是()

A.电子将向右偏转

B.电子打在MN上的点与。’点的距离为d

C.电子打在MN上的点与。’点的距离为小d

D.电子在磁场中运动的时间为黑

解析：选D电子带负电，进入磁场后，根据左手定则判断可知，所受的洛伦兹力方向向左,

电子将向左偏转，如图所示，

A错误；设电子打在MN上的点与0'点的距离为工，则由几何知识得：x=r—3^7=2d

一、(2")2一淤=(2_小)乩故B、C错误；设轨迹对应的圆心角为伍由几何知识得：sin0

=痣=0.5,得，则电子在磁场中运动的时间为/=生=黑，故D正确。

乙ao即"o

【题型5半圆形磁场区域问题】

【例3】如图所示，长方形abed长〃d=0.6in,宽帅=0.3m,()、e分别是ad、be的中点,

以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界二无磁场），磁感应强度8=0.25To

一群不计重力、质量加=3XI。—，kg、电荷量q=+2XK）—3c的带电粒子以速度。=5X10?

m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则（）

A.从。d边射入的粒子,出射点全部分布在。。边

B.从边射入的粒子，出射点全部分布在岫边

C.从04边射入的粒子，出射点分布在。〃边和时边

D.从〃。边射入的粒子，出射点分布在油边和床边

［解析］由「=篝得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3m,从Od边射入的粒子，出

射点分布在和〃e边：从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和〃*边：选项D正确。

［答案ID

【变式5-1】如图所示，在xQy平面内，有一以。为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域,

磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为从位于O点的粒子源向第二象限内的各

个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。粒子的速率相等,

质量为〃?、电荷量大小为小粒子重力及粒子间的相互化用均不计。

y

.,夕“X

彳xnx

xxxxx

jxXx'；

O

⑴若粒子带负电，求粒子的速率。应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间Z:

（2）若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。

1^-

解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：qvB=r咛

由几何关系有：

联立得“W臂

粒子在磁场中做圆周运动的周期：丁二缥

qB

由粒子在磁场中运动的就迹可得，沿），轴正向射入磁场中的粒子在磁场中运动时间最短，则：

T

r=2

_7un

联立可得:=凝

(2)分析可得，粒子在磁场中能经过的区域为半圆，如图中阴影部分,

有几何关系可得该半圆的半径：

r=；R

面积：S=^7tr'2

联立可得：S=/IR2。

馨案：(1»£蜜端⑵上辩

【变式5-2】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布

在以直径4乂4为边界的两个半圆形区域I、H中，4认4与44的夹角为60。.一质量为〃?、

电荷量为+4的粒子以某一速度从【区的边缘点Ai处沿与A4成30。角的方向射入磁场，

随后该粒子沿垂直于zh/ti的方向经过圆心。进入II区，最后再从4处射出磁场.已知该粒

子从射入到射出磁场所用的时间为/,求：

—依

⑴画出粒子在磁场I和n中的运动轨迹；

⑵粒子在磁场【和II中的轨迹半径R和R2的比值；

(3)I区和II区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力).

答案见解析

解析(1)画出粒子在磁场I和II中的运动轨迹如图所示.

(2)设粒子的入射速度为口已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针

做圆周运动，最后从A4点射出，用囱、B2,RI、R2,。、一分别表示在磁场I、II区的磁

感应强度、就迹半径和周期.

设圆形区域的半径为r,已知带电粒子过圆心且垂直AM」进入II区磁场，连接4A2,△40/

为等边三角形，4为带电粒子在【区磁场中运动航迹的圆心，其半径R1=A|A2=OA2=「

粒子在II区磁场中运动的轨迹半径&=彳

脸=2：I

V2

(3)qvBi="n

v2

qvB2=ffrj^

2nR\2nm

T'=~=^T

2n/?22nm

T2=~=^

圆心角NAA2O=60。，带电粒子在I区磁场中运动的时间为/I=1TI

在II区磁场中运动的时间为/2=172

带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间r=n+/2

由以上各式可得

»

BL6q1

R_汕

以一3m

R

【变式5-3】匀强磁场区域由一个半径为R的半圆和一个长为2R、宽为微的矩形组成，磁场

的方向如图所示.一束质量为加、电荷量为+q的粒子(粒子间的相互作用和重力均不计)以

速度v从边界AN的中点P垂直于AN和磁场方向射入磁场中.问：

(1)当磁感应强度为多大时，粒子恰好从A点射出？

(2)对应于粒子可能射出的各段磁场边界，磁感应强度应满足什么条件？

答案⑴篝(2)见解析

解析(1)由左手定则判定，粒子向左偏转，只能从R1、AC和CQ三段边界射出，如图所示.当

粒子从A点射出时，运动半径？■尸与

由qB\V=—

92加

何B产谪

5

（2）当粒子从C点射出时，由勾股定理得：（穴一厂2）2+（畀=[解得F

.cmv22八8〃/

由夕3。=-^，得&=丽

据粒子在磁场中运动半径随磁场减弱而增大，可以判断

当Q繁时，粒子从小段射出；

,2nruSnrv,，〜，,

当欣时,粒子从4c段射A1出；

当B点写时,粒子从C。段射出.

【题型6其他形状的磁场区域问题】

【例6】（多选）如图所示，在。町平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大

小为8的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与），轴正方向的夹角

9=45。。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量

为q,质量为机，重力不计。则（）

A.粒子带负电荷

B.粒子速度大小为甯

C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a

D.N与0点相距（陋+1）“

答案AD

解析由左手定则可知，带电粒子带负电荷，A正确；做出粒子的轨迹示意图如图所示，假

设轨迹的圆心为。1则由几何关系得粒子的轨道半径为/?=也〃，则由wB="点得。=誓

=耍地，B、C错误；由以上分析可知，ON=R+a=m+l）a,D正确。

【变式6-1】如图所示，正六边形He何区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子

从/点沿向方向射入磁场区域,当速度大小为加时，从人点离开磁场,在磁场中运动的时

间为力,当速度大小为〃时，从C点离开磁场，在磁场中运动的时间为人