2027高考数学复习：立体几何中的探索性问题（学生版）

专题09立体几何中的探索性问题

【方法总结】

解决立体几何中的探索性问题的途径

解决探索性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果匕发，寻找使这个结论成立的充分条件，如

果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而

对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.

考点一探究平行问题【例踵选讲】

|例1](2018.全国IH)如图，矩形44CO所在平面与半圆弧PD所在平面垂直，"是M上异于C,。的

(1)证明：平面4MO_L平面8MC.

(2)在线段AM上是否存在点尸，使得MC〃平面P8。？说明理由.

[例2](2019•北京)如图，在四棱锥P-A8C。中，必_1,平面4BCO,底面A8C。为菱形，E为CQ的中

点.

(I)求证：平面网C；

(2)若NABC=60。，求证：平面%81.平面%E；

(3)棱P8上是否存在点凡使得C/〃平面%E?说明理由.

[例3](2016•北京)如图，在四棱锥夕一A8C。中，PCJ_平面ABC。，AB//DC,DCA-AC.

(1)求证：OC_L平面％C.

⑵求证：平面以8_L平面E4c.

(3)设点£为A4的中点，在棱。8上是否存在点凡使得用〃平面CEF?说明理由.

[例4](2014.四川)在如图所示的多面体中，四边形司ACGAi都为矩形.

(1)若ACL5a证明:直线BCL平面ACGAi；

(2)设短，E分别是线段BC,CG的中点，在线段AB上是否存在一点M,使直线。E〃平面4MC?

请证明你的结论.

［例5］如图，在四棱锥P—ABC。中，△附。为正三角形，平面以。平面A8CD,AB//CD,ABLAD,

CD=2AB=2AD=4.

⑴求证：平面PCZ)J_平面用£＞；

(2)求三棱锥P—ABC的体积；

(3)在棱PC上是否存在点E,使得BE〃平面外。？若存在，请确定点E的位置并证明；若不存在,

请说明理由.

［例6］如图1,已知菱形4EC。的对角线AC,DE交于点凡点E为4B中点.将△AOE沿线段。七折

起到的位置，如图2所示.

(1)求证：PCF,

(2)求证：平面尸BCJ_平面尸CF；

(3)在线段PD,上是否分别存在点M,N,使得平面CFM〃平面PEN?若存在，请指出点M,N

的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

图1图2

【对点训练】

1.（2016•四川）如图，在四棱锥产一A8CO中，M±CD,AD//BC,/AOC=/%8=9（T,BC=CD=^AD

⑴在平面办。内找一点例，使得直线CM〃平面以3,并说明理由:

(2)证明：平面布8_L平面户8D.

2.如图，在四棱锥产一A8CO中，底面A8c。为梯形，AB//CD,ABLBC,AB=2,PA=PD=CD=BC

=1,面以。J/liiABC。，E为A。的中点.

(1)求证:B41BD；

(2)在线段4B上是否存在一点G,使得8c〃面PEG?若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理

由.

3.如图，在四棱锥?一ABCD中，PDl^ABCD,底面ABCD为正方形，BC=PD=2,E为PC的中点，

CB=3CG.

(I)求证：PC15C；

(2)4。边上是否存在一点M,使得阳〃平面MEG?若存在，求出4M的长；若不存在，请说明理由.

4.在四棱锥。一A8CD中，底面人BCO是边长为6的菱形，且48C=6()。，FJ_平面4BCQ,%=6,F

是棱以上的一动点，石为。。的中点.

(1)求证：平面6。hL平面AC"：

(2)若AF=2,侧面以。内是否存在过点£的一条直线，使得直线上任一点"都有CM〃平面以加，若

存在，给出证明；若不存在，请说明理由.

5.如图，四棱锥P—4BC。中，2。_1平面48。。，底面ABC。为矩形，PD=DC=4,AD=2,七为PC的

中点.

(I)求三棱锥A—PDE的体积；

(2)AC边上是否存在一点M,使得孙〃平面E0M?若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

p

E

6.如图，在四棱锥S—ABC。中.己知底面A8CO为直角梯形，其中AO〃8C,ZBAD=900.SA_L底面

2

ABCD,SA=AB=BC=2.tanNS£>4=§.

(1)求四棱锥S-ABCD的体积；

(2)在棱S。上找一点E,使CE〃平面SA8,并证明.

7.如图，四棱锥尸一ABC。的底曲ABC。是圆内接四边形(记此圆为W),且以_L平面A8CD.

(1)当是圆W的直径时，PA=BD=2,AO=CO=小，求四棱锥P-48co的体积.

(2)在(1)的条件下，判断在棱用上是否存在一点Q,使得〃平面PC。？若存在，求出八。的长;若

不存在，请说明理由.

8.如图，在四棱锥尸一4BCQ中，AB//CD,AB=2CD,E为PB的中点.

(1)求证：CE〃平面布。；

(2)在线段48上是否存在一点F,使得平面陶。〃平面CEF?若存在，证明你的结论，若不存在,请

说明理由.

9.如图，在直四棱柱A8CQ—A8G。中，已知。C=OD|=2AQ=2A8,ADVDC,AB//DC.

(1)求证:DiClACi；

(2)问在棱C。上是否存在点£,使AE〃平面480.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.

10.如图，在多面体A/6CQEF中，四边形ABC。是梯形，AB//CD,

边形人CFE是矩形，且平面ACFE_L平面人8C。，点M在线段E尸上.

(1)求证：6C_L平面AC厂£：

(2)当EM为何值时，AM〃平面BDF?证明你的结论.

II.如图1,在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，将△4OE沿AE折起，得到如图2所示

的四棱锥Di—ABCE,其中平面。iA£L平面4BCE.

(I)证明：8E_L平面。NE；

(2)设尸为的中点，在线段上是否存在一点M,使得M尸〃平面小AE,若存在，求出嘿的值;

若不存在，请说明理由.

图1图2

12.如图(1),在正△ABC中，E,尸分别是AB,AC边上的点，且8E=A/=2。尸.点尸为边8c上的点,

将△?1防沿£尸折起到的位置，使平面4M_L平面8EFC,连接48,A0ER如图⑵所示.

⑴求证:AiElFP；

(2)若BP=BE,点、K为棱4F的中点，则在平面A}FP上是否存在过点K的直线与平面A,BE平行，

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.

⑴⑵

考点二探究垂直问题【例题选讲】

［例1］如图所示，平面A8CD_L平面8CE,四边形A8C。为矩形，BC=CE,点F为CE的中点.

(1)证明：AE〃平面8OF；

(2)点M为CP上任意一点，在线段AE上是否存在点P,使得/M_L5E?若存在，确定点尸的位置,

并加以证明；若不存在，请说明理由.

［例2］在四棱锥E—48C。中，底面48CZ)是正方形，AC与8。交于点。，ECL底面ABC。，点尸为

BE的中点.

(1)求证：DE〃平面Ab；

(2)若AB=^CE,在线段正。上是否存在点G,使CGL平面BDE?若存在，求出胎的值；若不存在，

请说明理由.

［例3］如图(1),在Ri^/WC口，ZC=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点尸为线段CO上的一点,

将△人。E沿QE折起到△人1OE的位置，使AiF_LCO,如图(2).

(1)求证：DE〃平面4C以

(2)求证：A|F_L8E：

(3)线段上是否存在点。，使4CJ_平面。EQ?请说明理由.

［例4］如图，在三棱柱ABC-4BC中，侧棱底面ABC，M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,

AA］=yj2.

(I)求证：BC〃平面48M；

(2)求证：AG_L平面4BM；

RN

(3)在棱8反上是否存在点M使得平面AGN_L平面AAGC?如果存在，求此时函的值；如果不存

在，请说明理由.

G

A

【对点训练】

1.如图，三棱锥尸一4BC中，出，平面ABC,PA=\,AB=\,AC=2,ZBAC=60°.

(1)求三棱锥P-A8C的体积；

(2)在线段PC上是否存在点M,使得4C_LBM,若存在，请说明理由，并求P忧M的值.

匕

B

2.如图所示，已知长方体4笈点Oi为95的中点.

(1)求证：A8]〃平面AO。；

(2)若48=枭41,在线段83上是否存在点E使得ACLAE?若存在，求出靛；若不存在，说明理

由.

3.如图，已知三棱柱48C—AE。的侧棱垂直于底面，AB=AC,N8AC=90。，点M,N分别为48和夕C

的中点.

(1)证明：MN〃平面/WCC；

(2)设人当2为何值时，CN_L平面AMN,试证明你的结论.

4.如图，在四棱锥P—ABCO中，A8CO是正方形，户。_1平面从8。。.PD=AB=2,E,F,G分别是PC,

PD,BC的中点.

(1)求证：平面以4〃平面£"G；

(2)在线段PB上确定一点。，使PC_L平面AOQ,并给出证明.

6.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCQ是/D48=60°巨边长为4的菱形，侧面力。为正三角形,

其所在平面垂直于底面48c。，若G为4。的中点.

(1)求证：4G_L平面以D；

(2)求证：ADLPBx

(3)若E为8C边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面。E/_L平面A8CD?并证明你的结论.

7.如图，四棱锥P一人8CQ中，底面人8C。是边长为2的菱形，ZBAD=y,△外。是等边三角形，F

为4。的中点，PDVBF.

(1)求证：ADLPB；

(2)若E在线段8c上，且EC=［BC,能否在棱尸C上找到一点G,使平面。EG_L平面A8C。？若存在,

求出三棱锥。一CEG的体积；若不存在，请说明理由.

8.如图，在四棱锥产一44CO中，PC=AD=CD=^AB=2,AB//DC,ADLCD,PC_L平面人BCD.

⑴求证：4cL平面力C：

⑵若M为线段%的中点，且过C,。，M三点的平面与线段交于点N,确定点N的位置，说明理

由；并求三棱锥A—CMN的高.

考点三探究距离与体积问题【例题选讲】

［例1］如图所示，圆柱的高为2,点A,B,C,。分别是圆柱下底面圆周上的点，ABC。为矩形，PA

是圆柱的母线，AB=2,3c=4,E,F,G分别是线段以，PD,C。的中点.

(1)求证：平