2027高考数学总复习：直线和圆

第八章平面解析几何

8.1直线和园

考点1直线和圆的方程

1.★★（2022全国甲文,14,5分）设点加在直线2x+y-l=0上，点G,。）和（0』）均在。"上，则

的方程为_____________.

答案（X・1）2+6H）2=5

2★★★（2022全国乙，文15,理14,5分）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方

程为____________________.

答案（x-2）21（户3尸=13或（x・2）21（y-1）2=5或（%—§+（＞—：）=竽或（，—5）16

I尸喈（写出一个即可）

1.★（2026届湖南长沙长郡中学开学检测,3）已知直线/iZW+（Q+2）尸*2=0与，2："。酎1=0平

行,则实数。的值为（）

A.-1或2B.0或2C.2D.-1

答案D

2力虫2025届重庆部分学校联考,5）已知直线/i：x+y+C=0与直线/2：4什为什。=0均过点

（I1）,则原点到直线，2距离的最大值为（）

A.V2B.lC.yD.1

答案A

3.**（2026届浙江杭州一模,7）若圆C经过/（1』）方（2厂2）,圆心在直线x-尸4=0上，则圆C

的面积为（）

A.16兀B.257tC.36兀D.49兀

答案B

4.★★★（2025届河北衡水中学开学考,6）点P（-2,-1）到直线/:（1+3小+（l+2）j，-24l=0awR）的

距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.V13,3X+2F-5=0B.VH,3/2），・5=0

C.V13,2x-3y4-1=0D.VH,2r-3>1=0

答案A

5.***（2026届广东八校联盟质检,7）尸是圆（x-q）2+Q_02=］上的动点©是直线y=x-2上

的动点，则|?。|的最小值为（）

A.V2-1B.V2C.苧-1D.等

答案C

6.★★★★（2026届湖北武汉质检,8）实数。力，G"满足”=岸+炉=2厕（a-c）2+0-力2的最小值

为（）

A.3-2V2B.6-4&C.2-&D.2+&

答案B

^★★★★（2025届山东德州开学考,8）已知点4为直线3/4），-7=0上一动点，点8（4,0）,且

尸（x,y）满足/+/+、-2=0,贝!3|4P|+|8P|的最小值为（）

A67=1321

A5KD5CTDn-T

答案D

8.★★（2026届四川广安联考,12）过直线x-2.v+l=0与3x-y-2=0的交点，且垂直于直线x-

尹1=0的直线方程是.

答案x+y-2=0

9.★★（2026届河北邢台名校开学联考』2）与圆x2+^2-2v=0关于直线.尸x对称的圆的标准

方程为.

答案（x-l）2+/=l

"★★（2026届上海交大附中月考,9）在直角坐标平面X。），内有一直角△4BCC=5顶点/

的坐标为（2,1）,8C所在直线方程为2x+yH=0,则顶点C的坐标为_______.

答案|-5|-|）

”.★★★（2026届江苏如皋中学阶段测试/5）己知圆C经过点力（2,-1）,与直线xt尸1相切，

且圆心在宜线产・2t上.

⑴求圆C的方程；

⑵已知直线/经过原点，并且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

解析⑴设圆心为。（〃「2力

则J（a—2）2+（_2a+l）2=吟=

化简，得。20+1=0,解得川=42=1.

所以。（1广2）泮径片整=或.

因此圆。的方程为（x-l）2+（y+2）2=2.

⑵①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,此时直线/被圆C截得的弦长为2,满

足条件.

②当直线/的斜率存在时，设直线I的方程为.尸区，

由题意得等;1,解得公弓

J1+N4

・'.直线/的方程为产序,即3x+4y=0.综上，直线/的方程为尸0或3x+4y=0.

考点2直线和圆.圆和圆的位置关系

1.★★（2023新课标I65分）过点（0,-2）与圆f+V-4x-l=0相切的两条直线的夹角为火则

sina=（）

A.lB.—C.—D.—

444

答案B

2.★★（2021北京,9,4分）已知直线）=云+加（〃i为常数）与圆x2+/=4交于点当“变化时,

若|MN|的最小值为2,则〃尸（）

A.±lB+V2C+V3D+2

答案C

3d虫2025全国一卷75分）已知圆工2+（叶2）2=户（厂＞0）上到直线尸恁+2的距离为1的点

有且仅有两个，则厂的取值范围是（）

A.（OJ）B.（1,3）C.（3,+oo）D.（0,+8）

答案B

4.★★★（2023全国乙文,11,5分）已知实数满足/+产4x-2广4=0厕x-y的最大值是

（）

A.1考B.4C.l+3V2D.7

答案C

5$支M2024全国甲理［2,5分）己知人是a,c的等差中项，直线办+/少+c=0与圆/力展+4广

1=0交于力行两点则|力。|的最小值为（）

A.lB.2C.4D.2V5

答案C

•★★★★（2023全国乙理,12,5分）已知OO的半径为1,直线PA与OO相切于点4直线

PB与OO交于B,C两点,D为BC的中点.若|尸。|=戈,则耳•丽的最大值为（）

A.i+yV2C.l+V2D.2+V2

答案A

7.★★★（多选）（2021新高考11,11,5分）已知直线l:ax+by-r=0与圆Cx2廿=产,点力则

下列说法正确的是（）

A.若点4在圆C上,则直线/与圆。相切

B.若点片在圆。内,则直线/与圆C相离

C.若点A在圆。外,则直线/与圆C相离

D.若点力在直线/匕则直线/与圆C相切

答案ABD

8.★★★（多选）（2021新高考I,11,5分）已知点尸在圆（『5尸+65尸=16上,点火4,0）4（02）,

则（）

A.点尸到直线43的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C当NPBA最小时,|尸8|=3加

D.当NPBA最大时,|PB|=3或

答案ACD

9.★（2022天津,12,5分）若直线片尸~加=0（加＞0）被圆（工-1）2-Q-l）2=3截得的弦长等于人则m

的值为.

答案2

10.**（2021天津,12,5分）若斜率为四的直线与y轴交于点4与圆/+"1）2=1相切于点

丛则|/用=.

答案V3

11.★★★（2023新课标II,15,5分）已知直线x-my+1=0与。。:（『1尸+产=4交于A.B两点写

出满足“△48C的面积为廿的机的一个值:.

答案2或-2或T或写出一个即可）

12.★★★（2022新高考I/4,5分）写出与圆x2+^2=l和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条声线

的方程:___________.

答案尸-1（或34+4广5=0或7x-24p-25=0）

^★★★（2022新高考H,15,5分）设点4（-2,3）方（0◎若直线48关于尸。对称的直线与圆

（什3）2+①2）-1有公共点则a的取值范围是.

答案图

心.★★★★★（2021全国甲，文21,理20,12分）抛物线Ct勺顶点为坐标原点O,焦点在x轴

上，直线/*=1交C于两点，且OP_LO。已知点M（2,0）,且。"与/相切.

⑴求COM的方程；

⑵设小,力2,43是C上的三个点,宜线小4,44均与。"相切.判断宜线4M3与O/W的位置

关系，并说明理由.

解析⑴由题意可设抛物线C的方程为产=2〃.@>0）,则尸，。的坐标为（1,士屈），

70P10Q,

：,OPOQ=\-2p=0,：.p=^,

・•・抛物线C的方程为Vr.

I0M的圆心为（2,0）,。"与直线x=l相切,・•・OM的半径为1,

/.0M的方程为（x-2）2+y2=i.

⑵直线4243与。M相切.理由如下：

设4必词4（久户）,4必必），

•・•直线力〃2,443均与。M相切，

.•.yoW±1办¥±1必#±1,

由小,力2的坐标可得直线出42的方程为“。嗡$W）,整理得、心0+6）炉/巾=0住于

直线小血与。M相切,・・・M到直线小力2的距离”12：叫1,整理得例-1）必+

Vi+（y&+yir

2yoy1+3-y20,①

同理可得,优"）遥+2yoy24-3-九=0.②

观察①②,得又必是关于y的一元二次方程找/厅+2泡升3M=0的两根,・•・

（yi+、2

3J（*）

加=行

同理,得直线4M3的方程为X-（n+j；2）,V+V1^2=0,

田I

则点”（2,0冽直线力"的距离d'一:，把（*）代入，得J"一".、=

Vi+(yi+y2)2

|2(y§-l)+3-y§|

22

J(y?-i)+(-2y0)

疑+11

Jy?+2/+1

，直线力M3与。M相切.

1.★（2026届江苏如皋中学阶段测试,2）已知直线/:外+2尹。+4=0与圆。:炉+卢必^力则直

线/与圆C的位置关系是（）

A.相离B相切C.相交D.不确定

答案C

2.★★（2025届江苏南京中华中学开学调研,5）设直线/：,壮叩-6=0和圆Cf+y24Ty=0相

交于MN两点，若丽•丽=0,则rn=（）

A.；11B53C，4D.l

424

答案C

3.★★（2026届河北保定部分高中开学考,6）圆炉十y_2上的点到直线3A-4v-10-0的距离可

能为（）

A.8B.6C.4D.2

答案D

4.★★（2026届安徽皖南八校大联考,6）已知过点（0厂2）与圆x2+y2-4x-2y+\=0相切的两条直

线的夹角为火则tana=（）

A.1B*C.gD.?

51355

答案D

5>**（2025届山东青岛二中月考,6）过点尸（1「3）的直线/与曲线M：G-2）2+f=l（2WxW3）

有两个交点,则直线I的斜率的取值范围为（）

A©1]B.g2]C.（|,2]呜4

答案B

6$支M2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5）已知圆。的方程为炉+仅2）2^,则“心2”是

“函数尸|x|的图象与圆C有四个公共点”的（）

A.充分不必要条件

B必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

/★★★（2026届河北冀州中学开学考,6）已知48是圆。£+产=1与入轴的两个交点，动点

〃满足*=四附8],记点M的轨迹为£则（）

A.£与圆。相切

B.E是两条平行的直线

C./M48的最大值为3

D.E上的点到原点O的距离的最大值为6

答案C

8.***（2025届广东部分学校第一次月考,6）已知直线]:（〃?-1）X+2JH"3-/〃=0与圆Cf+j"

6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是（）

A.[VT0,3V2]B.UVlO.bVZ]

C.[2V10,8V2]D.h/15,6或]

答案B

々★★★（2026届云南昆明期中,7）已知实数x,y满足（#2尸+/=4,则3x-4y的取值范围为

（）

A.[-4J6]B.[-8,12]

C.[-10J0]D.[-16,4]

答案A

10.★★★（2026届湖南长沙雅礼中学月考,8）已知直线/:Zrcosa+2ysina-l=0与圆C:（x-

1尸+6㈣2三相切,则满足条件的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

答案C

11.★★★★（2026届湖北华中师大附中月考⑻已知直线广曲-西a+2=0与圆

OP+JX/QX））交于不同的两点48,若N4OB存在最小值且最小值不大于90。,则尸的取

值范围为